CÁC DẠNG TOÁN HÌNH học ở TIỂU học

Nguồn f f: thiepngan CÁC DẠNG TỐN HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC A - Bài toán nhận dạng hình hình học Nối điểm A B, ta thu đoạn thẳng AB Các điểm A B gọi hai đầu mút đoạn thẳng Kéo dài đoạn thẳng AB hai phía, ta đường thẳng AB Hình tam giác có đỉnh, cạnh góc - Tam giác ABC có đỉnh A, B, C; có cạnh AB, BC AC; có góc góc A, góc B góc C Tam giác ABC có góc vng gọi tam giác vng Hình tứ giác có đỉnh, cạnh góc Tứ giác ABCD có đỉnh A, B, C, D; có cạnh AB, BC, CD, AD; có góc góc A, góc B, góc C góc D Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Hình chữ nhật ABCD có hai chiều dài AD BC song song với nhau; hai chiều rộng AB CD song song với Hình vng tứ giác có cạnh góc vng - Hình vng hình chữ nhật có cạnh Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan - Hình vng ABCD có cạnh AB, BC, CD AD Hình thang tứ giác có hai cạnh song song - Hình thang ABCD có hai cạnh AD BC song song, AD đáy nhỏ, BC đáy lớn, AB DC cạnh bên - Hình thang ABCD có góc A, góc B vng hình thang vng Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song - Hình bình hành ABCD có hai cạnh AB CD song song với nhau, hai cạnh AD BC song song Hình thoi ABCD có: AB = BC = CD = AD, hai đường chéo AC BD vng góc với 10 Điểm O tâm hình tròn Đường bao quanh hình tròn gọi đường tròn Đoạn thẳng nối tâm O với điểm nằm đường tròn gọi bán kính Các bán kính đường tròn nhau, đoạn OA, OB, OM bán kính Đoạn thẳng nối điểm đường tròn qua tâm gọi đường kính, đoạn AB gọi đường kính Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC ta lấy điểm D, E, M, N Nối đỉnh A với điểm vừa lấy Hỏi đếm tam giác hình vẽ? Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan Cách (Phương pháp liệt kê) - Có tam giác chung cạnh AB ABD, ABE, ABM, ABN, ABC Có tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC - Có tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC - Có tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC - Có tam giác chung cạnh AN là: ANC (Các tam giác đếm ta không đếm lại nữa) Vậy số tam giác ta đếm hình vẽ là: + + + + = 15 (tam giác) Cách (Phương pháp lắp ghép) Nhìn hình vẽ ta thấy: - Có tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5) - Có tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5) - Có tam giác ghép là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5) - Có tam giác ghép là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5) - Có tam gíac ghép là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5) Vậy số tam giác đếm là: + + + + = 15 (tam giác) Cách 3: Ta nhận xét: Nối đầu mút đoạn thẳng tạo thành cạnh đáy BC với đỉnh A ta tam giác Vậy số tam giác đếm hình vẽ số đoạn thẳng cạnh đáy BC Trên cạnh đáy BC có tất điểm B, C, D, E, M N Áp dụng kết ví dụ (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm là: x (6 – 1) : = 15 (đoạn thẳng) Vậy ta đếm 15 tam giác hình vẽ Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan Cách (Phương pháp quy nạp) Ta nhận xét: *Nếu cạnh BC, lấy điểm nối với điểm A ta đếm được: - Có tam giác đơn là: (1), (2) - Có tam giác ghép đôi là: (1) + (2) Tổng số tam giác đếm là: + = (tam giác) *Nếu BC, ta lấy điểm nối với đỉnh A ta đếm - Có tam giác đơn là: (1), (2), (3) - Có tam giác ghép đơi là: (1) +(2), (2) +(3) - Có tam giác