Tìm ba phân số đó.. Kẻ phõn giỏc BF của gúc ABD F∈ AD a Tớnh cỏc gúc chưa biết của tam giỏc ABD b Chứng minh AB=BD=DA c Chứng minh AC =CB.
Trang 1PHềNG GD&ĐT HƯNG HÀ
THCS HÙNG DŨNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 7
NĂM HỌC 2014-2015
Thời gian làm bài : 120 phỳt
Ngày 12/ 12/ 2014
Đề bài:
Bài 1:(5 điểm)
a)Thực hiện phộp tớnh:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
+ +
b) Tỡm x biết : 2 −x = x− 3
B
à i 2: (5điểm)
a) Ba phân số có tổng bằng 213
70 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2 Tìm ba phân
số đó
b) Cho cỏc số a,b,c ,x,y,z thỏa món : abc ≠ 0 và
c b a
z c
b a
y c
b a
x
+
−
=
− +
= + + 2 2 4 4 chứng minh:
x+2a y+z = 2x+b y−z = 4x−4c y+z ( với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa)
Bài 3: ( 4điểm)
a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z thỏa món: ( x-y)2014 + x + y =2
b) Cho 5 số nguyờn phõn biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xột tớch :
P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5)
Chứng minh P288
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú ∠B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho ∠ABx = 600 trờn tia Bx lấy điểm D sao cho BD =BA Kẻ phõn giỏc BF của gúc ABD (F∈ AD)
a) Tớnh cỏc gúc chưa biết của tam giỏc ABD
b) Chứng minh AB=BD=DA
c) Chứng minh AC =CB
Trang 2
PHÒNG GD&ĐT HƯNG HÀ
THCS HÙNG DŨNG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 7
Thời gian làm bài : 120 phút
Ngày 12/ 12/ 2014
A= 1212 65 1212 45 910 33 9103 43
2 7 5 7 5
7 5 7 5 3 2 3 2
3 2 3 2
+
−
− +
−
5 , 3
8 1
35 5 3 9
1 3
−
− +
−
=
A A
1đ 1đ
0,5đ b) Để có căn bậc hai dương 2 −x thì x≤ 2
khi đó x-3<0 mà 2 −x ≥ 0
nên không tìm được x thỏa mãn yêu cầu bài ra
1,0 1,0 0,5
2 A Gọi 3 phân số cần tìm là
n
m d
c b
a
;
; với a;b;c;m;n nguyên và b.d.n ≠ 0
theo bài ra ta có a = c = m =k
5 4 3
Suy ra a=3k; c=4k;m=5k Tương tự ta có b=5q; d=q; n=2q
Vậy :
14
15
; 7
12
; 35 9 7 3
70
213 ) 2
5 4 5
3 (
70
213 2
5 4 5 3
=
=
=
=
= + +
⇔
= + +
n
m d
c b
a q k q k
q
k q
k q k
1đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ b) Từ giả thiết ta có :
k a
z y x c b a
z c
b a
y c
b a
+
−
=
− +
= +
2 4
4 2 2 4
2 2
Tương tự ta có
c
z y x b
z y x k
9
4 4 9
= Vậy:
c
z y x b
z y x a
z y x
9
4 4 9
2 9
Suy ra x+2a y+z = 2x+b y−z = 4x−4z y+z
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
3 a) Ta có các số tự nhiên : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; (x−y) 2014 ≥ 0
Vậy (x-y)2014 là số chính phương nhỏ hơn 2
Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y
mà x + y = 2 ⇒ x = y = 1
ta được (x ;y)=(1 ;1) (-1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(1 ;-1)
mà x≠ y nên ( x;y) =(1 ;1) ; -1 ;-1)
0,5đ 0,25đ 0,25đ
Trang 3nếu (x-y)2=1 thì hoặc : x-y= ±1 Thì tổng hai số tự nhiên x + y = 1 nên
trong hai số x, y có 1 số bằng 0 từ đó
ta có (x ; y)=(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) Vậy :(x ;y)=(1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0)
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
B Với 5 số a1; a2; a3; a4 có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không
mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a1 và a2 khi đó a1-a2 3
Bỏ đi a2 xét 4 số còn lại Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có
cùng số dư không mất tính tổng quat giả sử 2 số đó là a3 và a5 thì a3a5 3
Suy ra P 9
* Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ -Nếu có cả năm số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của p
đều chia hết cho 2 nên P210
suy ra P32 Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của
tích mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nên P 32 Nếu trong 5 số có 3 số cùng chẵn không mất tính tổng quát giả sử đó là
a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1
P là tích của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ trong 3 số b1;
b2; b3 có ít nhất hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ chúng tạo ra 1 thừa số
chia hết cho 2 nên p32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P32
Vậy P[ ]9 ; 32 = 288
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
I F
E H
D
C B
A
Vẽ phân giác BF của ABD chứng minh: ∆ABF= ∆DBF (c-g-c)
Từ đó nhờ định lý tổng ba góc trong tam giác chứng minh:
∠ BAD=∠BDA =600
1đ
1đ
b Kẻ phân giác AI dựa vào định lý tổng 3 góc trong tam giác chứng minh
∠BIA =∠DIA =900
Từ đó chứng minh ∆AIB= ∆AID (g.c.g)
Suy ra AB=AD
Mà theo giải thiêt: AB=BD nên AB=BD=DA
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
c Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh: ∆AHB=∆ BED (c.g.c)
Từ đó chứng minh ∠DEB= ∠DEC =900
Chứng minh ∆DEB = ∆DEC (c.g.c) rồi chứng minh ∠ BDC=1500
Chứng minh ∠ADC =1500
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
Trang 4Chứng minh ∆ADC= ∆BDC (c.g.c) ⇒ CB=CA 0,5đ