TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA Bài toán: Tìm 1 chữ số tận cùng của . Cách giải: Nhận xét rằng: Và: Do đó, giả sử số A có chữ số tận cùng là a. Nếu a = 0,1,5,6 thì có tận cùng là 0,1,5,6 tương ứng; Nếu a = 2,3,7,8 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 4, rồi áp dụng nhận xét trên; Nếu a = 4,9 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 2, rồi áp dụng nhận xét trên; Ví dụ 1. a) Tìm chữ số tận cùng của ; b) Tìm chữ số tận cùng của . Giải: a) Xét , ta viết , vậy chữ số tận cùng của là 8. Xét , ta viết , vậy chữ số tận cùng của là 7. b) Xét , ta viết: , vậy chữ số tận cùng của là 4. Xét , ta viết: , vậy chữ số tận cùng của là 9. 1.1. Tìm hai chữ số tận cùng Bài toán: Tìm 2 chữ số tận cùng của .
Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên – CĐ.06ĐS.03-5 TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA Bài tốn: Tìm chữ số tận An Cách giải: Nhận xét rằng: n n n n .0 = 0, = 1, = 5, = Và: 4 4 .2 = 6, = 1, = 1, = 6, 2 .4 = 6, = Do đó, giả sử số A có chữ số tận a - Nếu a = 0,1,5,6 An có tận 0,1,5,6 tương ứng; - Nếu a = 2,3,7,8 ta xét số dư lũy thừa n chia cho 4, áp dụng nhận xét trên; - Nếu a = 4,9 ta xét số dư lũy thừa n chia cho 2, áp dụng nhận xét trên; Ví dụ a) Tìm chữ số tận 721991 ,19831987 ; b) Tìm chữ số tận 1341995 ,19891989 Giải: a) Xét 721991 , ta viết 721991 = ( 724 ) 497 ( ) 723 = 497 .8 = = , chữ số tận 721991 Xét 19831987 , ta viết 19831987 = ( 19834 ) 496 ( ) 19833 = 496 .7 = = , chữ số tận 19831987 b) Xét 1341995 , ta viết: 1341995 = ( 1342 ) 997 ( ) 134 = 997 134 = 6.134 = , chữ số tận 1341995 Xét 19891989 , ta viết: 19891989 = ( 19892 ) 994 ( ) 1989 = 994 1989 = 1.1989 = , chữ số tận 19891989 I.1 Tìm hai chữ số tận Bài tốn: Tìm chữ số tận An Phạm Bá Quỳnh 0982.14.12.85 Web: http://toanhoc123.net Page Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên – CĐ.06ĐS.03-5 Cách giải: Nhận xét rằng: n n n n .00 = 00, 01 = 01, 25 = 25, 76 = 76 Và: 20 20 20 10 10 10 20 .2 = 76, = 01, = 01, = 76, = 76, = 01, = 76 .5 = 25, Do đó, giả sử số A có hai chữ số tận ba - Nếu ba = 00,01,25,76 An có tận 00,01,25,76 tương ứng; - Nếu a = 2,3,7,8 ta xét số dư lũy thừa n chia cho 20, áp dụng nhận xét trên; - Nếu a = 4,6,9 ta xét số dư lũy thừa n chia cho 10, áp dụng nhận xét trên; - Nếu a = ta xét số dư lũy thừa n chia cho 4, áp dụng nhận xét trên; Ví dụ a) Tìm hai chữ số tận 721991 ,19831987 ; b) Tìm hai chữ số tận 1341995 ,19891989 Giải: ( a) Xét 721991 , ta viết 721991 = ( 7220 ) 7211 = 76 99 ) 99 .28 = 76 28 = 28 , hai chữ số tận 721991 28 Xét 19831987 , ta viết: ( ) 19831987 = ( 198320 ) 19837 = 01 99 99 .27 = 01 27 = 27 , hai chữ số tận 19831987 27 b) Xét 1341995 , ta viết: 1341995 = ( 13410 ) 199 ( 1345 = 76 ) 199 1345 = 76 24 = 24 , hai chữ số tận 1341995 24 Xét 19891989 , ta viết: Phạm Bá Quỳnh 0982.14.12.85 Web: http://toanhoc123.net Page Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên – CĐ.06ĐS.03-5 19891989 = ( 198910 ) 198 ( ) 19899 = 01 198 09 = 01 09 = 09 , hai chữ số tận 19891989 09 I.2 Tìm ba chữ số tận Bài tốn: Tìm chữ số tận An Giải: - Giả sử n = 100k + r , ≤ r < 100 , An = A100 k Ar - Giả sử A ≡ x(mod10) , hay chữ số tận A x, thì: 100 j A100 = (10m + x)100 = ∑ C100 (10m)100− j x j J =0 = (10m) 100 99 + C (10m)99 x + + C100 (10m) x 99 + x100 ≡ x100 (mod 1000) 100 Tức chữ số tận A100 chữ số tận x100 Do đó, An = ( A100 ) Ar ≡ ( x100 ) Ar (mod1000) , với x chữ số tận A Như vậy, để k k tìm chữ số tận A, ta xét số dư r lũy thừa n chia cho 100, tìm chữ số tận ( x100 ) Ar k Để tìm chữ số tận x100 , với x = 0,1,2, ,9 ta có nhận xét sau: - +) Nếu x = x100 ≡ 000(mod1000) +) Nếu x = 54 = 625, 625n ≡ 625(mod1000) , suy 5100 ≡ 625(mod1000) +) Nếu x = 2,4,6,8 x100 M2100 , 220 ≡ 576(mod1000), 5765 ≡ 376(mod1000) ⇒ 2100 ≡ 376(mod1000) , 376 ≡ 376(mod1000) n suy ( x100 ) ≡ 376(mod1000) k +) Nếu x = 1,3,7,9 x = 1,81, 2401.6561 ≡ 1(mod 40) ⇒ x100 = ( x )25 = (40q + 1) 25 ≡ 001(mod1000) suy ( x100 ) ≡ 001(mod1000) k Phạm Bá Quỳnh 0982.14.12.85 Web: http://toanhoc123.net Page Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên – CĐ.06ĐS.03-5 Ví dụ Tìm chữ số tận 20162020 II HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP II.1 10 Chứng minh A = 8102 − 2102 M II.2 Chứng minh A = 0,3.(19831983 − 19171917 ) số nguyên II.3 Chứng minh A(n) = 23 II.4 Tìm hai chữ số tận số A = 2100 II.5 Tìm hai chữ số tận số A = 71991 II.6 Tìm hai chữ số tận số A = 29 II.7 Tìm hai chữ số tận số A = 1414 II.8 Tìm ba chữ số tận số B = 29 II.9 Tìm ba chữ số tận số B = 29 n+1 + 3M 11, ∀n ∈ ¥ 1991 14 2003 1991 II.10 Tìm chữ số tận lũy thừa biết số lũy thừa số lớn số tự nhiên có hai chữ số mà hiệu hai chữ số 7, số mũ lũy thừa số tự nhiên nhỏ có 16 ước số dương II.11 Tìm số nguyên x để A = 20142015 + 20162017 chia hết cho x + x II.12 Cho A tổng hệ số khai triển đa thức P ( x) = (10 x3 − x) 2015 Tìm chữ số tận A Phạm Bá Quỳnh 0982.14.12.85 Web: http://toanhoc123.net Page ... x100 ≡ 000(mod1000) +) Nếu x = 54 = 62 5, 62 5n ≡ 62 5(mod1000) , suy 510 0 ≡ 62 5(mod1000) +) Nếu x = 2,4 ,6, 8 x100 M 210 0 , 220 ≡ 5 76( mod1000), 5 765 ≡ 3 76( mod1000) ⇒ 210 0 ≡ 3 76( mod1000) , 3 76 ≡ 3 76( mod1000)... ) 19 8 319 87 = ( 19 8320 ) 19 837 = 01 99 99 .27 = 01 27 = 27 , hai chữ số tận 19 8 319 87 27 b) Xét 13 419 95 , ta viết: 13 419 95 = ( 13 410 ) 19 9 ( 13 45 = 76 ) 19 9 13 45 = 76 24 = 24 , hai chữ số tận 13 419 95... 3 76( mod1000) n suy ( x100 ) ≡ 3 76( mod1000) k +) Nếu x = 1, 3,7,9 x = 1, 81, 24 01 .65 61 ≡ 1( mod 40) ⇒ x100 = ( x )25 = (40q + 1) 25 ≡ 0 01( mod1000) suy ( x100 ) ≡ 0 01( mod1000) k Phạm Bá Quỳnh 0982 .14 .12 .85