LƯỢNG GIÁC (HOT)

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TR PHƯƠNG TR ÌNH ÌNH LƯNG GIÁC LƯNG GIÁC PHẦN 0: PHẦN 0: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC 1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt 1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 6 π    ÷   45 0 4 π    ÷   60 0 3 π    ÷   90 0 2 π    ÷   Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản  ( ) α + α = ∀α∈ 2 2 sin cos 1 R  π   α α = ∀α ≠ ∈  ÷   tan .cot 1 k , k Z 2  π   = + α ∀α ≠ + π ∈  ÷ α   2 2 1 1 tan k , k Z cos 2  ( ) = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 1 1 cotg k , k Z sin Hệ quả: Hệ quả:  2 2 2 2 sin 1 cos , cos 1 sin α α α α = − = −  1 1 tan , tan cot cot α α α α = = 3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc 3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc biệt biệt “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch π ” 3. Công thức lượng giác 3. Công thức lượng giác  Cơng thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b  tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b  Cơng thức nhân đơi:  sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sin a.cosa = sin2a 2  cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a  tan2a = 2 2tan 1 tan− a a  Cơng thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin 3 a  cos3a = 4cos 3 a – 3cosa  Cơng thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos 2 2 a+  sin 2 a = 1 cos 2 2 a−  tg2a = 1 cos2 1 cos 2 a a − +  Cơng thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo tan 2 x t = :  sinx = 2 2 1 t t+  cosx = 2 2 1 1 t t − +  tanx = 2 2 1 t t−  cotx = 2 1 2 t t −  Cơng thức biến đổi tổng thành tích:  cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + −     + =  ÷  ÷      cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + −     − = −  ÷  ÷      sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + −     + =  ÷  ÷      sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + −     − =  ÷  ÷      sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 a b a b a b k k Z a b π π ± ± = ≠ + ∈  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin a b a b a b k k Z a b π + + = ≠ ∈  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 1 CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = − a a a cos a π π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − = − + a a a cos a π π  cos sin 2 ( ) 2 sin( ) 4 4 − = + = − − a a cos a a π π  Cơng thức biến đổi tích thành tổng:  [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + +  [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − − +  [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + −  [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b= + − − PHẦN 1: PHẦN 1: CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx 1. Hàm số y = sinx 1) Tập xác định D = ¡ . 2) Tập giá trị là [–1; 1]. 3) Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ T 2= p . 4) Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π π π   − +  ÷   và nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 , 2 2 k k k π π π π   + + ∈  ÷   ¢ . 5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O. 2. Hàm số y = cosx 2. Hàm số y = cosx 1) Tập xác định D = ¡ . 2) Tập giá trị là [–1; 1]. 3) Là hàm số chẵn, tuần hồn với chu kỳ T 2= p . 4) Đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k k π π π − + và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 ,k k k π π π + ∈ ¢ . 5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Haøm soá y = tanx 3. Haøm soá y = tanx 1) Tập xác định { } D \ k , k 2 p = + pΡ ¢ . 2) Tập giá trị là ¡ . 3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) Đồng biến trên mỗi khoảng ; , 2 2 k k k π π π π   − + + ∈  ÷   ¢ . 5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng ( ) 2 x k k π π = + ∈¢ làm một đường tiệm cận. 4. Haøm soá y = cotx 4. Haøm soá y = cotx 1) Miền xác định { } D \ k , k= pΡ ¢ . 2) Tập giá trị là ¡ . 3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) Nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ; ,k k k π π π + ∈¢ . 5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng ( ) x k k π = ∈¢ làm một đường tiệm cận. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 3 CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa: Ta nói hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2 T 5 p = vì: ( ) 2 sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x 5 p + = + =p . Hơn nữa, 2 T 5 p = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p . 5.2. Chú ý:  Hàm số ( ) siny ax b= + và ( ) cosy ax b= + đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì 2 T a π = .  Hàm số ( ) tany ax b= + và ( ) coty ax b= + đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì T a π = . Ví dụ 2: o Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2 T 7 p = . o Hàm số x y sin 3 = có chu kỳ T 6= p . o Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T 6 p = . o Hàm số x y t g 3 = có chu kỳ T 3= p . PHẦN 2: PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. A. BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TR BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TR ÒN L ÒN L ƯNG GIÁC ƯNG GIÁC GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 4 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC Nu cung (hoc gúc) lng giỏc ẳ AM cú s o l k2 n p +a (hoc 0 k.360 a n + o ) vi k ẻ  , n + ẻ Ơ thỡ cú n im M trờn ng trũn lng giỏc cỏch u nhau. Vớ d 1. Nu s ẳ AM k2 3 p = + p thỡ cú 1 im M ti v trớ 3 p (ta chn k = 0). Vớ d 2. Nu s ẳ AM k 6 p = + p thỡ cú 2 im M ti cỏc v trớ 6 p v 7 6 p (ta chn k = 0, k = 1). Vớ d 3. Nu s ẳ 2 AM k 4 3 p p = + thỡ cú 3 im M ti cỏc v trớ 4 p , 11 12 p v 19 12 p (ta chn k = 0, k = 1 v k = 2). Vớ d 4. Tng hp hai cung x k 6 p = - + p v x k 3 p = + p . Gii Biu din 2 cung x k 6 p = - + p v x k 3 p = + p trờn ng trũn lng giỏc ta c 4 im 6 p - , 3 p , 5 6 p v 4 3 p cỏch u nhau. Vy cung tng hp l: x k 3 2 p p = + . B. B. PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC P P hửụng tr hửụng tr ỡnh l ỡnh l ửụùng giaực cụ baỷn ửụùng giaực cụ baỷn : : 1) ( ) cos x m m 1, m cos cos x cos= = =Ê a a x k2 , k x k2 = +a p ộ ờ ẻ ờ = - +a p ờ ở Z 2) ( ) sin x m m 1, m sin sin x sin= = =Ê a a x k2 , k x + k2 = +a p ộ ờ ẻ ờ = -p ap ờ ở Z 3) ( ) t an x m m tan x tan x t an x k , k= = = = + a a pẻ Z 4) ( ) cotx m m cot cot x cot x k , k= = = = +a a a pẻ Z Phng trỡnh c bn c bit cn nh: 1) cos x 0 x k , k 2 p = = + pẻ Z 2) cos x 1 x k2 , k= = pẻ Z 3) cos x 1 x k2 , k= - = + p pẻ Z 4) sin x 0 x k , k= = pẻ Z 5) sin x 1 x k2 , k 2 p = = + pẻ Z 6) sin x 1 x k2 , k 2 p = - = - + pẻ Z GV: V Trng Sn : 01254.503.873 Trang 5 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC 7) 2 sin x 1 cosx 0= = 8) 2 cos x 1 sin x 0= = Vớ d. Gii phng trỡnh: (cos x 1)(2 cos x 1)(t gx 3) 0 2 cos x 1 + - - = + (2). Gii iu kin: 2 2 cos x 1 0 x k2 3 p + +ạạ p . Ta cú: cos x 1 x k2 1 (2) cos x x k2 2 3 t gx 3 x k 3 ộ = - ộ = +p p ờ ờ ờ ờ p ờ ờ = = + p ờ ờ ờ ờ ờ p ờ = ờ = + p ở ờ ở . So vi iu kin v tng hp nghim (hỡnh v), phng trỡnh (2) cú h nghim l: 2 x k , k 3 3 p p = + ẻ  . Chỳ ý: Cỏc h nghim 2 x k 3 3 p p = - + v 2 x k 3 p = +p cng l cỏc h nghim ca (2). Moọt soỏ daùng phửụng trỡnh lửụùng giaực: Moọt soỏ daùng phửụng trỡnh lửụùng giaực: 1. Dng bc hai theo mt hm s lng giỏc: 1) acos 2 x + bcosx + c = 0 2) asin 2 x + bsinx + c = 0 3) atg 2 x + btgx + c = 0 4) acotg 2 x + bcotgx + c = 0 Phng phỏp gii toỏn: Bc 1. t n ph t = cosx (hoc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) v iu kin ca t (nu cú). Bc 2. a phng trỡnh v dng at 2 + bt + c = 0. Vớ d 1. Gii phng trỡnh 2 2 sin x sinx 2 0+ - = (1). Gii t t = sinx, 1 t 1- ÊÊ ta cú: 2 (1) 2t t 2 0+ - = 1 t t 2 2 = = - (loi) sin x sin 4 p = 3 x k2 x k2 4 4 p p = + = + p p . Vy (1) cú cỏc h nghim x k2 4 , k 3 x k2 4 p ộ = + p ờ ờ ẻ ờ p ờ = + p ở  . Vớ d 2. Gii phng trỡnh 2 cot 3 cot 3 2 0x x = (2) Gii t t = cot3x, ta cú phng trỡnh : 2 3 1 cot3 1 3 4 3 2 0 4 2 cot 3 2 1 3 3 2 cot 2 cot 2 k x t x x k t t t x k x k x arc arc = + = = = + = = = = + = + Vy (2) cú cỏc h nghim l 4 3 k x = + v 1 cot 2 3 2 k x arc = + , k  . Vớ d 3. Gii phng trỡnh 2 3 2 3tgx 6 0 cos x + - = (3). Gii GV: V Trng Sn : 01254.503.873 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Điều kiện x k 2 p +¹ p , ta có: 2 2 (3) 3(1 t g x) 2 3tgx 6 0 3t g x 2t gx 3 0+ + - = + - =Û Û . Đặt t = tgx, ta được: 2 3t 2t 3 0+ - = 1 t t 3 3 = =Û Ú ( ) t gx t g x k 6 6 x k t gx t g 3 3 p p é é = = + p ê ê ê ê Û Û p p ê ê = - + p = - ê ê ë ë (thỏa điều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k 6 2 p p = + Î ¢ . 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx : asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán: Cách 1:  Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b t g a = a .  Bước 2. Biến đổi (*) c c sin x t g cos x sin(x ) cos a a + = + =Û a Û a a . Cách 2:  Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2 a b+ và đặt: 2 2 2 2 a b cos , sin a b a b = =a a + + .  Bước 2. Biến đổi (*) 2 2 c sin x cos cos x sin a b + =Û a a + 2 2 c sin(x ) a b + =Û a + . Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ³ c 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x cosx 2- = (1). Giải Cách 1 1 2 2 (1) sin x cos x sin x tg cos x 6 3 3 3 p - = - =Û Û ( ) ( ) 2 sin x cos sin x 1 6 6 6 3 p p p - = - =Û Û 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p - = + = +Û p Û p Î ¢ . Cách 2 ( ) 3 1 (1) sin x cos x 1 sin x 1 2 2 6 p - = - =Û Û 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p - = + = +Û p Û p Î ¢ . Vậy (1) có họ nghiệm 2 x k2 , k 3 p = + pÎ ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x 2 sin 7x+ = (2). Cách 1 (2) sin 5x t g cos 5x 2 sin 7x 3 p + =Û ( ) sin 5x 2 cos sin 7x 3 3 p p + =Û ( ) 7x 5x k2 3 sin 5x sin 7x 2 3 7x 5x k2 3 p é = + + p ê p ê + =Û Û ê p ê = - + p ë x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Û Î p p ê = + ê ë ¢ . Cách 2 GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( ) 1 3 (2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x 2 2 3 p + = = +Û Û 7x 5x k2 3 2 7x 5x k2 3 p é = + + p ê ê Û ê p ê = - + p ë x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Û Î p p ê = + ê ë ¢ . Vậy (2) có các họ nghiệm x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Î p p ê = + ê ë ¢ . 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx : 3.1. Đẳng cấp bậc hai: asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0 (*) Phương pháp giải toán: Cách 1:  Bước 1. Kiểm tra x k 2 p = + p có là nghiệm của (*) không.  Bước 2. Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (*) cho cos 2 x ta được: (*) Û atg 2 x + btgx + c = 0. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 ( 3 1) sin x ( 3 1) sin x cos x 3 0+ - - - = (1). Giải Nhận thấy x k 2 p = + p không thỏa (1). Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (1) cho cos 2 x ta được: 2 2 (1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 t g x) 0+ - - - + =Û 2 t g x ( 3 1)tgx 3 0- - - =Û x k t gx 1 4 t gx 3 t gx k 3 p é = - + p = - é ê ê ê Û Û ê p ê = ê = + p ë ê ë . Vậy các họ nghiệm của (1) là x k 4 , k t gx k 3 p é = - + p ê ê Î p ê = + p ê ë ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 2 x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos 2 x (2). Giải ( ) ( ) (2) 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin 6 6 p p - = - - = -Û Û x k 2x k2 6 6 2 7 x k 2x k2 3 6 6 p p é = p é - = - + p ê ê ê Û Û ê p ê p p ê = + p ê - = + p ê ë ë Cách khác: 2 (2) sin x 3 sin x cos x 0+ =Û Û sin x 0 sin x 3 cos x 0 = é ê ê + = ê ë x k sin x 0 t gx 3 x k 3 = p é = é ê ê Û Û ê p ê = - = - + p ê ê ë ë . Vậy (2) có các họ nghiệm là x k , k 2 x k 3 = p é ê Î ê p ê = + p ê ë ¢ . Chú ý: Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau. 3.2. Đẳng cấp bậc cao: Phương pháp giải toán: GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cách 1:  Bước 1. Kiểm tra x k 2 p = + p có là nghiệm của phương trình không.  Bước 2. Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế cho cos n x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích. Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos 5 x + sin 5 x) = cos 3 x + sin 3 x (3). Giải Cách 1 Nhận thấy x k 2 p = + p không thỏa (3). Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (3) cho cos 5 x ta được: 5 2 3 2 (3) 2 2t g x 1 t g x t g x(1 t g x)+ = + + +Û 5 3 2 t g x tg x t g x 1 0- - + =Û 2 2 (t gx 1) (tgx 1)(t g x t gx 1) 0- + + + =Û t gx 1 x k k 4 4 2 p p p = ± = ± + +Û Û p Û . Cách 2 3 2 3 2 (3) cos x(2 cos x 1) sin x(1 2 sin x)- = -Û 3 3 cos x cos 2x sin x cos 2x=Û cos 2x 0 t gx 1 = é ê Û ê = ë x k 4 2 x k 4 2 x k 4 p p é = + ê p p ê = +Û Û p ê = + p ê ë . Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k 4 2 p p = + Î ¢ . Chú ý: ( ) 5 5 3 3 2 cos x sin x cos x sin x+ = + ( ) 5 5 3 3 2 2 2 cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x)+ = + +Û 5 5 3 2 2 3 cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0+ - - =Û (đẳng cấp). 4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải toán:  Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = ( ) 2 sin x 4 p + 2 t 2-Þ £ £ và 2 t 1 sin x cos x 2 - = .  Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1). Giải Đặt t = sinx + cosx 2 t 2-Þ £ £ và sin2x = t 2 – 1. Thay vào (1) ta được: 2 t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = = - = -Û Ú . GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Trang 9 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin x 1 sin x sin 4 4 4 (1) 2 sin x 2 sin x 1 4 4 p p p ộ ộ + = - + = - ờ ờ ờ ờ ờ ờ p p + = - + = - ờ ờ ở ở x k2 x k2 4 4 2 5 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 4 2 4 p p ộ ộ p + = - + p ờ ờ = - + p ờ ờ ờ p p ờ + = + = + p p p ờ ờ ờ ờ ờ ờ p p p ờ ờ + = - + p = - + p ờ ờ ở ở . Vy (1) cú cỏc h nghim: x k2= +p p , x k2 2 p = - + p , 3 x k2 4 p = - + p (k )ẻ  . Vớ d 2. Gii phng trỡnh sinxcosx = 6(sinx cosx 1) (2) Gii t t = sinx cosx 2 t 2-ị Ê Ê v 2 1 t sin x cos x 2 - = . Thay vo (2) ta c: 2 2 t 1 1 t 6t 6 t 12t 13 0 2 t 13 = - ộ - ờ = - + - = ờ = - ờ ở (loaùi) ( ) ( ) ( ) (2) 2 sin x 1 sin x sin 4 4 4 p p p + = - + = - x k2 x k2 4 4 2 5 x k2 x k2 4 4 p p ộ p + = - + p ộ ờ = - + p ờ ờ ờ ờ p p ờ = +p p + = + p ờ ở ở Vy (2) cú cỏc h nghim x k2= +p p , x k2 2 p = - + p (k )ẻ  . 