ghép là: (1) + (2) + (3) Tổng số tam giác đếm là: + + = (tam giác) Vậy quy luật là: Nếu cạnh đáy BC ta lấy n điểm nối chúng với đỉnh A ta đếm (n + 1) tam giác đơn số tam giác đếm là: + + +…+ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : (tam giác) Áp dụng: Trên cạnh đáy BC lấy điểm số tam giác đơn đếm số tam giác đếm là: (4 + 2) x (4 + 1) : = 15 (tam giác) Ví dụ Cần điểm để nối chúng lại ta đoạn thẳng? Hướng dẫn Ta nhận xét: - Nếu có điểm nối chúng lại ta đoạn thẳng - Nếu có điểm nối chúng lại ta được: x (4 – 1) : = (đoạn thẳng) Vậy để nối lại đoạn thẳng ta cần điểm BÀI TẬP: Bài Cho điểm phân biệt Hỏi nối chúng lại với ta đoạn thẳng? (Đs: 15 đoạn thẳng) Bài Cần điểm để nối chúng lại ta 10 đoạn thẳng? (Đs: điểm) Bài Cho hình thang ABCD Trên đáy AD, ta lấy điểm nối đỉnh C với điểm vừa chọn Trên đáy nhỏ BC, ta lấy điểm nối đỉnh A với điểm vừa chọn Nối AC Hỏi có tam giác tạo thành hình vẽ? (Đs: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan 36 tam giác) Bài Cho điểm mặt phẳng, khơng có điển nằm đoạn thẳng, Hỏi nối lại ta thu tam giác? (Đs: tam giác) Bài Cho tứ giác ABCD Chia cạnh thành phần nối điểm chia hình vẽ Hỏi đếm tứ giác? (Đs: 10 tứ giác) Bài cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài cm, chiều rộng cm Ta chia chiều dài thành phần chiều rộng thành phần nối điểm chia hình vẽ a) Có hình vng hình vẽ b) Tính tổng chu vi tổng diện tích hình vng tạo thành Đs: a) 20 hình vng b) 120cm 54cm2 B - CÁC BÀI TỐN VỀ CẮT VÀ GHÉP HÌNH Loại Các tốn cắt hình Cơ sở để thực toán dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích hình cắt diện tích hình ban đầu • Dạng 1: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có kích thước hình dạng cho trước Ví dụ: Cho mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành tam giác có diện tích Hướng dẫn Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I cho BI = IC Nối AI dùng kéo cắt Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan theo chiều mũi tên Ta có: SABI = SAIC (vì chung đường cao hạ từ A đáy BI = CD) Tương tự, ta có cách sau: • Dạng 2: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có hình dạng tùy ý Ví dụ: Cho mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh bìa có diện tích Hướng dẫn: Lấy điểm M cạnh đáy BC Chia đoạn AM thành phần cắt theo đường nối từ B C đến điểm chia hình vẽ Bài tốn có vơ số cách giải BÀI TẬP Bài Cho mảnh bìa hình chữ nhật Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh bìa hình tam giác có diện tích Hãy giải toán 12 cách khác Bài Cho mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh bìa hình tam giác cho diện tích mảnh gấp lần mảnh Bài Cho mảnh bìa hình tứ giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh bìa có diện tích Bài Cho mảnh bìa hình chữ nhật có chiều dài 36cm chiều rộng 18cm Từ đỉnh A dùng nhát cắt để chia mảnh bìa thành mảnh có diện tích Loại Các tốn ghép hình Cơ sở để thực toán dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích hình đem ghép diện tích hình ghép Vì vậy, dựa vào tổng diện tích hình đem ghép, ta xác định kích thước hình cần ghép Ví dụ: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan Cho mảnh gỗ hình chữ nhật, mảnh gỗ hình vng lớn mảnh gỗ hình vng nhỏ có kích thước hình vẽ Hãy ghép mảnh gỗ nói để hình vng Hướng dẫn Tổng diện tích mảnh gỗ là: x x + x x + x x = 25 (cm ) Vậy cạnh hình vng ghép 5cm Dưới số cách giải: BÀI TẬP Bài Cho mảnh bìa hình vng cắt hình vẽ Hãy ghép mảnh lại để hình tam giác Bài Có miếng gỗ hình bình hành, miếng gỗ hình tam giác vng có kích thước hình vẽ Hãy ghép 16 miếng gỗ để hình chữ nhật Loại Các tốn cắt ghép hình Ví dụ Cho mảnh bìa hình vng Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hình vng Hướng dẫn: Trước hết ta xét trường hợp hình vng có kích thước Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f • f: thiepngan Trường hợp hình vng có kích thước khác nhau: Ví dụ Cho mảnh bìa hình chữ nhật Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hình tam giác Hướng dẫn Ta có cách chia sau: BÀI TẬP Bài Cho mảnh bìa hình thang a) Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hình chữ nhật b) Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hại hình chữ nhật c) Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hai hình tam giác có diện thích Bài Hãy cắt bìa hình tứ giác thành mảnh ghép chúng lại để hình chữ nhật Vẽ hình minh họa cách cắt ghép Bài Cho mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hình chữ nhật Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan C - BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH HỌC PHẲNG Loại Các tốn vận dụng cơng thức tính chu vi diện tích hình học phẳng: Một số kiến thức cần lưu ý: Cơng thức tính chu vi hình vng cạnh a: P=ax4 Cơng thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b: P = (a + b) x Cơng thức tính chu vi hình tròn có bán kính r: P = r x x 3,14 Cơng thức tính diện tích hình tam giác có cạnh đáy a đường cao h (cùng đơn vị đo): S=axh:2 Cơng thức tính diện tích hình vng cạnh a: S = a x a Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật có cạnh a b (cùng đơn vị đo): S=axb Cơng thức tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy a, chiều cao h (cùng đơn vị đo): S = a x h Cơng thức tính diện tích hình thoi có hai đường chéo m n (cùng đơn vị đo): S=mxn:2 Cơng thức tính diện tích hình thang có đáy lớn a, đáy nhỏ b đường cao h (cùng đơn vị đo): S = (a + b) x h : 10 Cơng thức tính diện tích hình tròn bán kính r là: S = r x r x 3,14 Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có góc A góc B vng.Trên AB lấy điểm M,trên CD lấy điểm N cho MN song song với AD Cho biết AM = 35cm, MB = 15cm, BC = 60cm AD = 70cm Tính diện tích hình thang AMND Hướng dẫn: Cách Nối BN AN ta có: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan SABCD = (70 + 60) x (35 + 15) : = 3250 (cm2) SNBC = 60 x 15 : = 450 (cm2) SNAD = 70 x 35 : = 1225 (cm2) Từ (1) (2) ta suy ra: SNAB = 3250 - (450 + 1225) = 1575 (cm2) MN = 1575 x : (35 + 15) = 64 (cm) SAMND = (70 + 63) x 35 : = 2327,5 (cm2) Cách 2: Ta có: SNCP = SCPD - SNPD = 10 x (15 + 35) : - 10 x 35 : = 75 (cm2) RN = 75 x : (15 + 35) = (cm) MN = 60 + = 63 (cm) SAMND = (63 + 70) x (15 + 35) : = 2327,5 (cm2) Ví dụ Người ta mở rộng ao hình vng để ao hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Sau mở rộng, diện tích ao tăng thêm 600m2 diện tích ao gấp lần ao cũ Hỏi phải dùng cọc để đủ rào xung quanh ao mới? Biết cọc cách cọc 1m góc ao người ta để lối lên xuống rộng 2m Hướng dẫn Ta có sơ đồ: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan - Diện tích phần ao là: 600 : (4 – 1) = 200 (m2) - Diện tích ao là: 200 x = 800 (m2) - Ta chia ao thành hai hình vng có diện tích hình vẽ Diện tích hình vng là: 800 : = 400 (m2) - Cạnh hình vng hay chiều rộng ao 20cm (vì 20 x 20 = 400) - Chiều dài ao là: 20 x = 40 (m) - Chu vi ao là: (40 + 20) x = 120 (m) Số cọc cần để rào xung quanh ao là: (120 – 3) : = 117 (chiếc) Đáp số: 117 cọc BÀI TẬP Bài Một miếng bìa hình bình hành có chu vi 2m Nếu bớt chiều dài 20cm ta miếng bìa hình thoi có diện tích 6dm2 Tìm diện tích miếng bìa hình bình hành đó? (Đs: dm2) Bài Khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều rộng 32m Chính khu vườn có ao hình vng chu vi 18m Tính diện tích lại khu vườn (Đs: 1419,75 m2 Bài Một miếng tơn hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Nếu tăng chiều dài thêm 4dm giảm chiều rộng 4dm chiều dài gấp lần chiều rộng Tính diện tích miếng tơn đó? (Đs: 12 m2) Loại Các tốn giải phương pháp diện tích Phương pháp diện tích dùng để giải tốn tính diện tích cách vận dụng tính chất diện tích Các tính chất là: Nếu hình phân thành hình nhỏ tổng diện tích hình nhỏ diện tích hình lớn ban đầu Nếu ghép hình nhỏ để hình lớn diện tích hình lớn tổng diện tích hình nhỏ Hai tam giác có số đo cạnh đáy có số đo đường cao diện tích chúng Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan Nếu số đo cạnh dáy khơng đổi số đo diện tích số đo đường cao tam giác hai đại lượng tỉ lệ thuận Nếu số đo đường cao khơng đổi số đo diện tích số đo cạnh đáy tam giác hai đại lượng tỉ lệ thuận Nếu số đo diện tích khơng đổi số đo đường cao số đo cạnh đáy tam giác hai đại lượng tỉ lệ nghịch Nếu hai hình có diện tích bớt phần diện tích chung phần lại hai hình có diện tích Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích hình hai hình nhận có diện tích Ví dụ Cho hình tứ giác ABCD Lấy M, N, P, Q trung điểm cạnh tứ giác ABCD So sánh diện tích tứ giác ABCD diện tích tứ giác MNPQ Hướng dẫn Nối A với C N Vì N trung điểm BC nên BN = BC Tam giác ABC tam giác ABN có chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC nên suy ra: SABN = SABC Vì M trung điểm AB nên tương tự suy ra: SBMN = SABN Ví dụ Cho hình thang ABCD có diện tích 30 m2 Kéo dài AB đoạn BE AB; BC đoạn BC; CD đoạn DH CD DA đoạn AK AD Nối E, G, H, K Tìm diện tích tứ giác EGHK Hướng dẫn Ta có: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan SKAE = SABD ( AK = AD chung đường cao hạ từ đỉnh B) SKAE = SKAB x (vì SKAB = SKBE chung đường cao hạ từ dỉnh K AB = BE) Suy ra: SKAE = SABD x Tương tự, ta có SGHC = SBCD x Suy ra: SKAE + SGHC = SABD x + SBCD x = SABCD x Tương tự, ta có: SKHD + SBGE = SABCD x Từ suy ra: SEGHK = SKAE + SGHC + SBGE + SKHD + SABCD = SABCD x = 30 x = 150( m2) Đáp số: 150 m2 BÀI TẬP Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh hình vng chia thành phần (như hình vẽ) Biết diện tích hình vng ABCD 144 m2 Tính diện tích hình tam giác tơ đậm (Đs: 39 m2) Bài Cho hình tam giác ABCD có gốc A góc vng cạnh AB = 6cm, cạnh AC = 9cm Trên cạnh AB lấy điểm M N cho AM = MN = NB; cạnh AC lấy điểm K H cho AK = KH = HC Tính diện tích hình tứ giác MNHK (Đs:9 m2 ) D - BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Một số kiến thức cần lưu ý: Hình hộp chữ nhật Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan - Hình hộp chữ nhật có sáu mặt sáu hình chữ nhật có ba kích thước