nckh mot so pp cm hai doan thang bang nhau

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU MỤC LỤC PHẦN I : MỞ ĐẦU .2 I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: .2 II - PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng: Học sinh đại trà khối 7- - Giới hạn kiến thức: Chương trình hình học THCS 3 Tài liệu sử dụng tham khảo: PHẦN II: NỘI DUNG I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Hai đoạn thẳng có số đo: Hai cạnh tương ứng  .4 Các cạnh bên của: 4 Sử dụng định nghĩa, tính chất của: Dùng phương pháp diện tích: Dùng định lý Talét - Phương pháp tam giác đồng dạng Dùng tính chất đường kính vng góc với dây 8.Dùng định lý: Dùng tính chất của: II - CÁC VÍ DỤ: Bài 1: Bài 2: Bài : Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: 10 III KẾT QUẢ: 12 IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM .12 V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI 13 PHẦN III: KẾT LUẬN 13 LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU PHẦN I : MỞ ĐẦU ********** I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Tốn học tảng mơn khoa học tự nhiên Nó chiếm vai trị quan trọng trường học lĩnh vực khoa học Đất nước ta bước vào kỷ nguyên khoa học thơng tin địi hỏi phải đầu tư suy nghĩ để tìm giải pháp tốt giúp tài tương lai đất nước mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng đất nước phồn vinh theo kịp tốc độ phát triển vũ bảo cuả thời đại Hình học phân mơn tương đối khó phần lớn học sinh Thực tế cho thấy: Đứng trước tốn chứng minh quan hệ hình học, nhiều học sinh không giải vấn đề Theo lời nhiều học sinh: Hình học thật "Xương" Trong năm đầu vào nghề, chưa có kinh nghiệm nên cố gắng dạy đúng, đủ sách giáo khoa mà chưa biết thông qua tập khác Nhưng rồi, phần cố gắng thân, phần học hỏi đồng nghiệp nên tơi có kinh nghiệm hơn, tơi mạnh dạn hệ thống số cách chứng minh quan hệ hình học (trong phần) để giúp học sinh thuận lợi việc giải toán chứng minh hình học Sau tơi trình bày MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Việc chứng minh đoạn thẳng vô cần thiết Bởi chứng minh đoạn thẳng không đơn để đoạn thẳng mà có đoạn thẳng giúp ta suy nhiều quan hệ khác Ví dụ  cân,  đều, hình thoi, hình vuông ngược lại chứng minh đoạn thẳng có quan hệ chặt chẽ với quan hệ hình học khác Nghĩa thơng qua tập chứng minh đoạn thẳng người giáo viên giúp học sinh hiểu sau, nhớ lâu, nắm kiến thức học Đó lý khiến chọn đề tài LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU II - PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng: Học sinh đại trà khối 7- - Giới hạn kiến thức: Chương trình hình học THCS Tài liệu sử dụng tham khảo: SGK - SBT, sách ôn tập Hình học cho tuổi trẻ (Tập 1,2, 3,4) Một số vấn đề phát triển hình học khối - Tốn nâng cao chun đề hình học khối - Tốn bồi dưỡng hình học khối Tuyển chọn tốn hay khó hình học (Các khối) 235 Bài tốn hình học chọn lọc Báo toán học tuổi trẻ số LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU PHẦN II: NỘI DUNG ******* I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Hai đoạn thẳng có số đo: - Hai đoạn thẳng đoạn thứ - Hai đoạn thẳng tổng (hiệu) đoạn thẳng đôi Hai cạnh tương ứng  Các cạnh bên của: - Tam giác cân ( Cạnh  đều) - Hình thang cân - Hai cạnh đối của: hình bình hành, chữ nhật, thoi, vuông - Hai đường chéo hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng Sử dụng định nghĩa, tính chất của: - Trung điểm, trung trực đoạn thẳng - Trung tuyến, trung bình, trung