ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ Giải tích 2

ch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z tch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z tch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z t

ƠN TẬP CUỐI HỌC KỲ Mơn: Giải tích ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Thor Họ tên: MSSV: Chủ đề 3: Tích phân mặt Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại tích phân có dạng: f ds S Tính chất: Là tích phân khơng phụ thuộc vào phía mặt S Diện tích mặt S : SS = 1ds S Nếu S = S1 ∪ S2 , S1 ∩ S2 = ∅ : f ds = S f ds + S1 f ds S2 Nếu S gồm S1 S2 đối xứng qua mp z = (mp Oxy): 4.1 Nếu f hàm lẻ theo biến z f ds = S 4.2 Nếu f hàm chẵn theo biến z f ds = S f ds S1 Phương pháp giải: Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x)) 1.1 Tính vi phân mặt S : ds = + zx + zy dxdy Xác định hình chiếu D mặt S lên mặt phẳng tọa độ z = (hoặc x = 0, y = 0): 2.1 Phương trình mặt chắn khơng chứa z 2.2 Hình chiếu giao tuyến S với phương trình mặt chắn có chứa z 2.3 Kết hợp với điều kiện xác định z f ds = Chuyển mặt kép: S + zx + zy dxdy f D 3.1 Nhận xét tính đối xứng D rút gọn hàm lẻ 3.2 Dùng tọa độ cực để tính D có dạng hình tròn, ellipse Bài tập: (x + y + 2z)ds với (S) : x + y + z = bị giới hạn mặt trụ x2 + y Tính I = S Hướng dẫn: √ (S) : z = − x − y, ds = 3dxdy Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x2 + y √ √ I = (x + y + 2z)ds = [x + y + 2(1 − x − y)] 3dxdy = S S (y + − x − 2y)dxdy D Ta có D miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy, −x hàm lẻ theo x, −2y hàm lẻ theo y nên (−x − 2y)dxdy = D I= √ √ √ (y + 2)dxdy = 3S(D) + 3 D √ √ 2π y dxdy = 3π + dϕ r2 sin2 ϕ.rdr = D √ 3π zds với (S) : z = x2 + y bị chắn hai mặt z = z = 2 Tính I = S Hướng dẫn: (S) : z = x2 + y , ds = + 4x2 + 4y dxdy Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x2 + y √ 2π zds = (x2 + y ) + 4x2 + 4y dxdy = S √ D Đặt u = 4r2 + 1, udu = 4rdr √ u2 − 2π u 5)π u du = (594−50 I = dϕ ≈ 12.62 120 √ 4 dϕ I= √ r2 4r2 + 1.rdr (x + y + z)ds với (S) : z = x2 + y bị giới hạn Tính I = z S Hướng dẫn: x2 (S) : z = + y2, ds = √x x2 +y 1+ + √ y dxdy = x2 +y √ 2dxdy Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x2 √ + y2 I = (x + y + z)ds = (x + y + x2 + y ) 2dxdy S D Vì D miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên √ 2π √ 2π x2 + y dxdy = dϕ r2 dr = I= 0 D (x + y)dxdy = D Tính diện tích mặt (S) : x2 + y + z = bị chắn mặt trụ x2 + y = 2y lấy phần z Hướng dẫn: − x2 − y , ds = (S) : z = 1+ √ −x 4−x2 −y 2 √ + −y dxdy = 4−x2 −y 2 − x2 − y dxdy Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x2 + y 2y sin ϕ π 2 √ dxdy = dϕ SS = 1ds = rdr = 4π − − r2 − x2 − y 0 S D Tính I = (x + 2y) − x2 − y ds với (S) : x2 + y + z = bị giới hạn y = x, y = 0, lấy S phần x 0, y 0, z Hướng dẫn: (S) : z = 1− x2 − y2, ds = 1+ √ −x 1−x2 −y 2 √ + −y 1−x2 −y dxdy =   y=x y=0 Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy :  − x2 − y = 0, x π (x + 2y) − x2 − y ds = I= S (x + 2y)dxdy = − x2 − y Tính diện tích mặt paraboloid (S) : z = x2 + y giới hạn trụ ellipse x2 + y 2 dxdy dϕ (r cos ϕ + 2r sin ϕ)rdr = D 0, y 1 √ 4− Hướng dẫn: (S) : z = x2 + y , ds = + 4x2 + 4y dxdy Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x2 + y 1√ 2π SS = 1ds = + 4x2 + 4y dxdy = dϕ + 4r2 rdr S D Đặt u = √ √ 2π 4r2 + 1, udu = 4rdr ⇒ SS = dϕ u π √ u du = (5 − 1) x2 + y bị chắn mặt cầu x2 + y + z = Tính diện tích phần mặt nón z = Hướng dẫn: x2 + y , ds = (S) : z = 1+ √ x x2 +y 2 + √ y dxdy = x2 +y √ 2dxdy z = x2 + y ⇔ x2 + y = x2 + y + z = 2 Gọi D hình chiếu √ mp Oxy√: x + y √ (S) lên 2dxdy = 2S(D) = 2π SS = 1ds = Phương trình giao tuyến: S D (x2 + 2z)ds với (S) : x = Tính I = y + z nằm mặt phẳng y = z y = z S Hướng dẫn: y + z , ds = (S) : x = 1+ √ y y +z 2 + √ z y +z dxdy = √ 2dydz y=z y = z2 z √ √ (x2 + 2z)ds = (y + z + 2z) 2dydz = dz (y + z + 2z)dy = Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oyz : I= S D z2 √ 53 210 y lấy phần Tính diện tích phần mặt cầu (S) : x2 + y + z = nằm mp z = y, z = √ y 0, z Hướng dẫn: (S) : x = ± − y − z Ta có SS = 1ds = 1ds với (S1 ) : x = − y − z S S1  z=y   y z=√ Gọi D hình chiếu (S1 ) lên mp Oyz :   − y − z = 0, y SS = 1ds = S1 D 10 Tính I = π 1− y2 − z2 dydz = dϕ π 0, z π √ rdr = 1−r zxds với (S) : x + y + z = bị chắn 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = S Hướng dẫn: √ (S) : z = − x − y, ds = 3dxdy   3x + y = 3x + 2y = Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy :  y=0 I= zxds = S = √ √ √ (3 − x − y)x 3dxdy = 6−2y 3 dy D 3−y 3 − y (6 − 2y) − (3 − y) (6 − 2y) − (3 − y)3 − dy = 27 3 (3x − x2 − xy)dx √ 13 √ 11 Tính diện tích mặt (S) : 2z = x2 bị chắn x − 2y = 0, y − 2x = 0, x = 2 Hướng dẫn: √ x2 (S) : z = , ds = + x2 dxdy   x − 2y = y − 2x√= Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy :  x=2 √ 2x 2 √ √ SS = 1ds = dx + x2 dxdy = + x2 dy = 13 S x D √ (x + y + z)ds với (S) : x2 + y + z = nằm hai mặt phẳng y = x y = 12 Tính I = 3x S lấy phần x Hướng dẫn: (S) : x2 + y + z = ⇒ z = ± − x2 − y √ 3x  x y Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : x  x + y2 Ta có (S) mặt đối xứng qua mp z = 0, z hàm lẻ z nên zds = S ⇒I= (x + y)ds = S I=2 D (x + y)ds với (S1 ) : z = − x2 − y S1 (x+y) √ 2 dxdy 1−x −y π = dϕ π π 1 (r cos ϕ+r sin ϕ) √1−r rdr = (cos ϕ+sin ϕ)dϕ π √r dr 1−r2 Đặt r = sin t, dr = cos tdt π π I = (cos ϕ+sin ϕ)dϕ √ = π 3−1 π 2 = √ ( 3−1)π sin2 t cos t √ 1−sin2 t π π π dt = (cos ϕ+sin ϕ)dϕ sin tdt = 2(sin ϕ−cos ϕ) π π 13 [152-CA1] Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn z = t − sin 2t 4 x2 + y z = − x2 − y Hướng dẫn: 14 [162-CA1] Tính tích phân I = (1 − z)ds với S phần mặt cầu x = √S √ mặt phẳng y = −x 3, x = y 4 − y − z nằm π Hướng dẫn: (S) : z = ± − x2 − y , x  2  x +y x Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : 0.5đ √  −x y √x3 Ta có (S) mặt đối xứng qua mp z = 0, −z hàm lẻ z nên −zds = S ⇒I= 1ds = S − x2 − y 1ds với (S1 ) : z = S1 π I=2 4− D x2 − y2 dxdy = √ dϕ − π3 rdr 0.5đ = 4π 0.5đ − r2 (x + 2y − z)ds, S phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị 15 [172-CA2] Tính I = S mặt z = x2 + y − 2y − 3, x = 1, lấy miền x Hướng dẫn: z = 2x − 2y z = 2x − 2y ⇔ z = x2 + y − 2y − (x − 1)2 + y = (x − 1)2 + y Gọi D hình chiếu (S) lên mp Oxy : 0.5đ x √ I = (x + 2y − z)ds = [x + 2y − (2x − 2y)] + + 4dxdy = (4y − x)dxdy 0.5đ Phương trình giao tuyến: S π D D dϕ (4r sin ϕ − r cos ϕ − 1)rdr 0.25đ = −16 − 6π 0.25đ =3 − π2 Chú ý: Có thể dùng tính đối xứng miền D để bỏ hàm lẻ 4y tính cho lẹ nha baby 16 [173-DT] Tính diện tích phần mặt trụ z = 4−y bị cắt mặt phẳng z = 0, x+y = 2, x = Hướng dẫn: (1 + x2 + y )ds với S phần mặt trụ x2 + y = bị cắt 17 [182-CA2] Tính tích phân I = S mặt phẳng z = 0, z + x = Hướng dẫn: Tích phân mặt loại − Cho hàm P, Q, R xác định mặt S định hướng pháp vector đơn vị → u = (cos α, cos β, cos γ) Tích phân mặt loại tích phân có dạng: P dydz + Qdzdx + Rdxdy S I= − (P, Q, R).→ u ds = P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S S (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds S Tính chất: Là tích phân phụ thuộc vào phía mặt (S) Nếu thay đổi hướng pháp vector mặt (S) tích phân đổi dấu Nếu S = S1 ∪ S2 , S1 ∩ S2 = ∅ : P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S P dydz + Qdzdx + Rdxdy + P dydz + Qdzdx + Rdxdy S1 S2 Phương pháp giải: Đưa mặt loại mặt loại 1: 1.1 Viết (S) : z = z(z, y) − − 1.2 Pháp vector: → n = ±(−zx , −zy , 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: → u =± 1.3 I = S S (−zx , −zy , 1) −P.zx − Q.zy + R − (P, Q, R).→ u ds = ± P dydz + Qdzdx + Rdxdy = zx + zy + ds zx + zy + S Đưa mặt loại tích phân kép: + zx + zy dxdy, gọi D hình chiếu S lên mp Oxy 2.1 ds = − − u =± 2.2 Pháp vector: → n = ±(−zx , −zy , 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: → −P.zx − Q.zy + R 2.3 I = ± S =± −P.zx − Q.zy + R ds = ± zx + zy + 2 zx + zy + (−zx , −zy , 1) + zx + zy dxdy zx + zy + D (−P.zx − Q.zy + R)dxdy D Chuyển nhanh từ mặt loại tích phân kép: (hay dùng ) 3.1 Viết (S) : z = z(z, y) − 3.2 Pháp vector: → n = ±(−zx , −zy , 1) 3.3 Xác định hình chiếu (S) lên mp z = (mp Oxy) Cách xác định giống mặt loại P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ± 3.4 I = S (−P.zx − Q.zy + R)dxdy D Lấy dấu + pháp vector hướng lên theo chiều dương Oz Lấy dấu − phép vector hướng xuống theo chiều dương Oz Giải tích phân kép 4.1 Nhận xét tính đối xứng D rút gọn hàm lẻ 4.2 Dùng tọa độ cực để tính D có dạng hình tròn, ellipse Bài tập: (x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) mp 2x − 3y + 4z = 5, hướng Tính I = S lên theo chiều dương Oy, bị giới hạn x2 + y Hướng dẫn: − (S) : z = 5−2x+3y ,→ n = ± 12 , − 34 , Vì (S) hướng lên theo chiều dương Oy nên ta phải chọn − pháp vector cho tung độ dương ⇒ → n = − 12 , 43 , −1 Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x2 + y I = (x+y)dydz+(z−x)dzdx+(x+y)dxdy = − 21 (x + y) + 34 5−2x+3y − x − (x + y) dxdy S D 15 16 = D − 21 x − 21 x− D 15 y 16 − 15 y 16 dxdy Do D miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên dxdy = ⇒ I = D 15 dxdy 16 = 15 S(D) 16 = 15π 16 z dydz + xdzdx − 3zdxdy với (S) : z = − y , hướng xuống theo chiều dương Oz, Tính I = S bị giới hạn x = 0, x = 1, z = Hướng dẫn: − (S) : z = − y , pháp vector: → n = (0, −2y, −1) PT giao tuyến: − y = ⇒ y = ±2 Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy D bị giới hạn : x = 0, x = 1, y = ±2 z dydz +xdzdx−3zdxdy = I= S [−2xy +3(4−y )]dxdy = dy (−2xy +12−3y )dx = 32 −2 D (x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) : z = x2 + y bị giới hạn z = Tính I = S lấy hướng lên theo chiều dương Oz Hướng dẫn: − (S) : z = x2 + y , pháp vector: → n = (−2x, −2y, 1) PT giao tuyến: x2 + y = Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x2 + y I = (x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy = [−2x(x + y) − 2y(x2 + y − x) + (x + y)]dxdy S D 2 (−2x − 2x y − 2y + x + y)dxdy Do D miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên = D 2π (−2x2 y − 2y + x + y)dxdy = ⇒ I = D −2x2 dxdy = −2 D − x2 − y Tính I = Cho (S) phần phía ngồi nửa cầu z = zdxdy S Hướng dẫn: (S) : z = − − x2 − y , pháp vector: → n = √ x , 4−x2 −y 2 Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x2 + y 2π I= − x2 − y dxdy = zdxdy = S D dϕ 0 √ r2 cos2 ϕ.rdr = − dϕ y 4−x2 −y ,1 √ 16π − r2 rdr = π (x3 − 3yz)dydz − (y + 2xy)dzdx + (z − x)dxdy, với S phần [152-CA1] Tính tích phân I = S mặt phía trụ z = − y , giới hạn mặt phẳng z = 0, x = 0, 2x + z = Hướng dẫn: 2dydz + (y − 2x − z)dxdy, với S phần mặt trụ z = 2x − x2 [162-CA2] Tính tích phân I = S nằm hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x mặt phẳng z = 0, lấy phía theo hướng trục Oz Hướng dẫn: (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy với S mặt nón [172-DT] Tính tích phân I = S z= x2 + y , phần ứng với z x 0, lấy phía Hướng dẫn: yzdzdx+z dxdy, S phần mặt trụ y +z = 1, z S − → bị chắn mặt x = 0, x = 1, lấy phía theo hướng vector Oz [182-DT] Tính tích phân I = Hướng dẫn: (y + z)dydz − 2x2 zdzdx + (x2 + y )dxdy với S phần mặt trụ y = − x2 [182-CA1] Tính I = S bị cắt mặt phẳng y = 0, z = 0, z + y = lấy phía tương ứng với vector pháp tuyến ngược −→ hướng với vector Oy Hướng dẫn: Công thức Gauss - Ostrogradski (Mặt → Bội 3) Cho miền Ω đóng bị chặn, S mặt biên (mặt bao quanh) Ω Các hàm P, Q, R khả vi liên tục Ω Khi đó: P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ± I= S (Px + Qy + Rz )dxdydz Ω Lấy dấu + mặt S hướng Ω Lấy dấu − mặt S hướng vào Ω Bài tập: x2 dydz + xydzdx + z Tính I = x2 + y dxdy với S mặt biên vật thể bị giới hạn S mặt x2 + y = 1, z = x2 + y , z = 0, hướng Hướng dẫn: Áp dụng ct Gauss: I = x2 dydz + xydzdx + z x2 + y dxdy = Ω S = (3x + x2 + y )dxdydz (2x + x + x2 + y )dxdydz Vì Ω miền đối xứng qua mp x = nên Ω 3xdxdydz = Ω x2 + y dxdydz ⇒I= Ω Gọi D hình chiếu Ω lên mp Oxy : x2 + y x2 +y x2 + y dxdydz = I= Ω D 2π x2 + y dz = dxdy r2 dϕ rdr 0 rdz = 2π 2xdydz +2ydzdx+(z +x)dxdy với S phần nửa mặt cầu x2 +y +z = 1, Tính I = S lấy hướng xuống theo chiều dương Oz Hướng dẫn: Gọi (S ) : z = 0, lấy hướng lên theo chiều dương Oz I1 = 2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = − (2 + + 1)dxdydz = −5V (Ω) = − 25 43 π = − 10π Ω S∪S PT giao tuyến: x2 + y = Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x2 + y I2 = 2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = (0 + x).1dxdy = (Vì D miền đối xứng qua D S trục Oy, x hàm lẻ x) ⇒I= 2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = I1 − I2 = − 10π S (x3 + 1)dydz + (y + 2)dzdx + (z + 3)dxdy với S phần mặt cầu x2 + y + z = Tính I = S bị chắn mp z = (lấy phần z 1), lấy hướng lên theo chiều dương Oz Hướng dẫn: Gọi (S ) : z = 1, lấy hướng xuống theo chiều dương Oz I1 = (x3 + 1)dydz + (y + 2)dzdx + (z + 3)dxdy = + (3x2 + 3y + 3z )dxdydz Ω S∪S  √  x = ρ sin θ cos ϕ  √ x2 + y + z = ⇒ ρ = Đặt y = ρ sin θ sin ϕ Ta có ⇒ ρ cos θ  z = ⇒ ρ = cos1 θ  z = ρ cos θ x2 + y = z=1 PT giao tuyến √ π 2π 2 dϕ dθ I1 = 0 ρ2 sin2 θ = ρ cos θ = ⇔ ρ ρ sin θdρ = cos θ 6π π √ (4 − ⇒θ= π ⇒0 ) sin θdθ = cos5 θ 6π θ π √ 2− 13 Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x2 + y I2 = (x3 + 1)dydz + (y + 2)dzdx + (z + 3)dxdy = (1 + 3)(−1)dxdy = −4S(D) = −4π √ + 4π − 13 (x3 + 1)dydz + (y + 2)dzdx + (z + 3)dxdy = I1 − I2 = 6π D S ⇒I= S Cho S biên vật thể Ω giới hạn z = x2 + y z = zy dydz + (y + y )dzdx + z dxdy Tính I = S Hướng dẫn: x2 dydz + y dzdx + zdxdy, với S biên vật thể Ω giới hạn Tính I = 2 S x +y +z z x2 + y Hướng dẫn: zy dydz + (y + y )dzdx + x2 dxdy, với S phần phía ngồi mặt z = x2 + y bị Tính I = S chắn z = hướng xuống theo Oz + Hướng dẫn: [152-CA2] Cho S phần mặt phía ngồi mặt trụ x2 + y = 2x nằm hai mặt z = (ez cos y + 2x)dydz + (y + 1)dzdx + (z + 1)dxdy z = Tính tích phần i = S Hướng dẫn: x2 + y , mặt phẳng z = 0, miền nằm hai mặt trụ x + y = x + y = Gọi mặt định hướng S biên Ω, lấy phía Tính I = 3xydydz + z(x2 + y )dxdy [172-CA2] Cho vật thể Ω giới hạn nón z = − 2 2 S Hướng dẫn: (2x + yz)dydz + (y + z )dzdx − (x2 + 2yz)dxdy với S phần [182-CA2] Tính tích phân I = S mặt nón x = 3y + 3z nằm mặt cầu x2 + y + z = 4x lấy phía tương ứng với vector −→ pháp tuyến hướng với vector Ox Hướng dẫn: 10 Công thức Stokes (Đường → Mặt 2) Cho mặt S có biên đường cong kín C Các hàm P, Q, R khả vi liên tục S Khi đó: P dx + Qdy + Rdz = ± I= (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + (Qx − Py )dxdy C S Phương pháp giải: Chọn mặt S xác định hướng mặt S 1.1 Chọn mặt S: 1.1.1 Nếu C giao mặt phẳng mặt cong ta chọn S mặt phẳng 1.1.2 Nếu C giao mặt cong ta chọn S mặt cong đơn giản để dễ tính 1.2 Xác định hướng mặt S theo quy tắc sau: 1.2.1 Nhìn từ Oz + (nhìn từ dương sang âm): Nếu C lấy NC KĐH chọn S hướng lên theo chiều dương Oz Nếu C lấy CC KĐH chọn S hướng xuống theo chiều dương Oz 1.2.2 Nếu đề cho nhìn từ Oz − (nhìn từ âm sang dương) đổi nhìn từ Oz + theo quy tắc: Oz − NC = Oz + CC Oz − CC = Oz + NC Áp dụng công thức Stokes: 2.1 I = (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + (Qx − Py )dxdy P dx + Qdy + Rdz = + C S 2.2 Lưu ý: Lấy dấu + hướng mặt S chọn theo quy tắc Xử lý giống phần tích phân mặt loại Bài tập: (y + z )dx + (2x + 3y )dy + (3z + 4x2 )dz, với C giao tuyến Tính tích phân I = C x2 + y + = z, 2x + z = 2, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz Hướng dẫn: x2 + y + = z (x + 1)2 + y = ⇔ 2x + z = z = − 2x Chọn S phần mặt phẳng z = − 2x nằm bên mặt trụ (x + 1)2 + y = 1, lấy hướng lên theo chiều dương Oz − ⇒ Pháp vector : → n = (2, 0, 1) 0.5đ Áp dụng công thức Stokes: I = (0 − 0)dydz + (2z − 8x)dzdx + (2 − 1)dxdy = (2z − 8x)dzdx + dxdy 0.5đ Phương trình giao tuyến: S S Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : (x + 1)2 + y [(2z − 8x).0 + 1.1]dxdy = I= D dxdy = S(D) = π 0.5đ D (y + 2z)dx + (2x + 3y)dy + (3z + 4y )dz, với C giao tuyến Tính tích phân I = C z = y + 2, x2 + y = 1, lấy theo chiều chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz Hướng dẫn: Chọn S phần mặt phẳng z = y + nằm bên mặt trụ x2 + y = 1, lấy hướng xuống theo chiều dương Oz 11 − ⇒ Pháp vector : → n = (0, 2y, −1) 0.5đ Áp dụng công thức Stokes: I = (12y − 0)dydz + (2 − 0)dzdx + (2 − 1)dxdy = S 12y dydz + 2dzdx + dxdy 0.5đ S 2 Gọi D hình chiếu S lên mp Oxy : x + y I = [12y + 2.2y + 1.(−1)]dxdy = (4y − 1)dxdy 0.5đ D D Do miền D đối xứng qua đường y = 0, 4y hàm lẻ y nên 4ydxdy = D ⇒I= (−1)dxdy = −S(D) = −π 0.5đ D (z + 1)dx + (2x + 3y)dy + (4y − z)dz, [152-CA2] Dùng công thức Stokes, tính tích phân I = C với C giao tuyến hai mặt z = − x2 − y 2z = kim đồng hồ nhìn từ chiều dương Oz xuống x2 + y , lấy theo chiều ngược chiều Hướng dẫn: (z +2xy )dx+32xyzdy+(y +z x)dz [162-CA1] Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = C với C đường cong x2 + 2y = z lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương z = 4y Hướng dẫn: [172-CA1] Gọi C giao tuyến trụ x + y = mặt phẳng y = 2z, lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Oz (nhìn từ âm sang dương) Tính tích phân I = (xy − yz )dx + (3x + y )dy − 2z dz C Hướng dẫn: [173-DT] Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = (z + x2 y)dx + (2xz − x2 y)dy + x3 − 31 y + 3z y dz với C đường cong C x2 + 2y + z = 4y lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (nhìn theo hướng từ z=x dương sang âm trục Oz) Hướng dẫn: x2 + 2y + z = 4y x2 + y = 2y ⇔ z=x z=x Chọn S phần mặt phẳng z = x nằm trụ x + y 2y, lấy phía theo hướng Oz − ⇒ Pháp vector : → n = (1, 0, −1) (0.5đ) Stokes: I = (−y + 3z − 4xz)dydz + (3z − 3x2 )dzdx + (2z − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Phương trình giao tuyến: S Dxy : x2 + y ≤ 2y I = (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y )dxdy = = Dxy (−2x2 − y )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy) Dxy 12 sin ϕ π π (−2r2 cos2 ϕ − r2 sin2 ϕ)rdr = − (8 cos2 ϕ sin4 ϕ + sin6 ϕ)dϕ = − dϕ = 0 7π (0.5đ) y dx + z dy + x2 dz, C [181-DT] Dùng cơng thức Stokes để tính tích phân I = C giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4x mặt phẳng x = + y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương Hướng dẫn: Chọn S phần mặt phẳng x = y + lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương π Suy α < ⇒ cos α > − Pt mặt phẳng S F (x, y, z) = x − y − Pháp vector → n = √ (1, −1, 0) Áp dụng định lý Stokes ta có: I = y dx + z dy + x2 dz = −2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz 1đ C S −2ydxdy = Do S phần mặt x = y + song song với trục Oz nên I3 = S √ 1 −2z √ + 2x √ ds = −4π 1đ 2 S S (Hình chiếu xuống mp y = Dzx : (x − 2)2 + z 2) I= −2zdydz − 2xdxdz = x2 + y − [182-CA2] Tính tích phân I = C z2 dx + (x2 + z − y )dy + (y + z − 2x2 )dz với C giao tuyến mặt y + z = x x = 2y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Ox từ âm sang dương Hướng dẫn: 13 ... [−2x(x + y) − 2y(x2 + y − x) + (x + y)]dxdy S D 2 (−2x − 2x y − 2y + x + y)dxdy Do D miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên = D 2 (−2x2 y − 2y + x + y)dxdy = ⇒ I = D −2x2 dxdy = 2 D − x2... 2xy − x2 )dxdy (0.5đ) Phương trình giao tuyến: S Dxy : x2 + y ≤ 2y I = (−y + 3z − 4xz, 3z − 3x2 , 2z − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy Dxy (−y + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ) = Dxy (−2x2 + 2xy − y... √ x x2 +y 2 + √ y dxdy = x2 +y √ 2dxdy z = x2 + y ⇔ x2 + y = x2 + y + z = 2 Gọi D hình chiếu √ mp Oxy√: x + y √ (S) lên 2dxdy = 2S(D) = 2 SS = 1ds = Phương trình giao tuyến: S D (x2 + 2z)ds