Chuyên đề hàm số

Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI Hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài %_Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 x 4 a) y   x  x  b) y  d) y  x3  x  x  e) y  (4  x)( x  1) f) y  x3  3x  x  1 x  x2  2x  k) y  x5 h) y   x  x  i) y  g) y  l) y  x 1 2 x x  x  26 o) y   x   x2 1 x Bài %_Xét chiều biến thiên hàm số sau: n) y  a) y  6 x  x3  3x  b) y  x2  x2  Trang c) y  x  x  x  x 2 10 10 m) y   1 x p) y  x  15 x  3x c) y  x2  x  x2  x  Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI d) y  2x  x e) y  Hàm số x f) y  x   2  x x  3x  2 h) y  x  x g) y  x    x    x   2 k) y  sin x   i) y  x  x    l) y  sin x  x    x    2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y '  ax  bx  c thì:      y '  0, x  R     ab0 c0 a0 0      y '  0, x  R     ab0 c0 a0 0 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g ( x)  ax  bx  c :  Nếu  < g(x) ln dấu với a b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) ln dấu với a (trừ x =  4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g ( x)  ax  bx  c với số 0:      x1  x2   P   S      x1  x2    P   S   x1   x2  P  5) Để hàm số y  ax3  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a0 (1) 0   Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  x1 x2  d (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài %_ Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI a) y  x3  x  13 b) y  Hàm số x3  3x  x  c) y  2x  x2 x  2mx  x2  x  e) y  3x  sin(3x  1) f) y  xm x 1 Bài %_ Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: d) y  a) y  5x  cot( x  1) b) y  cos x  x c) y  sin x  cos x  2 x Bài %_ Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y  x3  3mx  (m  2) x  m b) y  mx  xm Bài %_ Tìm m để hàm số: d) y  e) y  x3 mx   2x  c) y  xm xm x  2mx  xm f) y  x  2mx  3m2 x  2m a) y  x3  3x  mx  m nghịch biến khoảng có độ dài 1 x  mx  2mx  3m  nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y   x3  (m  1) x2  (m  3) x  đồng biến khoảng có độ dài Bài %_ Tìm m để hàm số: b) y  a) y  x3  (m  1) x  (m  1) x  đồng biến khoảng (1; +) b) y  x3  3(2m  1) x  (12m  5) x  đồng biến khoảng (2; +) mx  (m  2) đồng biến khoảng (1; +) xm xm d) y  đồng biến khoảng (–1; +) xm c) y  e) y  x  2mx  3m2 đồng biến khoảng (1; +) x  2m f) y  2 x  x  m nghịch biến khoảng 2x      ;     VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau:  Chọn nghiệm x0 phương trình  Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài %_ Giải phương trình sau: a) x  x5  b) x5  x3   3x   x  x   x   x  16  14 Bài %_ Giải phương trình sau: c) Trang d) x2  15  3x   x  Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI a) x 1  x   x   Hàm số b) ln( x  4)   x c) 3x  x  x Bài %_ Giải bất phương trình sau: d) x  3x  x  38 a) x   x   x   13x   Bài %_ Giải hệ phương trình sau: b) x  x  x   x  x  35 2 x   y  y  y  a) 2 y   z  z  z 2 z   x3  x  x   x  y3  y  y   b)  y  z  z  z   z  x3  x  x    y  x  12 x   c)  z  y  12 y   x3  z  12 z    tan x  tan y  y  x  5 d) 2 x  y         x, y   2 sin x  sin y  3x  y   e)  x  y   x , y   cot x  cot y  x  y  g) 5 x  y  2 0  x, y   HD: a, b) Xét hàm số f (t )  t  t  t d) Xét hàm số f(t) = tant + t sin x  y  sin y  x f) 2 x  y       x, y   h) c) Xét hàm số f (t )  6t  12t  II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Tốn 2002 HOCMAI Hàm số Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí  Tìm f (x)  Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm  Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …)  Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài %_ Tìm cực trị hàm số sau: b) y  x3  x  x  a) y  x  x3 x4  x2  d) y  e) y  x  x  3x  x   x  3x  g) y  h) y  x 1 x2 Bài %_ Tìm cực trị hàm số sau: a) y  ( x  2) ( x  1) d) y  x x  b) y  x2  x  x2  x  e) y  x  x  c) y   x3  x  15x x4  x2  f) y   2 x  x  15 i) y  x3 c) y  3x  x  x2  x  f) y  x  x  x Bài %_ Tìm cực trị hàm số sau: a) y  x  d) y  x  x   ln x x2 2x  e) y  x  4sin x b) y  c) y  e x  4e  x f) y  x  ln(1  x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI Hàm số  Hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y ( x0 )  Ax0  B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax  bx  c P( x) = (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai a'x  b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P '( x0 ) P( x0 ) y( x0 )  y( x0 )  Q '( x0 ) Q( x0 )  Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et  Hàm số y  Bài %_ Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y  x3  3mx  3(m2  1) x  m3 x  m(m2  1) x  m4  c) y  xm Bài %_ Tìm m để hàm số: b) y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  x  mx  m  d) y  x  m 1 a) y  (m  2) x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu b) y  x3  3(m  1) x  (2m2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu c) y  