là: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c - Diện tích xung quanh (Tổng diện tích bốn mặt bên): Sxq = (a + b) x x c - - Diện tích tồn phần (Tổng diện tích xung quanh diện tích đáy): Stp = Sxq + a x b x Thể tích: V=axbxc Hình lập phương - Hình lập phương có sáu mặt sáu hình vng nhau, tất cạnh - Diện tích xung quanh: Sxq = a x a x - Diện tích tồn phần: Stp = a x a x - Thể tích: V=axaxa Hình trụ - Hình trụ có hai đáy hai hình tròn r : Bán kính đáy h: Chiều cao - Diện tích xung quanh: Sxq = r x x 3,14 x h - Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + r x r x 3,14 x - Thể tích: Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC V = r x r x 3,14 x h Nguồn f f: thiepngan Hình cầu - Tâm bán kính hình cầu Nửa hình cầu có mặt cắt hình tròn Hình cầu có tâm O bán kính OA - Diện tích (S) hình cầu tính theo bán kính (r) sau: Sc = (r x r x 3,14) x - Thể tích (V) hình cầu tính theo bán kính (r) sau: V = (Lưu ý: Trong chương trình lớp hình trụ hình cầu giới thiệu hình, chưa đưa cơng thức tính diện tích thể tích) Ví dụ Người ta ghép hai hình lập phương cạnh 4cm thành hình hộp chữ nhật Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật Hướng dẫn - Diện tích mặt hình lập phương là: x = 16 (cm2) - Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật tổng diện tích 10 mặt hình vng, mặt hình vng có diện tích 16cm2 - Vậy diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là: 16 x 10 = 160 (cm2) - Thể tích hình lập phương là: 16 x = 64 (cm3) Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f - f: thiepngan Thể tích hình hộp chữ nhật là: 64 x = 128 (cm3) Đáp số: 160 cm3 ; 128 cm3 Ví dụ Một bê tơng có dạng hình trụ bán kính đáy 4dm cao 6m Cứ mét khối bê tông giá 150 000 đồng Hỏi cột giá tiền? Hướng dẫn Đổi: 4dm = 0,4m Diện tích đáy hình trụ là: 0,4 x 0,4 x 3,14 = 0,5024 Thể tích hình trụ là: 0,5024 x = 3,0144 Giá tiền cột bê tông là: 150 000 x 3,0144 = 45 2160 (đồng) Đáp số: 45 2160 (đồng) BÀI TẬP Bài Một bể cá hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,2m; chiều rộng 0,4m chiều cao 0,6m Mực nước bể cao 35cm Sau thả Non Bộ vào bể mực nước bể cao 47cm Tính thể tích Non Bộ (Đs: 0,0576 m3 ) Bài Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2,8m; chiều rộng chiều cao 1,5m Nước bể chiếm 45% thể tích bể Hỏi phải đổ thêm lít nước nũa để thể tích nước bể chiếm 85% thể tích bể? (Đs: 2352 lít nước) Bài thùng hình trụ có đường kính đáy 6dm, chiều cao 6dm Hỏi thùng đựng tối đa lít nước? (Đs: 169 lít) Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC ... tích hình vng tạo thành Đs: a) 20 hình vng b) 120cm 54cm2 B - CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT VÀ GHÉP HÌNH Loại Các tốn cắt hình Cơ sở để thực toán dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích hình cắt diện tích hình. .. DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan theo chiều mũi tên Ta có: SABI = SAIC (vì chung đường cao hạ từ A đáy BI = CD) Tương tự, ta có cách sau: • Dạng 2: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có hình dạng. .. mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh nhỏ để ghép lại ta hình chữ nhật Nhóm: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Nguồn f f: thiepngan C - BÀI TỐN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH HỌC PHẲNG Loại Các tốn