Một số kinh nghiệm giúp học sinh học tốt chủ đề tự chọn căn thức bậc hai

Hướng đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập,

MỤC LỤC

Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

2.3.1 Những nội dung cơ bản về căn bậc hai 4

2.3.2 Phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai 7 1) Sai lầm về định nghĩa căn bậc hai 7 2) Sai lầm về định nghĩa căn bậc hai số học 7 3) So sánh các căn bậc hai số học 8 4) Sai trong thuật ngữ khai phương 8 5) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng

thức 2

A = | A|

9

6) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn

bậc hai

9

7) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi 11

3.2 Kiến nghị 15

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Theo xu hướng của thời đại, giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ về cả nội dung và phương pháp Hướng đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui

và hứng trú học tập cho học sinh Tuy nhiên, nội dung chương trình THCS với rất nhiều môn học: Toán, Ngữ văn, Vật lí, Lịch sử, Địa lí, Trong khi đó, môn Toán với những đặc trưng là: Tính trừu tượng cao, tính thực tiễn, tính logic và tính thực nghiệm thì việc tạo được hứng thú cho học sinh không phải là điều dễ dàng Thực tế cho thấy, một số học sinh không thích học Toán Các em cho rằng Toán là môn học khô khan, không gắn với thực tế Một số em yêu thích môn Toán thì lại chưa có được phương pháp học tập đúng đắn, xem việc học Toán chỉ sao cho nhớ được công thức, tính ra được kết quả bài toán mà chưa biết rằng ngoài việc nắm vững nội dung kiến thức môn học, biết vận dụng tốt trong tính toán, chứng minh các em còn cần hình thành cho mình những tri thức phương pháp

Trường THCS Thị trấn Triệu Sơn đóng trên địa bàn Thị trấn Triệu Sơn nên phần đa các em chăm học, bên cạnh những em lực học còn hạn chế thì cũng

có một số em thực sự có năng lực về môn Toán, say mê với môn học, luôn có ý thức tìm tòi Việc giúp cho các em có những hiểu biết đầy đủ về môn Toán, phát huy năng lực và tạo hứng thú cho các em là một trong yêu cầu mà giáo viên phải

lưu ý Do đó để làm tốt vai trò chủ đạo của mình người thầy phải có những vốn hiểu biết nhất định, luôn có sự suy nghĩ tìm tòi để nâng cao chất lượng, hiệu quả mỗi giờ học sao cho học sinh yếu kém, trung bình có thể nắm được những kiến thức cơ bản của bài học còn học sinh khá, giỏi cũng không bị nhàm chán

Thực tế giảng dạy trên lớp, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém Trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực

sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đề bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc

vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức

căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này

Chính vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài: Một số kinh nghiệm

giúp học sinh học tốt chủ đề tự chọn “Căn thức bậc hai”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu với đối tượng cụ thể sau: Một số

kinh nghiệm giúp học sinh học tốt chủ đề tự chọn “ Căn thức bậc hai” cụ thể:

- Nêu ra kiến thức cơ bản và một số “nhóm sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9

- Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác

- Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp quan sát: Thực trạng về công tác chỉ đạo, công tác giảng dạy tự chọn toán, quá trình học tập, chất lượng học tập của học sinh đại trà

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu như nghiên cứu sách, giáo trình có liên quan đến kiến thức, bài tập căn thức bậc hai Nghiên cứu chất lượng học sinh Nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường đối với công tác dạy học tự chọn

- Điều tra khảo sát, tìm hiểu thực tế

- Đối chiếu, so sánh, tích luỹ thông tin

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên"

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc"; Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 05/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS"

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Tôi tiến hành khảo sát với học sinh lớp 9A năm học 2018-2019 của trường THCS Thị trấn Triệu Sơn trước khi thực hiện đề tài với đề bài:

Bài 1: Tìm căn bậc hai của 0; 9; 27; 64.

Bài 2: Tính: 49;  144

Bài 3: Tìm x, biết:

a) x 9 b) 2 x 16 0 

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 3x + 12 x

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

N = 2 3

3

a a





Kết quả như sau:

Tổng số học

sinh 9A

Số làm đúng

TL (%)

Số còn sai lầm

TL (%)

Số không làm được

TL (%)

Từ thực tế khảo sát trên ta thấy, mặc dù đã được học chương I về Căn thức bậc hai, nhưng một số các em còn mắc sai lầm trong khi giải bài tập, đặc biệt là nhiều em học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, các công thức toán học, các phép biến đổi do đó hiệu quả của quá trình dạy học là chưa cao

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Từ thực trạng của học sinh đã nêu ở trên, căn cứ vào chương trình học của sách giáo khoa và sách giáo viên, qua tham khảo ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp Tôi đã mạnh dạn đưa ra một số giải pháp trên cơ sở những dự kiến về các khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề tự chọn “Căn thức bậc hai”, đồng thời đưa ra hướng khắc phục những khó khăn sai lầm đó của học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

2.3.1 Những nội dung cơ bản về căn bậc hai

1) Kiến thức

Để học tốt chủ đề tự chọn về căn bậc hai cũng như làm tốt được phần bài tập của chương I đại số 9, theo tôi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản

về căn thức bậc hai để biết phát hiện và tránh được các sai lầm trong khi giải toán Cụ thể về kiến thức học sinh cần nắm vững một số nội dung sau:

Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai

* Nội dung của phép khai phương gồm:

- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)

- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a ≥ 0, ta có

 a2 a; với a bất kỳ ta có a 2 |a|) [1]

- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (Sách giáo khoa thể hiện

bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học: “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: a < b

b

a 

- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia (thể hiện bởi Định

lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: ab  a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có:

b

a

b

a

 ”) [1]

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà sách giáo khoa toán 9 giới thiệu cho bởi các công thức sau:

2

A = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức)

B A

AB  (với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)

B A B

A

 (với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)

B A B

A2 | |

 (với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0)

1

A

AB

B B (với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0)

B B A B

A

 (với A, B là biểu thức và B > 0)

2 ) (

B A B A C B A

C







 (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0 và A ≠ B2)

B A B A C B A

C







) (  (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và

A ≠ B) [1]

* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau

và chủ yếu việc giới thiệu các phép biến đổi này là nhằm hình thành kỹ năng

biến đổi biểu thức (một số phép biến đổi chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ, một số phép biến đổi gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương)

2) Kỹ năng

Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức

* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như:

- Tìm khai phương căn bậc hai của một số (số đó có thể là số chính

phương trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt

là tích hoặc thương của số đó với số 100)

- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương)

* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như:

- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên (với công thức dạng A = B, có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A) Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn thức bậc hai có thể coi là vận

dụng công thức AB  A B. theo chiều từ phải qua trái

- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu

Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm làm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm

x).

Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và củng cố trong phần này như:

- Giải toán so sánh số

- Giải toán tìm x.

- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho

- Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở Toán 8)

- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phương trình tích).

- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính

Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các

kỹ năng tương ứng, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng)

2.3.2 Phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn thức bậc hai

1) Sai lầm về định nghĩa căn bậc hai

- Ở lớp 7: Đưa ra nhận xét 32 = 9; (-3)2 = 9 Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9

- Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a + Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một

số âm ký hiệu là - a

+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- Ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học

Bài tập đề xuất: Tìm các căn bậc hai của: 4; 12; 121

2) Sai lầm về định nghĩa căn bậc hai số học

Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương)

* Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và “căn bậc hai số học”

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của 81.

Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 81 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 9 và -9

Ví dụ 2: Tính 81

Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau:

81 = 9 và -9 có nghĩa là 81= 9

Như vậy học sinh đã tính ra được số 81 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là:

81 = 9 và 81 = - 9 (sai)

Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.

Lời giải đúng: 81 = 9 (có thể giải thích thêm vì 9 > 0 và 92 = 81)

Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích

Bài tập đề xuất:

1 Tính căn bậc hai số học của:

a) 0,01 ; b) 0,04 ; c) 0,49 ; d) 0,64 ;

e) 0,25 ; f) 0,81; g) 0,09 ; h) 0,16

2 Số nào có căn bậc hai là:

a) 5; b) 1,5 ; c) – 0,1 d)  9 [2]

3) So sánh các căn bậc hai số học

* Với hai số a và b không âm, ta có a < b  a  b

Ví dụ 3: so sánh 4 và 17

Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 17 chính là căn bậc hai số học của 17 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ

đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau: 4 < 17 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 17)

Không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn

đề quan trọng này nữa

Lời giải đúng: Ta có 16 < 17 nên 16 < 17 Vậy 4 = 16 < 17 Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!

Ví dụ 4: Tìm số x không âm biết: x = 4

Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau:

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là:

x = a và x = - a

Học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau:

Do x ≥ 0 nên x2 = 42 hay x = 16 và x = - 16

Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 16 và x2 = - 16

Lời giải đúng: Cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 42

Vậy x = 16.

Bài tập đề xuất:

1 Tìm x, không âm biết

a) x 3; b) x  5;

c) x 0; d) x 2 [2]

2 So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

a) 2 và 2 + 1 ; b) 1 và 3 1  ;

c) 2 31 và 10 ; d)  3 11 và – 12 [2]

4) Sai trong thuật ngữ khai phương

Ví dụ 5: Tính - 49

- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 49 là một căn bậc hai âm của số dương 36, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau:

49

 = 7 và –7

Lời giải đúng là:  49= – 7

Bài tập đề xuất: Tìm câu đúng trong các câu sau đây

a) Căn bậc hai của 0,49 là 0,7 ;

b) Căn bậc hai của 0,49 là 0,07 ;

c) Căn bậc hai của 0,49 là 0,7 và –0,7 ;

d) 0, 49 0, 7 

e) 0, 49  0,7 [3]

5) Sai lầm trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đảng thức A 2  A

* Căn thức bậc hai:

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

* Hằng đẳng thức: A 2  A

Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương

Ví dụ 6: Hãy bình phương số -5 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai):

(–5)2 = 25 , nên khai phương số 25 lại bằng –5

Lời giải đúng: (–5)2 = 25 và 25= 5

Mối liên hệ a2 = | a| cho thấy “Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”

Bài tập đề xuất:

1 Rút gọn rồi tính

a) 5 ( 2)  4 b)  4 ( 3)  6

c) ( 5)  8 d) 2 ( 5)  6  3 ( 2)  8

2 Rút gọn các biểu thức sau

a) (4  2) 2 b) (3  3) 2

c) (4  17) 2 a) 2 3  (2  3) 2 [2]