Các biện pháp nâng cao chất lượng giáo dục trong trường mầm non

Mục lục TT 10 11 Nội dung Trang 1.Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 1.5.Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục,v với thân,đồng nghiệp nhà trường 12 3.Kết luận,kiến nghị 13 3.1.Kết luận 14 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo 2 2 3 3 4 17 18 18 18 20 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn học khó quan trọng bậc phổ thơng sở ngành khoa học khác Có kiến thức mơn tốn tạo sở vững cho việc học tốt môn khoa học tự nhiên Để nâng cao chất lượng môn học nói chung mơn tốn nói riêng ngành giáo dục bước đổi chương trình ,phương pháp giảng dạy đẻ phát huy tính tích cực,chủ động học sinh quan điểm đạo xây dựng chương trình mới,đổi phương pháp giảng dạy giảm lí thuyết tăng yêu cầu thực hành,giúp học sinh có kỹ giải tập tốn úng dụng giải tình huống,vận dụng vào thực tế sống ngày Mơn Tốn THCS có vai trò quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh,giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản,tìm tòi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong vài năm trở lại đây, đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi tuyển học sinh giỏi lớp cấp xuất tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Thế đa số học sinh gặp toán bậc hai, em lại lúng túng không giải chương trình học có tiết, nhà em cách đọc thêm sách tham khảo nên thiếu tự tin lúng túng ứng dụng hệ thức vi-ét để giải Để giúp học sinh tháo gỡ vướng mắc có định hướng đắn trước tốn bậc hai có phương pháp giải phù hợp cho toán dạng đồng thời giúp học sinh tự tin đạt kết cao kì thi tơi chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức Vi-et để giải toán bậc hai nhằm phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh lớp 9” 1.2.Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt toán bậc hai kỳ thi tuyển Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn bậc hai mà dạng toán khác 1.3.Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, mơn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét 1.4.Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.5.Những điểm sáng kiến: - Sáng kiến soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Lập phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm : Dạy học Toán thực chất dạy hoạt động toán học Học sinh - chủ thể hoạt động học cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo , thơng qua học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp, giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi phát kiến thức Giáo viên không cung cấp , không áp đặt kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự tìm tòi phát kiến thức giúp rèn luyện khả tư duy, nhớ kỹ kiến thức học Thế “làm để giúp học sinh học tập tốt mơn tốn ?” ln câu hỏi trăn trở bao người thầy có tâm huyết Và thầy góp phần khơng nhỏ vào việc đổi phương pháp giáo dục,tích luỹ kinh nghiệm để áp dụng vào dạy ngày nâng cao chất lượng học sinh, đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Là giáo viên trục tiếp giảng dạy ,tơi ln suy nghĩ tìm cách đổi phương pháp giảng dạy để phát huy tính tích cực,độc lập sáng tạo học sinh Trong chương trình lớp 9, học sinh học tiết : định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn,lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng, học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1.Thuận lợi: -Tôi trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối năm,bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên thấy cần thiết phải thực đề tài: “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức vi-et để giải toán bậc hai nhằm phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh lớp ” - Tơi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy - Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức 2.2.2 Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần hạn chế, cụ thể chương trình lớp có tiết Do chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Viét - Hầu hết số học sinh trường học sinh gia đình làm nơng nghiệp Do em trọng nâng cao kiến thức 2.2.3 Thực trạng giáo viên học sinh trường THCS Lưu Vệ Những mặt đạt được: - Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức chương trình Học sinh nắm kiến thức hoàn thành THCS ( đạt 98%) - Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, Nhờ học sinh có nhiều tiến Những mặt chưa đạt: - Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm có học sinh đạt giải cấp huyện mơn Tốn chưa nhiều giải chưa cao - Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn hạn chế Số liệu thống kê kết học tập chưa áp dụng đề tài : Lớp Số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Ts % Ts % Ts % Ts % Ts % 9A 43 11,5 10 23,0 19 44,8 18,4 2,3 Từ thuận lợi , khó khăn thực trạng trên, với đề tài mong giúp em có thêm kiến thức để tự tin kỳ thi tuyển 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: *Định lý Vi-et: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : b  x1 + x = −   a  c x x =  a  *Ứng dụng : -Tính nhẩm nghiệm : +Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a+b+c =0 phương trình có nghiệm x1 = ,nghiệm x2 = c a +Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b+c =0 phương trình có nghiệm x1 = -1 ,nghiệm x2 = - c a -Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu có hai số u v thoã mãn điều kiện : u + v = S u.v = P u ; v hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = 0.Điều kiện để có hai số u ;v là: S2 – 4P ≥ - Giáo viên soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài tơi trình bày dạng sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Lập phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Dạng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Dạng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Cụ thể sau: Dạng 1.Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng đặc biệt: Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2x2 + 5x + = (1) b) 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Ta thấy: a) Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm x = -1 nghiệm x2 = −3 b) Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm x1 = nghiệm x2 = −11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + = b/ 7x2 + 500x - 507 = c/ x2 - 49x - 50 = d/ 4321x2 + 21x - 4300 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2mx + = có nghiệm x1 = 2, tìm m nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + n= có nghiệm x1 = 5, tìm n nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2mx + = , ta được: – 4m + = ⇒ m = 5 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = x = 2 b/ Ta thay x1 = vào phương trình x + 5x + n = , ta được: 25+ 25 + n = ⇒ n = −50 −50 −50 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = x = = −10 c/ Vì vai trò x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau:  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔   x1 + x2 =  x2 = −2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trò x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1 = x2 x = ⇔ x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔    x1.x2 = 50  x2 = −5 Với x2 = x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 Với x2 = −5 x1 = −10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 Dạng 2.Lập phương trình bậc hai : 1/ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 5; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải:  S = x1 + x2 = 13  P = x1 x2 = 40 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 13x + 40 = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trìnhcho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2  x1 x2   1 1 1 P = y1 y2 =  x2 + ÷  x1 + ÷ = x1.x2 + + + = +1+1+ = x1   x2  x1 x2 2  S = y1 + y2 = x2 + Vậy phương trình cần lập có dạng: y − Sy + P = hay y − 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y2 = x2 + x2 x1 (Đáp số: y + y − = ⇔ y + y − = ) y1 = x1 + 2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x14 y2 = x2 (Đáp số: y − 727 y + = ) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà nghiệm : x1 ( x2 − 1) x2 ( − x1 ) 4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a/ y1 = x1 − y2 = x2 − b/ y1 = x1 − y2 = x2 − (Đáp số: a/ y − y + − m = ; b/ y − y − (4m − 3) = ) Dạng 3.Tìm hai số biết tổng tích chúng: Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 2 c/ a + b =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = 2 ( 81 − a + b 2 ) = 20  x1 =  x2 = Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: x − x + 20 = ⇔  Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36  x1 = −4  x2 = Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: x − x − 36 = ⇔  Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 Nếu a = c = - nên b = Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2 2  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13 - Với a + b = -13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x = −4 x + 13 x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = - b = - - Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x = x − 13 x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = c/ Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a + b = −11  a + b = 11 2 2 Từ a + b = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11 ⇒  - Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :  x = −5 x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = - b = - hay a = - b = - - Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình : x = x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = hay a = b = Dạng 4.Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 x1 x2 Ví dụ 1: a/ x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b/ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  c/ x14 + x2 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x2 2 1 2 x1 + x2 d/ x + x = x x 2 Ví dụ 2: x1 − x2 = ? 2 Ta biến đổi ( x1 − x2 ) = x12 − x1 x2 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: a/ x12 − x2 = ? 2 ( HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ) b/ x13 − x23 = ? 3 2 (HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ) c/ x14 − x2 = ? 4 2 2 ( HD x1 − x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = ) d/ x16 + x26 = ? ( HD x16 + x26 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) ( x14 − x12 x2 + x2 ) = ) 3 e/ x16 − x26 = ? f/ x17 + x27 = ? g/ x15 + x25 = ? 1 h/ x − + x − = ? 2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12 + x2 1 b/ x + x Giải:  S = x1 + x2 =  P = x1.x2 = 15 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  a/ x12 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 82 − 2.15 = 34 x +x 1 x1 x2 34 1 1 14 b/ x + x = x x = 18 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ ( x12 + x2 ) (Đáp số: 46) b/ x + x (Đáp số : ) 15 2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12 + x2 (Đáp số : 65) b/ x + x (Đáp số: ) 2 3/ Cho phương trình: x - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, tính: a/ x12 + x2 (Đáp số: 138) b/ x + x (Đáp số : ) 29 4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12 + x2 (Đáp số : 1) x1 x2 b/ x + + x + 1 c/ x + x 1− x (Đáp số: ) (Đáp số: 3) 1− x d/ x + x (Đáp số : 1) 5/ Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, tính: Q = x12 + 10 x1 x2 + x2 x1 x23 + x13 x2 10 ( ) 2 − 2.8 ( x1 + x2 ) − x1 x2 x12 + 10 x1 x2 + x2 17 Q = = = = 3 (HD: 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8  − 2.8 80     ( ) ) 6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m tham số, có nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : A = x13 x2 − x1 x23 theo m Dạng 5.Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số : Để làm toán dạng này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 - Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = có nghiệm x1 x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠  m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  ∆ ' ≥ 5m − ≥  m − ( m − 1) ( m − ) ≥  m ≥ 2m    S = x1 + x2 = m −  S = x1 + x2 = + m − (1) ⇔ Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m −  P = x x =  P = x x = − (2) 2 m −1 m −1   2 Rút m từ (1), ta có: m − = x1 + x2 − ⇔ m − = x + x − (3) 3 Rút m từ (2), ta có: m − = − x1 x2 ⇔ m − = − x x (4) Từ (3) (4), ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠  m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  ∆ ' ≥ 5m − ≥  m − ( m − 1) ( m − ) ≥  m ≥ 11 2m   S = x1 + x2 = m − Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P = x x = m − m −1  Thay vào biểu thức A, ta có: A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Hướng dẫn:- Tính  ta được: = (m - 2)2 + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi : ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 khơng phụ thuộc giá trị m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = 16m2 + 33 > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi : x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = không phụ thuộc giá trị m Dạng 6.Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠  m ≠ m − ≠ ⇔ ⇔    2 ∆ ' ≥  ∆ ' = m − 2m + − 9m + 27 ≥ ∆ ' = 3 ( m − 21)  − ( m − 3) m ≥ ( ) 12 m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' = ( m − 1) ≥  m ≥ −1 6(m − 1)   S = x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P = x x = 9( m − 3)  m Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết) 6(m − 1) 9( m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = ( thỏa mãn) Nên m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì:  S = x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P = x1.x2 = m + Vì 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = (giả thiết) ( ) ∆ ' = ∆ ' = ( 2m + 1) − m + ≥ ⇔ m ≥  m = 2(TM ) Nên m + − ( 2m + 1) + = ⇔  m = ( KTM )  ( ) Vậy với m = phương trình có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 − x2 = 2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + 3x2 = 3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 − x2 = Hướng dẫn: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác so với tập VD1 VD2 chỗ: + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m + Còn tập biểu thức nghiệm lại không cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi 13 biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD1 VD2 Bài 1: ĐKXĐ: m ≠ 0; m ≤ 16 15  − ( m − 4) m  S = x1 + x2 = m ( 1) Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m +  P = x x =  m Theo đề ta có: x1 − x2 = ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 + x2 = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = 3x1  x1 + x2 = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = x1 x2 ( )  ( x1 + x2 ) = x1 Suy ra:  Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2 + 127m - 128 = ⇒ m1 = ; m2 = -128 Bài 2: ĐKXĐ: 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96  S = x1 + x2 = − m ( 1)  P = x1.x2 = 5m − Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:   x1 = − ( x1 + x2 ) x + x = ⇔ Theo đề ta có:   x2 = ( x1 + x2 ) − ⇒ x1 x2 = 1 − ( x1 + x2 )   ( x1 + x2 ) − 1 ⇔ x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 1( ) m = m = Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: 12m(m – 1) = ⇒ ⇔  (TMĐK) Bài 3: 2 Vì ∆ = ( 3m − ) + 4.3 ( 3m + 1) = 9m + 24m + 16 = ( 3m + ) ≥ với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m −   S = x1 + x2 = ( 1) Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:  − m + ( )  P = x x =  8 x1 = ( x1 + x2 ) + Theo đề ta có: 3x1 − x2 = ⇔  8 x2 = ( x1 + x2 ) − ⇒ 64 x1 x2 = 5 ( x1 + x2 ) +  3 ( x1 + x2 ) −  ⇔ 64 x1 x2 = 15 ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 36 Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m ( 45m + 96 ) = 14 m = ⇔  m = − 32 (TMĐK) 15  Dang 7.Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau:  Dấu x1 x2 S = x1 + P = x1 x2 Điều kiện chung nghiệm x2 m ± trái dấu P0  ≥0  ≥0 ; P > dương + + S>0 P>0  ≥0  ≥0 ; P > ; S > âm - S0  ≥0  ≥0 ; P > ; S < Ví dụ : Xác định tham số m cho phương trình: x – (3m + 1) x + m – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: ( )  ∆ = ( 3m + 1) − 4.2 m − m − ≥ ∆ = ( m − ) ≥ 0∀m ∆ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <  m2 − m − P = m − m + < P < ( )( ) P = 