Dạng 7 rút gọn chứng minh biểu thức nguyễn chí thành

CHUYÊN ĐỀ 7: RÚT GỌN – CHỨNG MINH BIỂU THỨC Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác, kết hợp với đẳng thức để biến đối Bài Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:) 1) sin x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x  2) sin x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x  HD: 1) Ta có: sin3x  cos3x  sin x  cos x  sin x  cos2 x  sin x.cos x   sin x  cos x 1  sin x.cos x Hằng đẳng thức a b3 sin x- cos x  sin x  cos2 x+ sin x.cos x   sin x- cos x 1  sin x.cos x   2) sin3x-cos3x H»ng ®¼ng thøc a3 b3 Bài Rút gọn biểu thức sau: π    π    π    π    a) A  cos   a   sin   a   cos   a   sin   a  2 2 7π  7π   3π   3π     a   sin   a   cos  a    sin  a           b) B  cos   7π   3π   x  cot    x  2     c) C  cos x  3cos  π  x   sin  π   3π  π  d) D  2sin   x   sin  5π  x   sin   x   cos   x  2    2  e) E  cos x  sin  300  x  sin  300  x  HD: Sử dụng cung liên kết π 2   π 2   π 2   π 2   a) A  cos   a   sin   a   cos   a   sin   a   sin a  cos a  sin a  cos a  2sin a b) LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 7π  7π   3π   3π    B  cos   a   sin   a   cos  a    sin  a           π π      π   π   cos  π   a   sin  π   a   cos  a+  4π   sin  a+  4π  2         π  π   π  π   cos   a   sin  +a   cos  a+   sin  a+   2  2   2  2 c)  7   3  C  cos x  3cos   x   sin   x  cot   x            cos x  3cos x  sin  4   x  cot  2   x  2             cos x  sin   x  cot   x    cos x  cos   x   sin x  cos x 2  2  2  e) Ta có:     E  cos x  sin 300  x sin 300  x  cos x   cos x  cos x  cos 600  1 1 cos x      2 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau: 1) cos2   sin    2sin  5) 2cos2     2sin  2)  4sin   4cos   6) sin  cot   cos  tan   sin   cos  3) sin   cos4    2sin  cos2  7) cos4   sin   cos2   sin  4) sin  cos   sin  cos3   sin  cos  8) sin   cos4    2cos   2sin   HD: 1) cos   sin   (1  sin  )  sin    2sin  2)  4sin    4(1  cos  )    4cos   4cos   3) sin   cos   (sin   cos  )2  2sin  cos    2sin  cos  4) sin  cos   sin  cos3   sin  cos  (sin   cos  )  sin  cos  5) 2cos    2(1  sin  )    2sin     2sin  6) sin  cot   cos  tan   sin  cos  sin   cos   cos   sin  sin  cos  7) cos   sin    cos   sin    cos   sin    cos   sin  8) sin   cos   (sin   cos  )(sin   cos  )  sin   cos   (1  cos  )  cos    2cos   2sin   LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Bài Chứng minh đẳng thức sau: 1) tan x  cot x  sin x cos x 2) 1  1  tan x  cot x 3)  sin x   tan x  sin x 4)  cot x  5) 6)  cos x sin x  sin x  cos x   1 7)      tan x  cosx cosx    8) tan x tan y   sin x sin x 9) tan x  tan x  tan y cot x  cot y cos x   sin x cos x sin x  cos x    cos x sin x sin x HD: 1) tan x  cot x  sin x cos x sin x  cos2 x    cos x sin x sin x.cos x sin x cos x 1 cos x sin x cos x  sin x     1 sin x cos x cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 1 1 cos x sin x 2) 1    tan x  cot x 3)  sin x (sin x  cos2 x)  sin x cos x  2sin x     tan x  sin x cos2 x cos2 x 4) cos x sin x  cos x  cos x  sin x  sin x  cos x    sin x sin x sin x sin x  cos x 2sin x      4 sin x sin x sin x sin x  cot x   5) sin x  cos x sin x    cos x  sin x   2cos x  cos x 2(1  cos x)       cos x sin x (1  cos x).sin x (1  cos x).sin x (1  cos x).sin x sin x 6)  cos x sin x   (1  cos x)(1  cos x)  sin x   cos x  sin x ( đúng) sin x  cos x   1 1 1  tan x    tan x  (1  tan x)    0 7)     2 cos x  cos x  cos x cos x cos x cos x  sin x sin y sin x.cos y  cos x.sin y  tan x  tan y cos x cos y sin x.sin y cos x.cos y     tan x tan y 8) cot x  cot y cos x cos y cos x.sin y  sin x.cos y cos x.cos y  sin x sin y sin x.sin y Cách khác: Ta có: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 tan x tan y (cot x  cot y )  tan x tan y.cot x  tan x tan y.cot y  tan y  tan x tan x cot x 1  tan x tan y  9) tan x   tan y  tan x cot y  cot x cos x sin x cos x sin x(1  sin x)  cos2 x     sin x cos x  sin x cos x(1  sin x) sin x  sin x  cos2 x sin x  1   cos x(1  sin x) cos x(1  sin x) cos x Bài Chứng minh với góc  làm cho biểu thức sin   tan  có nghĩa, biểu thức cos  cot  khơng thể số âm HD: Điều kiện: sin  cos  sin   tan   cos   cot  sin  sin  sin  (1  cos  ) cos   sin  cos   sin   cos  cos  cos  sin   cos  cos2  (1  sin  ) cos   sin  sin   Vì cos   0;sin    sin2  (1  cos  ) 1  sin  ,cos    0 cos2  (1  sin  ) Nhiều bạn thắc mắc cos   0;sin   1  sin  ,cos      sin  ,cos   Ở em cần ý:  mà cos   0;sin   nên 1  sin  ,cos    sin   cos   1 Bài a) Chứng minh: sin x.cos x.cos2 x.cos x  sin x  3 5 b) Áp dụng tính: A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 , B  cos cos cos 7 HD: a) Áp dụng công thức nhân đôi: 1 sin x.cos x  sin x  sin x.cos x.cos x.cos x  sin x.cos x.cos x 2 1  sin x.cos x  sin x b) Tính A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 sin 780  cos120 ;sin 660  cos240 ;sin 42  cos 480 A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780  sin 60.cos120.cos240.cos 480  cos60 A  sin 60.cos60 cos120.cos240.cos 480  sin 960 16 sin 96 A  16 cos6 16 + 3 4    cos  2 4  7   B  cos cos cos  5 2  7 cos   cos  7  cos Nhân hai vế với sin    8 sin     7    2 4 8 1    sin B  sin cos cos cos  sin B    7 7 8 sin sin 7 sin 8 Bài a) Chứng minh: sin4 x   cos2 x  cos x b) Áp dụng tính: S  sin4  16  sin4 3 5 7  sin4  sin4 16 16 16 a) Ta có: 1 1  cos x  cos x   (1  2sin x )  (2 cos2 x  1) 8 8   1 1    sin2 x  2  2sin2 x  1    sin x  2(1  4sin x  4sin x )  1  8 8  1    sin2 x   sin2 x  sin x  sin x 8   b) Áp dụng câu a ta có: sin  16 3 sin 16  sin 16 7 sin 16    cos  cos 8 3 3   cos  cos 8 5 5   cos  cos 8 7 7   cos  cos 8  3 5 7  sin  sin 16 16 16  3 5 7    3 5 7     cos  cos  cos  cos   cos  cos  cos  cos  2 8 8  8 4 4    S  sin             16  sin LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Bài a) Chứng minh: tan x   cos2 x sin x b) Áp dụng tính: S  tan2  12  tan2 3 5  tan2 12 12 HD: a) Ta có:    cos x   2sin x 2sin x sin x     tan x sin x 2sin x.cos x 2sin x.cos x cos x b) Áp dụng câu a ta có:    cos   tan2   12   sin    3    1   74            cos  3 tan2   12   sin      2    1      5  cos   tan2   12   sin  2   3       74         Từ suy S  15 Bài Chứng minh công thức sau a) sin   cos     cos  sin  sin  b) c)  sin  cos  tan   cot  d) sin  tan   4sin   tan   3cos   e)  tan 2a  cos4a  sin 4a  tan a f) tan a  sin a  tan a.sin a tan   sin   tan  2 cot   cos  HD: a) Ta có: sin   cos  sin   (1  cos  ) sin   cos    2cos      cos  sin  (1  cos  ).sin  (1  cos  ).sin  2(1  cos  )   (1  cos  ).sin  sin  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 b) Ta có:   sin    1 2 tan   sin   cos    sin  tan   tan   cot   cos    cos  cot  cos    1  sin   2 tan  Chó ý:  tan  cot  c) Ta có: tan   cot    sin  cos  sin   cos     cos  sin  sin  cos  sin  cos   sin  cos  tan   cot  d) Ta có: sin  tan   4sin   tan   3cos   (sin  tan   tan  )  (4sin   3cos  )  tan   sin   1  sin   3(sin   cos  )  tan  ( cos  )  sin   sin   ( cos  )  sin     sin   sin    cos  e) Ta có:  cos a  sin a   tan a cos a   cos a  sin a   tan a  cos a  sin a  tan a    tan a cos a  cos a  sin a  (cos a  sin a)(cos a  sin a)  cos a  sin a  f) Ta có: tan a  sin a  sin a    sin a  sin a   1  sin a tan a 2 cos a  cos a  Bài 10 Cho A   cos x  (1  cos x)  1 sin x  sin x  a) Rút gọn A  b) Tính giá trị A cos x   ;   x   2 HD: a) Ta có: A  cos x  (1  cos x)   cos x  sin x   cos x  cos x    A   sin x  sin x  sin x  sin x   cos x  cos x 1  cos x 1  cos x  1  cos x      3 sin x sin x sin x sin x sin x b) Ta có: Vì   cos2 x  sin x   sin x  ;  x   nên sin x    A LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Bài 11 Chứng minh: a) sin 3x.sin x  cos3x.cos3 x  cos3 x  cos x  cos x     cot x   x    cos x  cos x 2  b) HD: a) Ta có: sin 3x.sin x  cos3x.cos3 x   3sin x  4sin x  sin x   4cos3 x  3cos x  cos x  3sin x  3cos x  4cos6 x  4sin x 4 2 2 2 Mà: 3sin x  3cos x   sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x  cos x  4sin x   cos x  sin x  sin x  sin x.cos x  cos x    cos x  sin x   sin x  cos x   sin x.cos x    cos x  sin x 1  sin x.cos x  Suy : sin x.sin x  cos x.cos3 x   sin x  cos x    cos x  sin x 1  sin x.cos x    cos x  sin x  3   4sin x.cos x    cos x  sin x  1  4sin x.cos x   cos x 1  sin 2 x   cos x.cos 2 x  cos3 x b) Ta có:  cos x  cos x    cos x  cos x  1  cos x 2  cos2 x  1  cos x  1  cos x   1  cos x  1  cos x  1  cos x  1  cos x  1  cos x  1  cos x  1  cos x 2  cos x   cos x  cos x cos x  2  cot x sin x sin x sin x Các em giải cách bình phương hai vế Bài 12 Chứng minh công thức sau a) sin  sin   cos    sin   cos  sin   cos  tan   b)  cos   cos     cos   cos  sin  HD: a) Ta có: sin   cos  sin   cos  (sin   cos  ).cos  cos     sin   cos  (sin   cos  )(sin   cos  ) sin   cos  tan   cos  sin  sin   cos  sin  cos  sin   cos       sin   cos  tan   sin   cos  sin   cos  sin   cos  (sin   cos  )(sin   cos  )   sin   cos  sin   cos  LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 b) Ta có:  cos   cos     cos   cos  1  cos    cos   1  cos     cos   cos   cos    | sin  | | sin  | sin  Chó ý:  cos   Bài 13 Chứng minh đẳng thức sau: 1) sin2 x  cos2 x  cos4 x 2 cos x  sin x  sin x 2) tan2 x  cot x  3)  6) (tan x  tan x )(sin x  tan x)  tan2 x  tan x  cos x  cos x 7) sin2 x cos2 x   sin x.cos x  cot x  tan x 8) cos x  cos(1200  x)  cos(1200  x)    cos x  cos   x  4   tan x 4)   2sin   x   sin x 4     cos x  cos x cot x    cos x  cos x sin x x 3x  cot 2 9) 8  x 2 3x  cos cos x   cot 2   cot     5) cos6 x  sin6 x  cos x   sin 2 x  10) cos4 x  sin x  sin x  cos  x    4 HD: 1) Ta có: sin2 x  cos2 x  cos4 x sin2 x  cos2 x (1  cos2 x ) sin2 x  cos2 x.sin2 x   cos2 x  sin2 x  sin x cos2 x  sin2 x (1  sin2 x ) cos2 x  sin2 x cos2 x sin2 x(1  cos2 x ) sin x    tan x 2 cos x(1  sin x ) cos x 2) Ta có: 2 tan x  cot x  sin2 x  cos2 x  sin x  cos4 x sin  cos2 x sin2 x sin2 x.cos2 x  cos x 8  2  2   cos x  cos x 2sin x 2sin x.cos x  tan2 x  cot x   cos x  cos 4x   x  cos2 x  2sin x.cos2 x  sin x.cos2 x 2  2 sin x.cos2 x  sin x.cos2 x 3) Ta có: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 2 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin3 x cos3 x 1   1   1  cos x sin x  cot x  tan x sin x  cos x sin x  cos x 1 1 sin x cos x  sin x  cos x  sin2 x  cos2 x  sin x.cos x  sin3 x  cos3 x   1   sin x.cos x   1 sin x  cos x  sin x  cos x    4) Ta có:       cos x  cos   x  cos x   cos cos x  sin s inx  4 4           2sin   x   sin x sin cos x  cos s inx   sin x 4    cos x  cos x  sin x sin x    tan x cos x cos x  sin x  sin x     5) Ta có:       cos x  sin x  cos x  sin    x   cos x sin x   cos x   sin x     cos6 x  sin6 x  cos2 x    cos x  cos2 x  sin2   sin2 x 2 4 x  cos2 x sin2 x  6) Ta có:  tan x  sin x  (tan x  tan x )(sin x  tan x )   - tan x  2sin x.cos x  cos x    tan x   tan2 x cos2 x -1  tan x .sin x  tan x cos2 x -1 tan x  tan x 2 cos x  tan x cos x  sin x   cos2 x cos2 x 7) Ta có: 2  cos x  cos x 1  cos x   1  cos x  cos x cos x cos x cot x        cos x  cos x 1  cos x  1  cos x   cos2 x sin2 x sin x sin x sin x 8) Ta có: cos x  cos(1200  x )  cos(1200  x )  cos x  cos1200.cos x  sin x.sin1200  cos1200.cos x  sin x.sin1200  cos x  cos1200.cos x  cos x  cos x  9) Sử dụng công thức hạ bậc: cot x   cos x Ta có:  cos x LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Sau chia tử mẫu cho sin a.sin b b) Ta có: tan a+ tan b   tan a+ tan b   tan a.tan b tan a.tan b     tan a  tan b    1   tan a  tan b   tan a.tan b   tan a.tan b  tan a  tan b  tan a.tan b  tan a.tan b.tan  a  b   tan a.tan b tan  a  b   tan a  tan b  c) Ta có: 2sin  a  b  cos  a  b   cos  a  b     sin a.cos b  cos a.sin b  cos a.cos b  sin a.sin b  cos a.cos b  sin a.sin b  sin a.cos b  cos a.sin b  cos a.cos b  tan a  tan b d) Ta có: 2sin a.sin b.cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b  cos  a  b   cos  a  b     1  cos 2a  cos 2b   cos2  a  b    2sin a   2sin b  cos2 a  b  2   sin a  sin b  cos  a  b   sin  a  b   sin a  sin b Bài 50 Chứng minh 1) sin 3a  3sin a  4sin 3a 3) tan x  cot x  2) cos3a  4cos3 a  3cos a sin x 4) sin x  cos4 x   cos x 4 HD: a) Ta có: sin 3a  sin  2a  a   sin 2a.cos a  cos 2a.sin a        2sin a cos a   2sin a sin a  2sin a  sin a   2sin a sin a  3sin a  4sin a b) Tương tự câu a c) Ta có: tan x  cot x  sin x cos x sin x  cos2 x     cos x sin x sin x.cos x sin x cos x sin x d) Ta có: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122   sin x  cos x  sin x  cos x  2sin x.cos x   2sin x.cos x 1   cos x    sin 2 x       cos x 2   4 Chứng minh : Bài 51 1) sin 2a  tan a  tan 2a 2) cos 2a   tan 2a  tan 2a 3) tan 2a  cos 4a tan 4a  tan 2a HD: a) Ta có: sin a 2 tan a sin a  cos a  cos a  2sin a.cos a  sin 2a 1  tan a cos a cos a b) Tương tự câu a c) Ta có: tan 2a  cos 4a  tan 2a  cos 4a  tan 4a  tan 2a  tan 4a  tan 2a  tan 2a  sin 4a  cos 4a.tan 2a  tan 2a  cos 4a.tan 2a  sin 4a  tan 2a 1  cos 4a   sin 4a  tan 2a.2 cos 2a  sin 4a  sin 2a 2.cos 2a  sin 4a  2sin 2a cos 2a  sin 4a cos 2a Bài 52 Biến đổi thành tổng a) cos x.cos x b) cos3x.sin x c) sin x.cos x d) sin 3x.sin x HD: Bài ta sử dụng công thức : sin a.sin b; cos a.cos b; sin a.cos b a) Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: cos x.cos x   cos x  cos 3x  1 b) Tương tự câu a: cos 3x.sin x   sin(2 x  3x)  sin(2 x  3x)    sin x  sin x  2 1 c) sin x.cos x   sin(4 x  x)  sin(4 x  x)    sin 3x  sin x  2 1 d) sin 3x.sin x   cos(3x  x)  cos(3x  x)    cos x  cos8 x  2 Bài 53 Biến đổi biểu thức sau thành tích nhân tử LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 a) A  cos x  cos3x b) B  cos x  cos3x c) C  sin x  sin x d) D  sin 5x  sin 3x HD: Bài ta sử dụng công thức sin a  sin b; cos a  cos b a) A  cos x  cos3x  2cos x.cos x b) B  cos x  cos3x  2sin c) C  sin x  sin x  2sin 7x x sin 2 3x x cos 2 d) D  sin 5x  sin 3x  2cos x.sin x Bài 54 Rút gọn     b) cos      cos2     4  4      a) sin      sin     3  3  HD: Bài ta sử dụng công thức sin a  sin b; cos a  cos b a) Ta có:      sin      sin      2cos sin   sin  3  3  b) Ta có:                cos      cos      cos      cos      cos      cos      4  4   4  4     4         2sin sin    2cos cos    2sin  cos    sin 2 4    Bài 55 Chứng minh  a) sin  sin    3  sin      3     sin 3   b) sin 5  2sin   cos 4  cos 2   sin  HD: Sử dụng công thức: sin a.sin b; sin a.cos b a) Ta có:  sin    3  sin      3   1    2sin     2 2   sin  sin    3    1 2   cos 2  cos   cos 2     2  2 2 1  2sin    sin      3      4sin    4    sin   4sin      LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122  1 3sin   4sin    sin 3  4 b) Ta có: sin 5  2sin   cos 4  cos 2   sin 5  2sin  cos 4  2sin  cos 2  sin 5   sin 5  sin 3    sin 3  sin    sin  Bài 56 Chứng minh hệ thức sau: a) sin( x  y).sin( x  y)  sin2 x  sin2 y b) tan x  tan y  2sin( x  y) cos( x  y)  cos( x  y) c) (cos70o  cos50o )(cos230o  cos290o ) (cos 40o  cos160o )(cos320o  cos380o ) d) tan x.tan 3x  tan2 x  tan2 x  tan2 x.tan2 x HD: a) Ta có: sin( x  y).sin( x  y)   sin x.cos y  sin y.cos x  sin x.cos y  sin y.cos x       sin2 x.cos2 y  sin2 y.cos2 x  sin2 x  sin2 y  sin2 y  sin2 x  sin2 x  sin2 y Hoặc sử dụng cơng thức tích thành tổng dùng công thức nhân đôi: sin( x  y).sin( x  y)    1 cos2 y  cos2 x    2sin2 y   2sin2 x  sin2 x  sin2 y  2 b) Ta có: Bài 57 Chứng minh hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) tan a  tan(a  b) sin b  sin a.cos(a  b) b) tan a  tan(a  b) 3sin b  sin(2a  b) c) tan a.tan b   cos(a  b)  cos(a  b) d) tan(a  b).tan b  1 k cos(a  2b)  k cos a 1 k HD: a) Chú ý: b   a  b  – a b) Chú ý: b   a  b  – a; 2a  b   a  b   a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a  2b   a  b   a; a   a  b  – b LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Bài 58 Chứng minh rằng: a) Nếu cos(a  b)  sin(a  2b)  sin a b) Nếu sin(2a  b)  3sin b tan(a  b)  tan a HD: Bài 59 a) Cho sin(2a  b)  5sin b Chứng minh: tan(a  b) 3 tan a b) Cho tan(a  b)  3tan a Chứng minh: sin(2a  2b)  sin 2a  2sin 2b HD: Bài 60 Rút gọn biểu thức A  cos x  cos x  cos3x  cos x sin x  sin x  sin 3x  sin x HD: Bài 61 Chứng minh rằng: 1) cot x  tan x  tan x  tan x  8cot 8x 2) tan 3a  tan 2a  tan a  tan 3a.tan 2a.tan a 3) tan x  cot x  sin x 4) cos4 x  sin x   2sin x 5) sin x  cos x    cos x sin x sin x Bài 62 Chứng minh rằng: tan x  cot x  tan x   tan x cot x tan x  cot x 1) sin x cos x  tan x  cos x  cos x 2) 3) sin x.cot x 1 cos x 4) sin x  tan x   cos x cos2 x LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Chứng minh: Bài 63 1)  sin a   tan a  sin a 2) tan a  sin a  tan a 2 cot a  cos a 3) sin a tan a  4sin a  tan a  3cos a  HD: Chứng minh : Bài 64 1) Nếu sin a cos8 a sin a cos a     3 a b a b ab a  b 2) cos3 a.sin a  sin a.cos a  3) sin 3a  cos3a sin 2a  1 sin a  cos a 4) tan 2a  5) 1  2sin 2a  cos 2a  sin 2a cos a  sin a cos a  sin a   tan 2a cos a  sin a cos a  sin a   6) 1  tan a  7) sin 4a   sin 2a 1  tan a   cos a  cos a  cos 2a sin 2a  2sin a a  tan sin 2a  2sin a a 2 8)  sin a  2sin     4 9) sin 3a  4sin a.sin  600  a  sin  600  a  10) cos 3a  cos a.cos  600  a  cos  600  a  11) tan 3a  tan a.tan  600  a  tan  600  a  HD: Bài 65 Chứng minh hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) tan a  tan(a  b) sin b  sin a.cos(a  b) b) tan a  tan(a  b) 3sin b  sin(2a  b) c) tan a.tan b   cos(a  b)  cos(a  b) LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 d) tan(a  b).tan b  1 k cos(a  2b)  k cos a 1 k HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 66 Biến đổi biểu thức sau thành tổng : 1) sin  a  b  sin  a  b  2) sin a.sin 2a.sin 3a 3) cos a.cos b.cos c HD: 1 1)  cos 2a  cos 2b 2 1 2)  sin 6a  sin 4a  sin 2a 4 3) 1 1 cos(a  b  c)  cos  a  b  c   cos  b  c  a   cos  c  a  b  4 4 Bài 67 Chứng minh đẳng thức sau: 1) sin a.sin  b  c   sin b.sin  c  a   sin c.sin  a  b   2) cos  a  b  sin  a  b   cos  b  c  sin  b  c   cos  a  c  sin  c  a   a 2   a 2   3) sin a  2sin   150  cos   150   5) sin a  cos a tan a    2sin a cos a t ana  6) sin a  cos4 a  sin a  cos6 a  sin a cos a 7) tan a  tan b  tan a tan b cot b  cot a 8)  sin a  cos a     sin a  cos a  9)  sin x  cos x    sin x  cos6 x   10) tan a  sin a  tan a.sin a 11) 12) cos4 a  sin a  2cos a  13)  tan a  4) sin a  cos3a   sin a cos a sin a  cos a 14) sin a  cos a  cot a   2sin a cos a  cot a 16) tan a  sin a  tan a sin a sin a  cos a    cos a sin a sin a  sin a ( sin a  1 )  sin a 15) cot a  cos2 a  cot a cos2 a 17) t ana sin a   cos a sin a cot a LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 18)  sin a   tan a  sin a 19) cos2 a  sin a  sin a.cos a cot a  tan a HD: 4) Biến đổi: sin 3a  cos3a   sina  cosa   sin 2a  sina.cosa  cos 2a  5) Biến đổi: sin 2a  cos 2a   sina  cosa  sina  cosa  , chia tử mẫu cho cosa 6) Biến đổi: sin a  cos6 a   sin a  cos a  sin a  sin a.cos2 a  cos4 a  7) Biến đổi: cot b  cot a  1  tan b tan a 8) VT   sin 2a  cos 2a  sin 4a  sin 2a.cos 2a  cos 4a       sin 4a  cos 4a  sin 2a  cos 2a   2sin 2a.cos 2a  VP 9) Sử dụng a  b   a  b   2ab; 10) VT  sin 2a  sin 2a  sin 2a  tan 2a   VP cos2a 11) VT  sin 2a  (1  cos a) 2  2cos a   VP sina 1  cos a  sina 1  cos a    12) Sử dụng a  b   a  b  a  b  13) VP  14)  sin 2a sin 2a    VT cos2a cos 2a cos 2a  sin a  cos a sin a  cos a   sin a  cos a sin a  cos a  sin a  cos a   chia tử mẫu cho sina  cos 2a  sin 2a cos 2a 15) VT   cos a   VP sin 2a sin 2a Bài 68 Đơn giản biểu thức sau: a) A  1  sin a  cot a   cot a sin a  tan a c) D  cos2 a  cot a e) F   sin a cos a  sin a sin a g) I  cos2 a  cos a.cot a b) C  1  cot a  sin a  1  t ana  cos3a d)  sin a  cos a  E 1 cot a  sin a cos a 2 f) H  sin a 1  cot a   cos a 1  t ana  h) J  sin a  sin a.tan a HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 a) A  cot a  sin a.cot a   cot a   sin a cos2 a  sin a sin a b)  cos a   sin a  2 C  1   sin a  1   cos a   sin a  cos a  sin a   cos a  sin a  cos a  sin a  cos a  sin a   cos a     cos a sin a 1  sin a  sin a   sin a  cos a   c os a    tan a c) D    sin a cos a  cos a   cos a 1   cos a sin a  sin a  sin a  2sin a cos a  cos a  2sin a cos a.sin a   tan a cos a.cos a   cos a   sin a   sin a  d) E  e) F   1   cos a   sin a    cos a  sin a    cot a   cot a 2 sin a  sin a  f) H  sin a 1  cot a   cos2 a 1  t ana   sin a  sin a  sin a  2sin a cos a  cos a   sin a  cos a  cos a sin a  cos a  cos 2a sin a cos a g) I  cot a h) J  tan a Bài 69 a) A  Đơn giản biểu thức: 2cos2a  sin a  cos a c)  cos x  cos 2x b) sin x  sin 2x  sin 3x HD: a) A  2cos2 x  (sin x  cos2 x) cos x  sin x (cos x  sin x)(cos x  sin x)    cos x  sin x sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x b) cos x.sin 3x x cos 2 x  x  c) 4.cos x.cos    cos    2 6 2 6 Bài 70 a) A  b) B  Đơn giản biểu thức sau: sin  a  b   sina sin  a  b   sina   cosx  cos2x  3sinx  2cosx cos  a  b   cosa cos  a  b   cosa b  2cot  a   2  ĐS: A  sinb x  π ĐS: B  cotx.cot     LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 HD: Bài 71 Rút gọn biểu thức sau: b)  sin2   cos2  a) (1  cos )(1  cos ) c) sin   sin  cos2  d) sin4   cos4   2sin2  cos2  e) tan2   sin2 a tan2  f) cos2   tan2  cos2  g) sin 6α  cos6α  3sin 2α.cos 2α i) h) tg α  2cos α  sin α  1 sin 3α  cos k) 1   cosα  cosα l) cos4α  sin 2α  sin 2α.cos2α m) cos 4α  4sin 2α  sin 4α  4cos 2α n) tan 2α  cot 2α  o)  sinα  sinα   sinα  sinα HD: a)  cos2a  sin 2a b) c) sina 1  cos 2a   sina.sin 2a  sin 3a d)  sin 2a  cos 2a   e) tan a 1  sin a   tan a.cos a  sin a f) cos2a 1  tan 2a   cos 2a 1 cos2a g)  sin a  cos 2a  sin 4a  sin 2a.cos 2a  cos 4a   3sin 2a.cos 2a = sin 4a  sin 2a.cos2a  cos4a  3sin 2a.cos 2a =  sin a  cos2 a   3sin2 a.cos2 a  3sin2 a.cos2 a =  3sin a.cos2 a  3sin2 a.cos2 a  h) tg α  2cos 2α  cos 2α   tg 2α.cos 2α  sin 2α i) k) sin 3α sinα.sin 2α   sinα  cos  cos 1  =  cosα  cosα  cosα   cosα 2   1  cosα 1  cosα   cos α sinα LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 l) cos 4α  sin 2α  sin 2α.cos 2α  cos 2α  cos 2α  sin 2α   sin 2α  cos 2α  sin α  m)   cos α  2 =  sin α  2 tan 2α  cot 2α   n) o)  cos4α  4sin 2α  sin 4α  4cos2α  cos 4α   cos 2α  sin 4α  4(1  sin 2α)  cos 2α   sin 2α    2  cos 2α   sin 2α   tan α  cot α   tan α  cot α  sin 2α  sinα  sinα ( trục thức mẫu)   cosα cosα cos α Bài 72 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x a) A  cos  a  x   cos x  2cos a.cos x.cos  a  x  ĐS: sin a b) B  cos x  2cos a.cos x.cos  a  x   cos  a  x  ĐS: sin a Chứng minh biểu thức lượng giác sau luôn nhận giá trị không đổi, Bài 73 không phụ thuộc vào góc    a) cos a  cos  a  2π  2π     cos  a        π   π b) sin a  sin  a    sin a.sin  a   3   HD: Bài 74 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào góc a) 2cos4α  sin 4α  sin 2α.cos2α  3sin 2α b)  tanα  cotα    tanα  cotα  c) 3(sin4 α +cos4 α )-2(sin6 α +cos6 α ) d) (sin4 α +cos4 α -1).(tg2 α +cotg2 α +2) e) sin 2α.cot 2α  cos2α  f) sin 4α  cos4α  cos2α  3sin 2α 2 HD: Các em khai triển kết hợp công thức Bài 75 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) A  cos x  sin x  2sin x b) B  sin x  sin x.cos2 x  cos x c) C  cos4 x  sin x.cos x  sin x d) D  cos x  2cos x  3  sin x  2sin x  3 e) E  sin x  cos6 x  2sin x  cos x  sin x LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 f) F  cos2 x cot x  5cos2 x  cot x  4sin x Bài 76 Chứng minh biểu thức sau độc lập với biến x a) A  sin x  cos   x  cos   x  π 3 π 3   b) B  cos x  cos   x   cos   x  3 π  π    c) C  sin x  sin  2π   2π   x   sin   x     d) D  cos x  cos  x   Bài 77 2π  2π  2   cos  x      Chứng minh hệ thức sau: cos  sin  a)   sin  cos  c)  tanα cosα  sinα   tanα cosα  sinα (sin   cos )2  (sin   cos )2 4 b) sin  cos d) tan 2α  sin 2α  tan 2α.sin 2α sin 2α  cos2α sinα  cosα e)   2sinα.cosα sinα  cosα g) k) cos 2α  sin 2α  sin 4α  cot 4α sin 2α  cos2α  cos 4α f) h)  4sin 2α.cos 2α  sinα  cosα    sinα  cosα  cosα.cotα  sinα.tanα   sinα.cosα 1  sinα cosα  2sinα.cosα  tanα  cos2α  sin 2α  tanα HD: a, Biến đổi tương đương hai vế ( nhân chéo) b, Biến đổi vế trái VT = (sin 2α  2sin α cos α  cos2α)  (sin 2α  2sin α cos α  cos 2α) 4 sin α cos α sinα  cosα  sinα  1  tanα cosα  sinα cosα  cosα c)    tanα  sinα  cosα  sinα  cosα  sinα cosα cosα d) tan 2α  sin 2α  sin 2α    sin 2α  sin 2α   1  sin 2α.tan 2α 2 cos α  cos α  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 sin α  cos 2α  sinα  cosα   sinα  cosα  sinα  cosα    2sinα.cosα sinα+cosα  sinα  cosα  e) f)  4sin 2α.cos 2α  sinα  cosα   1  2sinα.cosα 1  2sinα.cosα    sinα  cosα   sin α  cos α  2sinα.cosα sin α  cos α  2sinα.cosα   sinα  cosα  2  sinα  cosα  g) 2    cos α  cot α  sin α 1  cos α  sin α cos 2α  sin 2α 2 4 h)  cosα  sinα 1  sinα.cosα  ; sinα.cosα  k) 1 cosα  sinα   sinα cosα sinα.cosα cosα.cotα  sinα.tanα   sinα.cosα 1  sinα cosα ( chia tử mẫu cho cosα ) Bài 78 Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x  cos4 x   cos2 x b) sin4 x  cos4 x   cos2 x.sin2 x c) sin6 x  cos6 x   3sin2 x.cos2 x d) sin8 x  cos8 x   4sin2 x.cos2 x  2sin4 x.cos4 x e) cot x  cos2 x  cos2 x.cot x f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x g)  sin x  cos x  tan x  (1  cos x )(1  tan x) h) sin2 x.tan x  cos2 x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x i) k) sin x  cos x  cos x   cos x sin x  cos x  1  sin2 x  sin x   tan2 x LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Chứng minh đẳng thức sau: Bài 79 a) tan a.tan b  tan a  tan b cot a  cot b b) sin a cos a  cot a   sin a  cos a cos a  sin a  cot a sin2 a cos2 a sin2 a sin a  cos a   sin a.cos a d) c)    sin a  cos a  cot a  tan a sin a  cos a tan2 a  e)  cos a  (1  cos a)2  tan2 a  cot a  tan a  cot a f) 1    sin a  sin2 a   tan2 a cot a tan2 a  cot a   sin a  sin a  tan2 a  tan2 b sin2 a  sin2 b  g)    tan2 a h)   sin a    sin a tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b i) sin2 a  tan2 a cos2 a  cot a  tan6 a k) tan3 a sin2 a a) (1  sin2 x)cot x   cot x e) cot a   tan3 a  cot a sin a.cos a cos2 a Rút gọn biểu thức sau: Bài 80 c)  cos2 x  cos2 x.cot x 2 sin x  sin x.tan x sin2 x  tan2 x cos2 a  cot x b) (tan x  cot x)2  (tan x  cot x)2 d) ( x.sin a  y.cos a)2  ( x.cos a  y.sin a)2 f) sin2 x  cos2 x  cos4 x cos2 x  sin2 x  sin x  cos x  cos x  ; x  (0,  )  cos x  cos x g) sin2 x(1  cot x)  cos2 x(1  tan x) h) i)     sin x  sin x  ; x   ;   sin x  sin x  2   3  k) cos x  tan2 x  sin2 x ; x  ;  Bài 81 2  Chứng minh biểu thức sau độc lập x: a) 3(sin4 x  cos4 x )  2(sin6 x  cos6 x ) ĐS: b) 3(sin8 x  cos8 x)  4(cos6 x  2sin6 x)  6sin4 x ĐS: c) (sin4 x  cos4 x  1)(tan2 x  cot x  2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot x  3cos2 x  cot x  2sin2 x ĐS: LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 e) f) g) sin x  3cos4 x  6 sin x  cos x  3cos x  tan2 x  cos2 x sin2 x  cot x  sin2 x sin6 x  cos6 x  sin x  cos4 x  cos2 x ĐS: ĐS: ĐS: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 ... B  2sin  7   sin      cos      LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0 975 .70 5.122 Bài 30 Rút gọn biểu thức sau: 1) 2sin a.sin 2a.sin 3a 2) sin x  sin 2x  sin 3x ... 60.sin 420.sin 660.sin 78 0 LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0 975 .70 5.122 sin 78 0  cos120 ;sin 660  cos240 ;sin 42  cos 480 A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 78 0  sin 60.cos120.cos240.cos... 4  7   B  cos cos cos  5 2  7 cos   cos  7  cos Nhân hai vế với sin    8 sin     7    2 4 8 1    sin B  sin cos cos cos  sin B    7 7 8 sin sin 7 sin