Nhóm tốn VD-VDC ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 VĨNH PHÚC 2018-2019 Câu Cho hàm số y = x − 14 x + 20 x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = −4 x + 15 Câu Giải phương trình ( 2cos x − 1)( 2sin x + cos x ) + sin x = sin x Câu Tìm tất giái trị thực tham số m để hàm số y = biến khoảng ( −1; +∞ ) Câu 4 3 x + ( m + 1) x + 3mx − m2 đồng Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − x + m − có năm điểm cực trị Câu Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = ln 1 − , ( n ∈ ℕ* ) Tính giá trị biểu 2 ( n + 1) thức H = 2019.e u1 e u2 e u2018 Câu 6: Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12 , ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Câu 7: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau, vng góc nhận đoạn AB làm đoạn vng góc chung Hai điểm M , N di động Ax, By cho AM + BN = MN Gọi O trung điển đoạn AB Chứng minh tam giác OMN tam giác tù khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi M , N di động Ax, By Câu 8: Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P thuộc cạnh BD, BC , AC cho BD = BM , BC = BN , AC = AP Mặt phẳng ( MNP ) cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD chia ( MNP ) Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD , điểm G ( 3;3) trọng tâm tam giác ABD Đường thẳng qua A vng góc với BG cắt BD điểm E (1;3) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có tung độ lớn Câu 10: Cho số thực x, y , z thuộc khoảng ( 0;3) thỏa mãn − 1 − 1 − 1 = Tìm giá trị x y z 2 x y z nhỏ biểu thức P = + + 16 HẾT Nhóm tốn VD-VDC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho hàm số y = x − 14 x + 20 x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = −4 x + 15 Lời giải Tập xác định R Ta có y ' = x − 28 x + 20 Gọi M ( a; a − 14a + 20a + ) điểm thuộc đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = −4 x + 15 Khi ta có: a = y ( a ) = −4 ⇔ 4a − 28a + 20 = −4 ⇔ ( a − 1) ( a + a − ) = ⇔ a = −3 a = ' Với a = ta có M (1; 11) ∈ ∆ tiếp tuyến M ∆ nên loại Với a = −3 ta có M ( 3; − 101) , phương trình tiếp tuyến M là: y = −4 ( x + 3) − 101 = −4 x − 113 Với a = ta có M ( 2; ) , phương trình tiếp tuyến M là: y = −4 ( x − ) + = −4 x + 12 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = −4 x − 113; y = −4 x + 12 Câu Giải phương trình ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) + sin x = sin x Lời giải Ta có ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) + sin x = sin x ⇔ ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin x ( cos x − 1) ⇔ ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = π x = + k 2π cos x = π ⇔ ⇔ x = − + k 2π sin x = − cos x π x = − + kπ Nhóm tốn VD-VDC Câu Tìm tất giái trị thực tham số m để hàm số y = biến khoảng ( −1; +∞ ) 3 x + ( m + 1) x + 3mx − m2 đồng Lời giải +Tập xác định: D = ℝ + y ' = x + ( m + 1) x + 3m Hàm số đồng biến khoảng ( −1; +∞ ) y ' ≥ ∀x ∈ ( −1; +∞ ) phương trình y ' = có số hữu hạn nghiệm khoảng ( −1; +∞ ) ⇔ x + ( m + 1) x + 3m ≥ ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ −3m ≤ +Xét hàm số f ( x) = x + 3x ∀x ∈ ( −1; +∞ ) (1) x +1 x + 3x x2 + 8x + với x ∈ ( −1; +∞ ) Ta có f '( x) = ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ; x +1 ( x + 1) 1 f '( x) = ⇔ x = − ; f − = −1 ; lim f ( x) = +∞ ; lim+ f ( x ) = +∞ Do x →+∞ x →−1 2 1 f ( x) = f − = −1 ( −1;+∞ ) 2 1 + (1) ⇔ −3m ≤ f ( x) ⇔ m ≥ Vậy đáp số cần tìm m ≥ 3 ( −1;+∞ ) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − x + m − có năm điểm cực trị Lời giải Hàm số y = x − x + m − có năm điểm cực trị hàm số y = x − x + m − cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x − x + m − = (1) có nghiệm phân biệt Ta có (1) ⇔ x3 − 3x = − m Nhóm tốn VD-VDC x = Xét hàm số f ( x ) = x3 − 3x ta có f ′ ( x ) = x − x = ⇔ x = −∞ x y′ + − 0 y +∞ + +∞ −4 −∞ Từ bảng biến thiên ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt −4 < − m < ⇔ < m < Câu Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = ln 1 − , ( n ∈ ℕ* ) Tính giá trị biểu 2 n + ( ) thức H = 2019.e u1 e u2 e u2018 Lời giải n ( n + 1) Ta có un = ln 1 − = ln 2 ( n + 1) ( n + 1) n n k (k + 2) n !( n + 2)! n+2 Do ∑ uk = ln ∏ = ln = ln 2 ( n + 1) k =1 k =1 ( k + 1) ( n + 1) ! 2! 2018 Suy H = 2019.e e e u1 Câu 6: u2 u2018 = 2019.e ∑ uk k =1 = 2019.e ln 2018 + 2( 2018+1) = 2019 2020 = 1010 2.2019 Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12 , ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Lời giải + Có 10! cách xếp 10 học sinh + Có 6! cách xếp học sinh lớp 11 lớp 10; học sinh tạo thành chỗ trống (tính vị trí hai đầu) Chọn vị trí xếp học sinh lớp 12 có A74 cách Suy có A74 6! cách xếp 10 học sinh cho khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Xác suất cần tìm là: P = Câu 7: A74 6! = 10! Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau, vng góc nhận đoạn AB làm đoạn vng góc chung Hai điểm M , N di động Ax, By cho AM + BN = MN Gọi O trung điển đoạn AB Chứng minh tam giác OMN tam giác tù khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi M , N di động Ax, By Lời giải Nhóm tốn VD-VDC x M A Q H P A O B N y Dựng hình bình hành ABPM Ta có ( BP; BN ) = ( AM ; BN ) = 90° AB ⊥ ( PBN ) ⇒ MP ⊥ PN Suy MN = MP + PN = MP + BP + BN = AB + AM + BN AB ⇒ AM BN = 2 MN = ( AM + BN ) Xét tam giác OMN Ta có 2 2 OM + ON − MN OA + AM + OB + BN − ( AM + BN ) cos MON = = 2OM ON 2OM ON AB − AM BN AB = =− Vì KAG = 45° ⇒ ∆AKG vng cân nên KA = KG a = Vì a > ⇒ A ( 5;5 ) ⇒ ( a − 3) = ⇒ a = xC − = −6 ⇒ C ( −1; − 1) Ta có: AC = AG ⇒ yC − = −6 xD − = − ⇒ D ( −1;5 ) Có AD = 3GE ⇒ yD − = xB − = ⇒ B ( 5; − 1) Vì AB = DC ⇒ yB − = −6 Cách 2: Nhóm tốn VD-VDC A B G M H I E C D Gọi M trung điểm cạnh AD , H = AE ∩ BM , I tâm hình vng ABCD AB = a Ta có: BM = AM + AB = a a mà BG = BM ⇒ BG = 3 Xét tam giác ABM ta có: BH BM = AB ⇒ BH = Vì ∆BHE # ∆BIG ⇒ AB 2 = a BM BH BG 2 2 BH BE = ⇒ BE = = a ⇒ EI = BE − BI = a− a BI BG BI 3 2 = 2 a 1 1 a Xét tam giác IGE có: GE = GI + EI = a + a = 6 6 Mà G ( 3;3) E (1;3) nên GE = Do a = 2⇒ a = Xét tam giác ABE có: AE = AB + BE − AB.BE.cos 45° 2 2 5a a = a + a − 2.a a = ⇒ AE = =2 Gọi A ( x ; y ) với y > a ( − x ) + ( − y ) = =2 AG = 2 Ta có: ⇒ ⇒ (1 − x ) − ( − x ) = 12 2 AE = (1 − x ) + ( − y ) = 20 y =1 2 ⇒ x = ⇒ + (3 − y ) = ⇒ (3 − y ) = ⇒ ⇒ A ( 5;5 ) y = xC − = −6 ⇒ C ( −1; − 1) Vì AC = AG ⇒ yC − = −6 a 1 = DI mà IG = IA 3 xD − = −6 AD = 3GE ⇒ ⇒ D ( −1;5 ) yD − = Có EI = (tính chất trọng tâm) nên GE // AD Nhóm tốn VD-VDC xB − = ⇒ B ( 5; − 1) Vì AB = DC ⇒ y B − = −6 Câu 10: Cho số thực x, y, z thuộc khoảng ( 0;3) thỏa mãn − − − 1 = Tìm giá trị x y z 2 x y z + nhỏ biểu thức P = + 16 Lời giải x 2 = a 0 < a < y = b 0 < b < ⇒ Đặt 3 ; Áp dụng BĐT z 0 < c < =c 4 0 < t < 13 a + b + c = t ( a + b + c ) ≥ 27abc ⇔ abc ≤ (a + b + c) 27 = t3 27 Từ điều kiện ta có: − 1 − 1 − 1 = ⇔ ( ab + bc + ca ) = 2abc + ( a + b + c ) − a b c −4 ⇒ ab + bc + ca ≤ t + t − ⇒ −2 ( ab + bc + ca ) ≥ t − 2t + 27 27 Mà P = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≥ − t + t − 2t + Coi P hàm số theo biến t 27 t = −4 t + 2t − = ⇔ Thì P′ = t = BBT Vậy P = a = b = c = ⇒ ( x; y; z ) = 1; ; ... 2018 Suy H = 2019. e e e u1 Câu 6: u2 u2018 = 2019. e ∑ uk k =1 = 2019. e ln 2018 + 2( 2018+ 1) = 2019 2020 = 1010 2 .2019 Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12 , ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp... ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Lời giải + Có 10! cách xếp 10 học sinh + Có 6! cách xếp học sinh lớp 11 lớp 10; học sinh... tạo thành chỗ trống (tính vị trí hai đầu) Chọn vị trí xếp học sinh lớp 12 có A74 cách Suy có A74 6! cách xếp 10 học sinh cho khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Xác suất cần tìm là: P = Câu