5. Dng phng trỡnh khỏc: Khụng cú cỏch gii tng quỏt, tựy tng bi toỏn c th ta dựng cụng thc bin i a v cỏc dng ó bit cỏch gii. Vớ d 1. Gii phng trỡnh cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Gii 1 1 1 1 (1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x 2 2 2 2 + = + x k 6x 2x k2 2 cos 6x cos 2x 6x 2x k2 x k 4 p ộ = = + p ộ ờ ờ ờ = ờ p ờ = - + p ờ = ở ờ ở . Vy (1) cú h nghim l x k , k 4 p = ẻ  . Vớ d 2. Gii phng trỡnh sin2x + sin4x = sin6x (2). Gii (2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos 3x sin 3x(cos 3x cos x) 0= - = x k sin 3x 0 3x k 3 cos 3x cos x 3x x k2 x k 2 p ộ = = = p ộ ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ p ờ = = + p ờ = ở ở ờ ở . Vy (2) cú h nghim l x k 2 p = , x k (k ) 3 p = ẻ  . Vớ d 3. Gii phng trỡnh 2 2 2 sin sin 3 2sin 2x x x+ = (3) Gii GV: V Trng Sn : 01254.503.873 Trang 10 [...]... cáC DạNG PHƯƠNG TRìNH lợng giác I Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác: Bài 1 Giải các phơng trình sau: a) sin x = 1 2 b) 3 1 d) cot 2x = 4 4 e) sin 2x = 3 4 h) cos 2x + sin x + = 0 4 c) sin 2 x = cos 3 x tan x = 3 i) cot x = 1 3 4 3 f) sin 2x + sin 3 x + = 0 1 j) 3 cos x = 3 sin x II Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác: Bài 2 Giải các phơng... + cos 2x = ( e) 1 + tan x = 2 2 sin x g) ( sin x cos x ) 2 + tan x = 2 sin2 x ) 3 1 sin4 2x + cos4 2x + ( sin 2x + cos 2x ) 2 2 1 2 2 4 4 i) ( cos x sin x ) + cos x sin x = sin 2x Phơng trình lợng giác Bài 1: Tìm các nghiệm x(0;2) của phơng trình: Bài 2: Giải phơng trình 2 cos x sin x = 1 2 sin 3 x sin x = sin 2 x + cos 2 x 1 cos 2 x Bài 3: Tìm các nghiệm x ;3 của phơng trình: sin 2x... Trang 14 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC a 2( tgx sin x ) + 3( cot gx cos x ) + 5 = 0 b tgx + tg 2 x + tg 3 x + cot gx + cot g 2 x + cot g 3 x = 6 c sin x + 2 sin 2 x + sin x 2 sin 2 x = 3 Phơng trình lợng giác trong các đề thi đại học (Trích trong đề thi tuyển sinh vào các trờng Đại học từ 1996 tới nay) Bài 1: Giải các phơng trình sau a ĐHBK97: ( b ĐHBK98: 1 = tgx + cot g2x c ĐHBK 2000: ) 1 cos x + cos... sin 2x b ĐH Huế 98: cos2 x + sin x 3 sin2 x cos x = 0 c ĐH Huế 2000: 3 cos x cos x + 1 = 2 GV: V Trng Sn : 01254.503.873 Trang 15 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC Bài 7: ĐH Huế 2001 Cho phơng trình lợng giác sin4 x + cos4 x = m sin 2x a Giải phơng trình khi m = 1 b Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện Bài 8: Giải các phơng trình: a ĐHKTQD 97: cos 7 x 3 sin 7 x = 2 b ĐHKTQD 98: cos x... tg2x ) = 4 cos2 x 1 2 ( 1 + cot g2x cot gx ) = 0 e.01: e.1)Giải phơng trình 48 4 cos x sin2 x GV: V Trng Sn : 01254.503.873 Trang 16 CHUYấN PHNG TRèNH LNG GIC e.2)Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả ba góc của nó đều là nghiệm của phơng trình: Bài 17: HVNHTPHCM.Giải phơng trình cos 3 x + 2 cos2 3 x = 2(1 + sin2 2x ) Bài 18: N.Thơng a 1998: GPT sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + . LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TR PHƯƠNG TR ÌNH ÌNH LƯNG GIÁC LƯNG GIÁC PHẦN 0: PHẦN 0: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC. 3 CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa: Ta