PHẦN TỬ KHUNGPHẲNG

Chương 5 PHẦN TỬ KHUNGPHẲNGPHẦN TỬ KHUNGPHẲNG (A Plane Frame Element) B môn K Thut Xây dng, Khoa Công Ngh PHẦN TỬ KHUNG • Khung là cấu kiện bao gồm các phần tử có phương bất kỳ quy tụ tại các nút cứng. • Các phần tử nối với nút cứng đều i i dịch chuyển và xoay giống nhau. • Hai hệ toạ độ: Hệ tổng quát (x,y) và hệ cục bộ • Ngoại lực: Lực tập trung: theo phương ngang // x , phương đứng // y và mômen tập trung tại các nút. ),( yx y x i θ j x y y x i θ j P 3i-2 P 3i-1 P 3i Chuyển vị • Ẩn số là các chuyển vị nút có 3 thành phần: ngang U 3i-2 , đứng U 3i-1 , xoay U 3i của hệ tổng quát (x,y): U U 3 j-2 U 3j U 3j-1 U 3i-1 y x i j A I E L θ • Theo hệ cục bộ, mỗi nút có các chuyển vị: chuyển vị dọc trục, ,chuyển vị trục, , góc xoay i v U 3i-2 x i U 3i x i j A I E L θ i v i u i φ j u r y x j v j φ i φ i u Véctơ chuyển vị phần tử • theo hệ tổng quát: • và hệ cục bộ: ( ) { } [ ] jjjiii T e UUUUUUU 3132331323 −−−− = { } [ ] jjjiii T e vuvuU φφ = )( Ma trận độ cứng phần tử: • Năng lượng biến dạng của phần tử là tổng các năng lượng biến dạng của: phần tử thanh, và phần tử dầm, . ( ) e A Λ ( ) e B Λ ( ) ( ) ( ) e B e A e Λ+Λ=Λ { } [ ] jjjiii vuvuU φφ = Năng lượng biến dạng phần tử thanh • Năng lượng biến dạng phần tử thanh theo hệ cục bộ: • Trong đó của phần tử thanh chỉ do lực ( ) { } ( ) { } { } { } )()()()( 2 1 e A T e A e A e A T e A e A fUUKU −       =Λ { } { } )()( e A q e A x ff = phân bố đều dọc trục (bỏ qua nhiệt): ( ) ; 000000 000000 0000 000000 000000 0000                       − − =       L AE L AE L AE L AE K e A { } { }                       =                       = 0 0 2/ 0 0 2/ ; 0 0 0 0 )()( Lq Lq f u u U x x e A q j i e A x Năng lượng biến dạng phần tử dầm • Và năng lượng biến dạng của phần tử dầm: • Trong đó của phần tử thanh chỉ do ( ) { } ( ) { } { } { } )()()()( 2 1 e B T e B e B e B T e B e B fUUKU −       =Λ { } { } )()( e B q e B y ff = lực phân bố đều dọc trục (bỏ qua nhiệt): ( ) [ ]                   − −−− − − = 22 22 3 460260 61206120 000000 260460 61206120 000000 LLLL LL LLLL LL L EI K e B { } { }                       − − − =                       = 12/ 2/ 0 12/ 2/ 0 ; 0 0 ; 2 2 )()( Lq Lq Lq Lq f v v U y y y y e B q j j i i e B y φ φ { } { } B Năng lượng biến dạng phần tử khung • Cộng 2 ma trận và và 2 véc tơ lại ta có ma trận độ cứng phần tử khung: ( ) [ ] e A K ( ) [ ] e B K { } { } )()( , e B e A UU ( ) 260460 61206120 0000 22 22           − − −  LLLL LL I AL I AL EI e { }           i i i v u φ { }           − − = 12/ 2/ 2/ 2 )( Lq Lq Lq y y x e • Vậy phương trình năng lượng biến dạng phần tử khung là: ( ) ; 460260 61206120 0000 260460 22 22 22 3               − −−− − − =       LLLL LL I AL I AL LLLL L EI K e { }                 = j j j i e v u U φ φ )( ( ) { } ( ) [ ] { } { } { } )()()()( 2 1 e T ee e T ee fUUKU −=Λ⇒ { }                 − − = 12/ 2/ 2/ 12/ ; 2 )( Lq Lq Lq Lq f y y x y e Năng lượng biến dạng phần tử khung theo hệ tổng quát • Để chuyển sang hệ toạ độ tổng quát • Ta có quan hệ của 2 vec tơ chuyển vị như sau: • Tại nút i : θθ sincos 1323 −− += ii i UUu ( ) e Λ { } { } )()( , ee UU yy _ x U _ _ _ j • Tương tự tại nút j: • Suy ra: θθ cossin 1323 −− +−= ii i UUv { } [ ] ( ) { } ee UTU = )( θθ θθ cossin sincos 1323 1323 −− −− +−= += jj j jj j UUv UUu j j U 3 .1= φ i i U 3 .1= φ x i x U 3i-1 U 3i-2 u i _ v i _ U 3i φ i _ θ Năng lượng biến dạng phần tử khung theo hệ tổng quát • Với: [ ]                   − − = 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos θθ θθ θθ θθ T • Thay: vào ta có: • Đặt : và là ma trận độ cứng phần tử và véc tơ lực do lực phân bố đều phần tử theo hệ tổng quát (x,y)  100000 { } [ ] ( ) { } ee UTU = )( ( ) e Λ ( ) ( ) { } [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) { } ( ) { } ( ) { } eT T ee e T T ee fTUUTKTU ][ 2 1 −=Λ⇒ ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] TKTK e T e )( = ( ) { } [ ] ( ) { } e T e fTf = Thế năng toàn phần • Tính phương trình thế năng toàn phần: Trong đó: ( ) ∑∑ == −Λ=Π m i ii n e e UP 11 ( ) { } [ ] { } { } { } FUUKU TT n e −⋅=Λ ∑ 2 1 Và: • Phương trình đạo hàm của thế năng: • Rút gọn và giải hệ phương trình ta được {U} { } [ ] { } { } { } { } 0=−−⋅= Π PFUK U ∂ ∂ { } [ ] { } { } { } FUUKU e −⋅=Λ ∑ = 2 1 ( ) { } ∑∑ == == n e e n e e fFKK 11 )( ][;][][ . 5 PHẦN TỬ KHUNGPHẲNGPHẦN TỬ KHUNGPHẲNG (A Plane Frame Element) B môn K Thut Xây dng, Khoa Công Ngh PHẦN TỬ KHUNG • Khung là cấu kiện bao gồm các phần. cứng phần tử: • Năng lượng biến dạng của phần tử là tổng các năng lượng biến dạng của: phần tử thanh, và phần tử dầm, . ( ) e A Λ ( ) e B Λ ( ) ( ) ( )