x3  3mx  (m2  1) x  đạt cực đại x = d) y  mx  2(m  2) x  m  có cực đại x  2 x  2mx  e) y  đạt cực tiểu x = xm x  (m  1) x  m2  4m  f) y  có cực đại, cực tiểu x 1 x2  x  m g) y  có giá trị cực đại x 1 Bài %_ Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: a) y  x3  3x  3mx  3m   x  mx  x3 Bài %_ Tìm a, b, c, d để hàm số: c) y  b) y  mx3  3mx  (m  1) x  d) y  x  (m  1) x  m2  4m  x 1 x = 27 b) y  ax  bx  c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = a) y  ax3  bx  cx  d đạt cực tiểu x = đạt cực đại Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI Hàm số x  bx  c đạt cực trị –6 x = –1 x 1 ax  bx  ab d) y  đạt cực trị x = x = bx  a ax  x  b e) y  đạt cực đại x = x2  Bài %_ Tìm m để hàm số : c) y  a) y  x3  2(m  1) x  (m2  4m  1) x  2(m  1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1   ( x1  x2 ) x1 x2 b) y  x3  mx2  mx  đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1  x2  1 c) y  mx3  (m  1) x2  3(m  2) x  đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 3 x1  x2  Bài %_ Tìm m để hàm số : x  mx  m  a) y  có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x  m 1 x  (m  1) x  m2  4m  b) y  có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu x 1 đạt giá trị nhỏ  x  3x  m c) y  có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M  m  x4 x  3x  m  d) y  có yCĐ  yCT  12 x2 Bài %_ Tìm m để đồ thị hàm số : 900m2 729 b) y  x  mx  x  m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x  mx  m  c) y  có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh hai xm điểm cực trị ln ln nằm phía trục hồnh x  mx d) y  có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1 x  x  2mx  e) y  có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x 1 y = 2x x2  x  m  f) y  có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ xm Bài %_ Tìm m để đồ thị hàm số : a) y   x3  mx  có hai điểm cực trị A, B AB  a) y  x3  mx  12 x  13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y  x3  3mx  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Toán 2002 HOCMAI Hàm số thứ c) y  x3  3mx  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x  y   x  (2m  1) x  m2  d) y  có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng (d): x 1 2x  y   Bài %_ Tìm m để đồ thị hàm số : x  (m  1) x  2m  có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt xm phẳng toạ độ 2mx  (4m2  1) x  32m  2m b) y  có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ hai x  2m điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ mx  (m2  1) x  4m2  m c) y  có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ xm điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ x  (2m  1) x  m2  d) y  có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (tung) x 1 a) y  VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y  f ( x)  ax3  bx  cx  d  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B  y  f ( x )  Ax  B  2  Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P( x) ax  bx  c  2) Hàm số phân thức y  f ( x)  Q( x) dx  e P '( x0 )  Giả sử (x0; y0) điểm cực trị y0  Q '( x0 )  Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực P '( x) 2ax  b  trị là: y  Q '( x) d Bài %_ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y  x3  x  x  b) y  x  x3 c) y  x3  3x  x  x2  x  x2  x  y  e x3 x2 Bài %_ Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d) y  x  mx  xm x  mx  m  d) y  x  m 1 b) y  a) y  x3  3mx  3(m2  1) x  m3 c) y  x3  3(m  1) x  (2m2  3m  2) x  m(m  1) Trang Tài liệu tham khảo – Lớp Tốn 2002 HOCMAI Hàm số Bài %_ Tìm m để hàm số: a) y  x3  3(m  1) x  6(m  2) x  có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y  x3  3(m  1) x  6m(1  2m) x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y  x3  mx  x  có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y = 3x – d) y  x3  3x  m2 x  m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (): y  x  2 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D  R) f ( x)  M , x  D a) M  max f ( x)   x0  D : f ( x0 )  M D b) m  f ( x)  D   f ( x)  m, x  D x0  D : f ( x0 )  m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x)  f (b), f ( x)  f (a) [ a;b ] [ a;b] b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b] max f ( x)  f (a), f ( x)  f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trị vừa tính kết luận M  max f ( x)  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a;b] m  f ( x)   f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a;b] Bài %_ Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  x  x  b) y  x3  3x d) y  x  x  e) y  x 1 x2  x  Trang 10 c) y  x  x  f) y  x2  x  x2  ... thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số. .. Lớp Toán 2002 HOCMAI Hàm số + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính... định) Cho hàm số y  f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn