Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng Nai

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có trang, có năm bài) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) 1) Chứng minh phương trình  x  x  x  có ba nghiệm thực phân biệt x1, x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T   x13  x12   x23  x22   x33  x32   2) Cho hai hàm số y  x3  x  3x  1, y  x3  x  mx  có đồ thị  C1  ,  C2  với m tham số thực Tìm tất giá trị m để  C1   C  cắt ba điểm phân biệt có tung độ y1, y2 , y3 thỏa mãn 1    y1  y2  y3  Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh a  b  c  abc Bài (4 điểm) Cho dãy số  xn  xác định x1  x2  xn xn   xn21  3. 1 n 1 1) Chứng minh số hạng dãy  xn  số nguyên 2) Tính lim xn 1 x1  x2   xn Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K trung điểm BC G hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC  cắt BD ACB cắt AB F tia phân giác BID I đối xứng C qua D Tia phân giác  M, MF cắt AC E 1) Chứng minh D nằm đường tròn (O) 2) Tiếp tuyến A (O) cắt BC X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O) Bài (4 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn m  m  12 n  n Chứng minh m  n lập phương số nguyên -HẾT Họ & tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: …………… Chú ý Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay!