LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = −x có đồ thị ( C ) đường thẳng d có phương trình y = x + m , 2x +1 m tham số Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A B lớn Lời giải 1 −1 Tập xác định D = ℝ \ − Ta có đạo hàm y′ = 2 ( x + 1) Phương trình hồnh độ giao điểm −x = x + m ⇔ g ( x ) = x + ( m + 1) x + m = 2x + ∆′ = m + 2m + − 2m = m + > 0, ∀m nên đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) hai Ta có g − = − ≠ 0, ∀ m 2 điểm phân biệt A , B với giá trị thực m S = − ( m + 1) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm A B m P = 1 = − 4S − 8P + 4S + = − 4m + ≤ −2 Suy K = − + 2 2x + ( 4P + 2S + 1) ( ) ( x2 + 1) ( ) Vậy tổng hệ số góc lớn tiếp tuyến với ( C ) A B −2 đạt m = Câu 2: (5 điểm) a) Giải phương trình cos x = 1− x Lời giải Xét hàm số f ( x) = cos x + x −1 với x ∈ ℝ Ta có f '( x) = − sin x + x ; f ''( x) = − cos x + Vì f ''( x) > ∀x ∈ ℝ ⇒ f '( x) đồng biến ℝ Mà f '(0) = suy phương trình f '( x) = có nghiệm x = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy f ( x) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x + y + xy − x − y + = b) Giải hệ phương trình x − y + = x y + Lời giải Ta có: x + y + xy − x − y + = ⇔ x + ( y − 3) x + ( y − 3) + y + y − = ⇒ y + y − ≤ ⇔ ≤ y ≤ (1) Lại có: x − y + = x y + ⇔ x − x y + + y + + (1− y ) = ( ) ⇔ x − y + + (1− y ) = ⇒ (1− y ) ≤ ⇔ y ≥ (2) Từ (1) (2) ⇒ y = Thay y = vào hệ x = x = Vậy hệ có nghiệm y = Câu 3: a2 (3 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = , an +1 = n ; n = 1, 2, an − an + a) Chứng minh dãy số ( an ) dãy số giảm b) Với số nguyên dương n, đặt bn = a1 + a2 + + an Tính lim bn n →+∞ Lời giải −a ( a − 1) an2 a) Xét hiệu an +1 − an = − an = 2n n an − an + an − an + 2 Từ cách xác định dãy số ta có an > 0∀n an2 − an + > ⇒ an +1 − an < 0∀n ∈ N * Vậy ( an ) dãy số giảm b) Ta có an +1 = ⇒ an+1 − = ⇒ an = an2 − an + + an − a −1 = 1+ n an − an + an − an + an − an2 − an + 1 ⇒ = = an + an − an + an +1 − an − an − 1 an +1 − an − − Suy bn = a1 + a2 + + an = 1 = + (1) an +1 − a1 − an +1 − − Lại có: Dãy số ( an ) dãy số giảm, bị chặn nên có giới hạn, giả sử lim an = a ⇒ lim an +1 = a ⇒ a = n →+∞ n →+∞ a2 ⇒ a = hay lim an = (2) n →+∞ a2 − a + Từ (1) (2) ta có lim bn = n →+∞ Câu 4: (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , đường cao AH Gọi E hình chiếu B AI , HE cắt AC P Gọi M trung điểm BC Biết H ( 6; −4 ) ; P (11;1) M (10; −4 ) Lời giải A A P I I E P M B H C M H B E F F Hình Hình H không trùng M nên tam giác ABC không cân Vẽ đường kính AF đường tròn ( I ) C Ta có AHB = AEB = 90° nên bốn điểm A, E , H , B thuộc đường tròn Từ ta có ABH = HEF = AFC (với hình 1) ABH = AEH = AFC (với hình 2) nên HP //CF , lại có AC ⊥ CF suy HP ⊥ AC Ta có HP ( 5;5 ) Do đường thẳng AC qua P (11; 1) có vtpt n (1;1) có phương trình x + y –12 = Đường thẳng BC qua H ( 6; −4 ) M (10; −4 ) có phương trình y = −4 C giao điểm AC BC , tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình x + y –12 = x = 16 ⇔ y = −4 y = −4 Vậy C (16; −4 ) M (10; −4 ) trung điểm BC nên B ( 4; −4 ) Đường thẳng AH vng góc với BC qua H ( 6; −4 ) có phương trình x = x + y –12 = x = A giao điểm AH AC nên tọa độ nghiệm hệ ⇔ x = y = Vậy A ( 6;6 ) ; B ( 4; −4 ) ; C (16; −4 ) 2) a) Theo quy tắc hình hộp ta có: AC ' AB AD AA ' AC ' = AB + AD + AA ' ⇒ AQ = AM + AN + AP AQ AM AN AP Mà M, N, P, Q đồng phẳng nên 1 AC ' AB AD AA ' = + + = + + ⇒ ( Vì AC’ AQ AM AN AP AQ AM AN AP đường chéo hình lập phương ABCDA’B’C’D’ nên AB = AD = AA ' = b) Dễ dàng chứng minh kết quen thuộc tứ diện vuông là: 1 1 + +