Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh ***************************** ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa ************************************************* Hà tĩnh, ngày 20 tháng 03 năm 2008 1 Bàitoán gốc: Chứng minh rằng: n 3 - n 6 với mọi n Z Chứng minh: Ta có: n 3 - n = (n - 1)n(n + 1) Xét n = 3k khi đó n 3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Xét n = 3k + 1 khi đó n -1 3 n 3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Xét n = 3k + 2 khi đó n + 1 3 n 3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Vậy n 3 - n 6 với mọi n Z ứng dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2008 (1) Bài giải: Ta có: (1) (x 3 + y 3 + z 3 ) - (x + y + z) = 2008 ( x 3 - x) + ( y 3 - y)+ (z 3 - z) = 2008 (2) Dể thấy vế trái của (2) chia hết cho 6 còn vế phải của (2) chia cho 6 có số d là 4.Do đó phơng trình (1) không có nghiệm nguyên (đpcm) Bài 2: Chứng tỏ rằng hệ phơng trình sau không có nghiệm nguyên: = = = )3(669 )2(669 )1(669 3 3 3 xz zy yx Bài giải: Ta có: Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: ( x 3 - x) + ( y 3 - y)+ (z 3 - z) = 2007 (*) Phơng trình (*) có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 d 3 do đó vô nghiệm.Vậy hệ phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm) Bài 3: Cho x 1 + x 2 + . . . + x n 6 (với x 1 , x 2 ,, x n Z) Chứng minh rằng: x 1 3 + x 2 3 + . . . + x n 3 6 Bài giải : Xét hiệu ( x 1 3 + x 2 3 + . . . + x n 3 ) - (x 1 + x 2 + . . . + x n ) = (x 1 3 - x 1 ) + (x 2 3 - x 2 ) ++ ( x n 3 - x n ) 6 Mà x 1 + x 2 + . . . + x n 6 do đó : x 1 3 + x 2 3 + . . . + x n 3 6 (đpcm) Bài 4: Cho N = 2009 2010 N viết đợc dới dạng tổng của n số tự nhiên n 1 , n 2 , . . . , n n Tìm số d của tổng: S = n 1 3 + n 2 3 + . . . + n n 3 khi chia cho 6 Bài giải : 2 Ta có N = n 1 + n 2 + + n n Do S - N = (n 1 3 + n 2 3 + . . . + n n 3 ) - (n 1 + n 2 + + n n ) 6 Nên S và N phải có cùng số d khi chia cho 6 Mặt khác 2009 chia cho 6 có số d là 5 do đó 2009 2 chia cho 6 có số d là 1 Vì vậy N = 2009 2010 = (2009 2 ) 1005 chia cho 6 có số d là 1 Kết quả : S = n 1 3 + n 2 3 + . . . + n n 3 chia cho 6 có số d là 1 Bài 5: Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên: 2 2 2 )1( + xx = x 2 + x + 1004 (5) Bài giải: Bây giờ ta sẻ sửdụng kết quả sau: x 3 = 2 2 )1( + xx - 2 2 )1( xx áp dụng ta có : 1 3 + 2 3 + + (x - 1) 3 +x 3 = 2 2 )1( + xx Khi đó ta có: (5) 2 2 )1( + xx = 2 )1( + xx + 502 1 3 + 2 3 + + (x - 1) 3 +x 3 = 1 + 2 + + x + 502 (1 3 - 1) + (2 3 - 2) + + (x - 1) 3 - (x - 1) + (x 3 - x) = 502 (6) Dể thấy vế trái của (6) chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 có số d là 4 Do đó phơng trình (6) không có nghiệm nguyên,tức là phơng trình (5) không có nghiệm nguyên +Tất nhiên phơng trình (5) sẻ còn có cách giải khác Chẳng hạn: Đặt t = x 2 + x (t Z) Khi đó (5) t 2 - 2t - 2008 = 0 (7) Do phơng trình (7) không có nghiệm nguyên nên phơng trình (6) không có nghiệm nguyên 3 4