trực tam giác - Đường chéo hình bình hành, hình chữ nhật, thoi, vng - điểm, đoạn thẳng đối xứng qua điểm, trục Dùng phương pháp diện tích: - Cặp cạnh đáy tam giác (2 hình bình hành) có diện tích cạnh đáy tương ứng - Cặp đường cao tam giác (2 hình bình hành) có diện tích cạnh đáy tương ứng Dùng định lý Talét - Phương pháp tam giác đồng dạng Dùng tính chất đường kính vng góc với dây 8.Dùng định lý: - Dây cung khoảng cách đến tâm LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU - dây cách tâm đường tròn - Liên hệ cung dây cung: + Hai dây trương cung đường trịn + Hai tính chất đường nối tâm đường trịn cắt Dùng tính chất của: - tiếp tuyến xuất phát từ điểm đến đường tròn - Đường nối tâm đường tròn cắt Tuy nhiên việc phân chia rõ ràng tập giải phương pháp 1, toán giải phương pháp điều nhiều khơng thể giải Bởi để giải tập hình học, học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, kết hợp nhiều phương pháp cách linh hoạt, sáng tạo Cũng có nhiểu tốn lại giải nhiều cách khác Nói chung hình học đa dạng phong phú Ta bắt đầu ví dụ đơn giản II - CÁC VÍ DỤ: Bài 1: Cho góc xoy tìm tia Ox lấy điểm A C Trên tia Oy lấy điểm B D cho OA = OB; OC = OD Gọi I giao điểm đoạn thẳng BC; AD Chứng minh rằng: a/ BC = AD b/ IA = IB; IC = ID x Hướng dẫn: Có thể đưa việc chứng minh đoạn thẳng việc chứng minh 2 không ? a/  OBC  OAD (chứa cạnh BC AD) C A I Có khơng? Tại sao? b/  chứa cạnh IA?  chứa cạnh IB ? O B y D 2 có khơng? Vì sao? Giải (Tóm tắt): a  OBC = OAD (c.g.c) => BC = AD LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU b Từ (gt) => AC = BD Từ (a) =>  C =  D;  DAC =  CBD Suy  IAC =  IBD (g.c.g) => IA = IB IC = ID Nhận xét: Ta đưa việc chứng minh đoạn thẳng việc chứng minh  Bài 2: Cho  ABC đường cao, AM trung tuyến Trên tia đối HA lấy E cho HE = HA Trên tia đối MA lấy I cho MI = MA.Nối B với E; C với I Chứng minh rằng: BE = CI Hướng dẫn:  BHE (chứa BE)  MCI (chứa CI) có khơng? A - Đoạn BE đoạn nào? Tại sao? - Đoạn AB có CI khơng? Hãy chứng minh điều Giải (tóm tắt): B BH đường trung trực AE => BA = BE H M C (1)  AMB =  IMC (c.g.c) => AB = IC I E (2) Từ (1), (2) => BE = IC Vận dụng tính chất đường trung bình  Bài : Cho hình thang ABCD, đường phân giác góc D cắt AB M CMR: AM = AD Hướng dẫn: A M B LÊ THỊ NHƯ YẾN D C MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Em có nhận xét  ADM? (cân) Hãy chứng minh điều đó? Giải (tóm tắt): D1 = M1 (so le trong) D1 = D2 ( DM phân giác D) => D1 = M1 =>  ADM cân A => AD = AM Nhận xét: Đưa việc chứng minh đoạn thẳng việc chứng minh  cân Bài 12/82 SGK hình Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB//CD) a Đường thẳng // với đáy cắt cạnh bên AD I, cắt đường chéo DB K, cắt chéo AC L, cắt cạnh bên BC M CMR: IK = LM b Đường thẳng qua giao điểm O đường chéo // với đáy cắt cạnh bên E F CMR: OE = OF Hướng dẫn: Bài có nhiều đoạn thẳng // giúp ta liên hệ với định lý Talét Em vận dụng tam giác A B để có tỷ số trung gian? F Giải (tóm tắt): a Trong  ABD theo định lý Talét có: D C LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU IK/AB = ID/DA (1) Tương tự  ABC có: LM/AB = CM/CB (2) Ta có DI /DA = CM / CN B Nên từ (1) (2) => IK/AB = LM/AB => IK = LM b Tương tự  ACD  BDC Nhận xét: Khi vận dụng định lý Talét cần ý đến đoạn thẳng song song nhằm làm xuất đoạn thẳng tỷ lệ Để chứng minh đoạn thẳng ta chứng minh tỷ số Bài 5: Gọi M N trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD Đoạn thẳng CM DN cắt P CMR: AP = AB * Tìm tịi cách giải: - Ngay từ vẽ hình ta nhận thấy AB AP khơng phải cạnh tương ứng 2 Có thể thay đoạn AB đoạn nào? AD AP  APD có đặc biệt * Phân tích tốn: - Trong hình vẽ có cặp  nhau? (BCM = CDN c.g.c) => C = D => CM  DN - M trung điểm AB (gt) ta chứng minh CM  DN Vậy gọi I trung điểm CD AI có vng góc với NẫI DUNG khơng? (có) sao? Như ta chứng minh PK = KD  APD cân A AP = AD mà AD = AB => toán giải xong * Mấu chốt toán chọn đoạn trung gian (AD) thích hợp vận dụng linh hoạt kiến thức sở giả thiết toán LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Giải (tóm tắt):  BCM =  CDN (c.g.c) =>  C1 =  D1 Mà C1 = C2 = C = 1V => D1 + C2 = 1V => CM  DN P Gọi I trung điểm CD, AI, K, dễ dàng chứng minh CMAI hình bình hành => CM//AI => AI   CDP có CI = ID (Cách dựng) => PK = KD IK // CP (cmt)  API có AK vừa đường trung tuyến vừa đường cao (cmt) =>  APD cân A => AP = AD Mà AD = BP (t/c hv) => AP = AB (đpcm) Bài 6: Trên cạnh AB AC  ABC, người ta lấy theo thứ tự điểm D E cho BD = CE Gọi M N trung điểm BC DE Đường thẳng cắt AB AC P Q CM: AP = AQ Tìm tịi cách giải: * Nhìn vào hình vẽ ta có hướng giải AP = AQ  APQ cân A * Bài cho nhiều trung điểm, khiến ta liên hệ tới đường thiết bị  => Nối BE  BED  BEC có cạnh đáy BD = EC * Gọi I trung điểm BE => IN, IM TB  BED BEC => IN//BD ; IM//CE IN = IM =>  IMN cân I Vì IN //BA; IM//CA nên dễ dàng CM  APQ =  INM  AQP =  IMN =>  APQ cân A => Bài toán giải xong Giải (tóm tắt): Nối BE, gọi I trung điểm BE LÊ THỊ NHƯ YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU => IN, IM đường trung bình  BED  BEC => IM//AC; IN//AB IM = IN (= 1/2 BD CE) => IMN cân I =>  IMN =  INM Mặt khác  IMN =  AQP  INM =  APQ (đồng vị) Nên  AQP =  APQ =>  APQ cân A => AP = AQ (đpcm) Bài 7: Cho đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến chung CAD EAG ( C, E thuộc (O); D, G thuộc (O’) cho AB p/g  CAG Chứng minh : CD = EG Cách 1: Có thể đưa việc chứng minh đoạn thẳng CD EG việc chứng minh 2 khơng? Đó tam giác ?(  CBD  EBG) - 2 có yếu tố nhau? Còn cần thêm yếu tố nào? * Như ta chứng minh BD = BG tốn giải xong (H1) Giải (tóm tắt):  CBD  EBG có  BDC =  BGE,  C =  E =>  CBD =  EBG Lại có:  BDG =  BAG ( góc chắn cung BG)  BGD =  BAC ( bù với  BAD) mà  BAG =  BAC (gt) =>  BDG =  BGD => BG = BD Vậy  CBD =  EBG (g.c.g) => CD = EG Sau giải xong ta thấy cịn vận dụng cách khác LÊ THỊ NHƯ YẾN 10 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU * Có thể đưa trường hợp 2 vuông kẻ OM EG; O’H  OM, kẻ O’N  CD; OK  O’N OK = 1/2 CD; O’H = 1/2 ED Cần chứng minh OK = O’H nghĩa cần  OKO’ =  O’HO ( cạnh huyền - góc nhọn) tốn giải xong (H2) * Hoặc sử dụng  đồng dạng  CBD  CBD đồng dạng  EBG (g.g) có tỷ số đường cao tương ứng BH/BK = 1.(vì AB tia phân giác CBG) nên CD/EG = => CD = EG Cách 2: * Ta nghĩ đến đoạn thẳng trung gian có khả CD EG không ? * CAD, EAG cát tuyến chung đường tròn Vậy qua B ta vẽ cát tuyến chung đường tròn PBQ cho PBQ // CAD tứ giác PQDC tứ giác PQGE hình ? Tại sao? Trả lời câu hỏi tức ta giải xong tốn Giải (tóm tắt): Vẽ PBQ //CD dễ dàng chứng minh CP// DQ , EP // GQ => CDQP hình bình hành => CD = PQ (1) Lại có  E =  C =  CAB;  EPB =  BAG mà  CAB =  BAG =>  E =  EPB  EGQP hình thang cân => PQ = EG (2) Từ (1) (2) => đpcm Cách 3: Sau hạ đường cao BH CD, BKEG để giải toán theo hướng tam giác đồng dạng ta lại nhận thấy xét CD EG tổng đoạn thẳng đôi Giải: B  tia phân giác  CAG => BH = BK =>  CBH = EBK => CH = EK LÊ THỊ NHƯ YẾN 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Chứng minh tương tự ta chứng minh DH = GK Suy ra: CD = EG Lưu ý: Cịn sử dụng tính song song để chứng minh III KẾT QUẢ: Tôi áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng vừa trình bày cho học sinh khối 7, 8, mà giảng dạy (với mức độ phù hợp với trình độ học sinh khối, lớp) Sau áp dụng phương pháp này, thấy đạt kết sau: - Khi đứng trước toán chứng minh hai đoạn thẳng nhau, học sinh khơng cịn cảm thấy lúng túng, mà biết định hướng cách cụ thể, rõ ràng phương pháp để chứng minh tốn - Học sinh có khả độc lập suy nghĩ, vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo - Học sinh có khả tư kết hợp cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo kĩ phân tích tổng hợp để tìm lời giải cách nhanh nhất, ngắn gọn - Có học sinh khơng tìm cách giải mà cịn tìm nhiều cách giải khác cho toán - Học sinh thấy hứng thú, say mê giải toán IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Giáo viên phải không ngừng phấn đấu, học tập, nghiên cứu, tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, trình độ chun mơn để đáp ứng u cầu ngày ca công tác dạy học nhà trường phổ thơng sở - Thường xun tích luỹ, đúc rút kinh nghiệm giảng dạy, tích cực vận dụng kinh nghiệm vào giảng để nâng cao chất lượng dạy học - Giáo viên phải nắm sử dụng tốt, phối hợp nhịp nhàng phương pháp dạy học, quán triệt tinh thần đổi phương pháp giảng dạy " lấy học sinh làm trung tâm" - Chú trọng việc hướng dẫn học sinh nắm kiến thức lí thuyết đôi với thực hành, đặc biệt coi trọng việc hướng dẫn phương pháp giải toán cho học sinh LÊ THỊ NHƯ YẾN 12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU - Giáo viên cần cố chương trình giảng dạy cụ thể, có lựa chọn kiến thức sát với đối tượng học sinh, khối lớp V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI Đề tài áp dụng cách rộng rãi phạm vi chương trình hình học bậc THCS, khối lớp 7, ,9 đặc biệt có ý nghĩa học sinh khối Đề tài áp dụng không cho học sinh Khá - Giỏi mà cịn áp dụng cho tất đối tượng học sinh Trung bình - Yếu Giáo viên áp dụng cách linh hoạt đề tài tiết dạy khố chương trình ngoại khoá, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi hay phù đạo học sinh yếu LÊ THỊ NHƯ YẾN 13 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU PHẦN III: KẾT LUẬN ******* Việc hệ thống “Các cách chứng minh đoạn thẳng nhau” làm tiết, tiết mà trình, chẳng hạn lớp em học tam giác ta khơng thể giới thiệu phương pháp sử dụng định lý Talét, phương pháp đồng dạng mà học đến vấn đề nào, người giáo viên hướng dẫn học sinh phạm vi Từ học sinh lĩnh hội kiến thức cách có hệ thống vận dụng hợp lý dạng tập Nếu làm Hình học khơng cịn “Xương” Trên số kinh nghiệm tơi thực q trình giảng dạy Do nhiều nguyên nhân viết không tránh khỏi nhược điểm Kính mong q thầy đồng nghiệp góp ý LÊ THỊ NHƯ YẾN 14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU LÊ THỊ NHƯ YẾN 15 ... THẲNG BẰNG NHAU PHẦN II: NỘI DUNG ******* I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Hai đoạn thẳng có số đo: - Hai đoạn thẳng đoạn thứ - Hai đoạn thẳng tổng (hiệu) đoạn thẳng đôi Hai cạnh... THẲNG BẰNG NHAU Giải (tóm tắt):  BCM =  CDN (c.g.c) =>  C1 =  D1 Mà C1 = C2 = C = 1V => D1 + C2 = 1V => CM  DN P Gọi I trung điểm CD, AI, K, dễ dàng chứng minh CMAI hình bình hành => CM/ /AI... đến đoạn thẳng song song nhằm làm xuất đoạn thẳng tỷ lệ Để chứng minh đoạn thẳng ta chứng minh tỷ số Bài 5: Gọi M N trung điểm cạnh AB, BC hình vuông ABCD Đoạn thẳng CM DN cắt P CMR: AP = AB *