SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN (giải bài toán bằng cách lập phương trình)

Lời nó i đầu Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình ở chơng trình đại số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý). Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại l- ợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình. Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đ- ơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh. ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: - 2 = 5 ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 2 = 10 ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh: x : 3 = 4 : 2 x . 3 + 5 = 11; (x 15). 7 = 21 ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo. Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình). Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát ly thực tế . Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân 1 tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này. Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phơng trình hay hệ phơng trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải dạy cho học sinh cách giải bài tập. Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt .) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh. Trong thời gian giảng dạy ở trờng trung học cơ sở, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài này. Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh dạn viết đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình . Nội dung chính của đề tài gồm: Ch ơng I : Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán. Ch ơng II : Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Ch ơng III : Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải. Ch ơng IV : Phần thực nghiệm. Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh đợc những sai sót rất mong các thầy giáo lợng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút đợc kinh nghiệm trong giảng dạy và áp dụng. Thái Bình, ngày tháng năm 200 Tác giả 2 Chơng I Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phơng pháp nghiên cứu: Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành về chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. ở lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình sách giáo khoa ở cả hai lớp trên có 74 bài tập. Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc gồm các bớc: Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc) - Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn. - Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình). Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình) Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp và ngắn gọn. Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. - Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị). Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói chung. II. Yêu cầu về giải một bài toán. 3 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn đã hợp lý cha. Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 1996) Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và em hiện nay? Nếu gọi tuổi em là x(x > 0, x N). Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x (phân tích). Theo bài ra ta có phơng trình: 6,01,05,0 32 3 =+= + + x x <=> x + 3 = 0,6 (2x + 3) <=> x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt) => Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12. 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây dựng đợc cách giải. Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 1996 Nguyễn Ngọc Đạm Tr- ơng Công Thành NXB Giáo dục). 4 Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m 2 . Hớng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình. x(x + 4) = 1200 <=> x 2 + 4x + 1200 = 0 Giải phơng trình ta có: x 1 = 30 x 2 = -34 Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x 2 chỉ lấy x 1 = 30 => chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m (ở bài toán này nghiệm x 2 = - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán. 3. Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không đ- ợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện bài toán rơi vào tr- ờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng. Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 NXB Hà Nội) Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2 . Tính chiều cao và cạnh đáy. Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện 5 tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức: S = 2 1 (cạnh đáy . chiều cao) Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ là 4 3 x (lúc đầu). => S lúc đầu là 2 1 x . 4 3 x => S sau là: 2 1 (x-2) . ( 4 3 x + 3) Theo bài ra ta có phơng trình: + 3 4 3 ).2( 2 1 xx Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao của tam giác là 4 3 x 20 = 15dm 4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm đợc. Ví dụ 4: (Bài toán cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Một trăm chân chẵn. Hỏi có mấy gà, mấy chó? Với bài toán này nếu giải nh sau: Gọi số gà là x(x>0), x N) thì số chó là 36x x. 6 Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 x) chân Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 x) = 100 Giải ra ta có: x = 22 => gà = 22 con => số chó có là 36 22 = 14 con Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 x. => Phơng trình: 36 4 100 2 = + xx Kết quả cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhng đã vô tình biến bài giải khó hiểu hơn hay không hợp với trình độ của học sinh. 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc. Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành NXB Giáo dục 1996). Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. Theo hình vẽ ta có: Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH. Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức h 2 =b.c <=> AH 2 = BH . HC. Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6. Theo công thức (đã biết ở phần hình học) ta có phơng trình: 7 c h CB H b' A x (x + 5, 6) = (9,6) 2 Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m 6. Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại). Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình. Ví dụ 6: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành NXB Giáo dục 1996). Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác? Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x, y (x,y > 0). Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1) x 2 + y 2 = 25 2 = 625 (2) Rút y từ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình: x 2 - 35x + 330 = 0. Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x 1 = 20; x 2 = 15 Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong bài toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào? Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán. 8 Chơng II: Phân loại bài toán Giải toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau: 1. Loại toán về chuyển động 2. Loại toán có liên quan đến số học. 3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm). 4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị). 5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số của chúng). 6. Loại toán có liên quan hình học. 7. Loại toán có chứa tham số. 8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học. II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. 1. Phần giai đoạn: - Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng ph- ơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng. ax + b = 0 (a 0) - Với bài toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng: 9 ax 2 + bx + c = 0 (a 0) - Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng sau khi xây dựng biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng: ax + by = c ax + by = c Trong đó a, b, a, b không đồng thời bằng 0. Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình). * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô tả bằng hình vẽ đợc không?) * Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mãn. * Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, đa vào các công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc. * Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2). Vận dụng các kỹ năng giải ph- ơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình. * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? * Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có mấy nghiệm, sau khi đã thử lại. * Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng mở rộng cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh 10 [...]... Các bớc lên lớp * ổn định tổ chức * Kiểm tra: Nêu quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn cụ thể để giải dạng toán đó * Bài mới: Khi kiểm tra bài cũ giáo viên hệ 1 Nội dung: thống lại 7 giai đoạn để giải bài toán Nhắc lại 7 giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình bằng cách lập phơng trình 2 áp dụng: 31 Bài 2- 77 Giáo viên gọi học sinh lên bảng, dựa Anh Đại, Anh Tự... bản của các bài toán đó đều là những bớc cơ bản của Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình Mỗi dạng, tôi chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc xây dựng phơng trình theo 3 cách - Bài toán đa về phơng trình bậc nhất 1 ẩn - Bài toán đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn - Bài toán đa về phơng trình bậc hai 1 ẩn Đó là các loại phơng trình (hệ phơng trình) các em...biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết) - Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số và giả thiết) nhằm phát triển t duy toán học cho học sinh - Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất 2 Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình Ví dụ 1: (Đại số... nhóm dự giờ Bài soạn: Luyện tập (tiết 2) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình 1 Mục đích yêu cầu Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách lập phơng trình theo 7 giai đoạn Phát huy khả năng sáng tạo của học sinh trong quá trình t duy với dạng toán phức tạp hơn Học sinh tìm đợc cách giải hay hơn và phân biệt đợc dạng toán 2 Chuẩn bị: Giáo viên: Dùng bảng phụ 34 Học sinh: Chuẩn bị bài 1, 2, 3... cách giải ở THCS Những ví dụ ở trên tôi không có ý thiên về hớng dẫn cách giải các phơng trình (hệ phơng trình) mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng đợc phơng trình cơ bản Để khi gặp các dạng toán nh trên các em biết cách làm 30 Chơng IV: Phần thực nghiệm Bài soạn Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phơng trình (tiết 1) 1 Mục đích yêu cầu; - Giúp cho học sinh nắm vững 6 yêu cầu về giải một bài toán. .. xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra cách giải Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải Phân loại dạng toán I Dạng toán chuyển động: Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm NXB Giáo dụ 1990) Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m Nếu Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc... lời bài toán - Ngoài cách giải trên em nào còn có cách giải khác? - Có thể chọn ẩn khác đợc không? Chọn vận tốc của anh Đại là ẩn - Có thể chọn ẩn khác? Nh thế có mối liên hệ? - Ta phải tìm thêm mối liên hệ mà bài toán đã cho cha sử dụng? * Củng cố: Nhắc lại mối quan hệ giữa các bớc dẫn đến lập phơng trình của bài toán trên và áp dụng gợi ý một số bài toán khác có nội dung tơng tự * Hớng dẫn về nhà: Bài. .. về giải một bài toán đợc cụ thể hoá bằng quy tắc: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình theo 3 bớc và 7 giai đoạn của dạng toán trên - Rèn luyện kỹ năng biểu diễn các số liệu đã biết từ dạng văn thành các biểu thức đại số và xây dựng đợc phơng trình 2 Chuẩn bị: - Giáo viên: Bài soạn, bảng phụ hình vẽ sơ đồ bài toán - Học sinh: Học kỹ các bớc chuẩn bị các bài tập Bài 2, 8, 10, 11 trang 81 sách đại... trị ẩn số Nh vậy ta có thể gọi bất kỳ tử số hay mẫu số là ẩn số cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác Ngoài ra nếu gọi cả 2 thành phần trên là ẩn số sẽ dẫn đến cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Nhng ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất ở đây là phân số nên thờng tử số nhỏ hơn mẫu số (bài toán cũng đã cho) Vậy ta nên chọn tử là ẩn số Thật vậy: Gọi tử... nhỏ là 18 14 = 4cm Cách Quá trình M B.kính B.kính Phơng trình xây Đ.tròn lớn Đ.tròn nhỏ dựng 26 Khoảng cách lớn nhất y x(x > 0) y(y > 0) x y = 10 Khoảng cách lớn nhất x 18 x 18 x = x 10 Khoảng cách nhỏ nhất 2 x Khoảng cách nhỏ nhất 1 x + y = 18 (1) x X - 10 (2) Tóm lại: Dạng toán này ngoài việc hớng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách phơng trình cần lu ý đến học sinh các kiến thức về hình học, . của bài toán. 8 Chơng II: Phân loại bài toán Giải toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán I. Phân loại các bài toán giải bằng cách. t duy toán học cho học sinh. - Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất. 2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph-