Giải bất phương trình bằng phương pháp xét dấu biểu thức

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong q trình dạy học mơn Tốn THPT, Tơi dạy học nhiều trường THPT khác nhau, với nhiều học sinh có lực tiếp thu kiến thức khác nhau, từ học sinh có học lực yếu, trung bình, giỏi Hiện thân Tôi giáo viên dạy học lớp 10A9, 10A10, 10A11 trường THPT Yên Định 1, đối tượng học sinh Tơi chủ yếu Học sinh có học lực mức Yếu, trung bình khá, nên khả tiếp thu kiến thức hạn chế Đặc biệt chương trình Đại số 10 tơi thấy phần kiến thức (( Bất phương trình )) học sinh tiếp thu kiến thức khó khăn, nhiều học sinh học phần thấy có nhiều dạng bất phương trình , dạng lại có cách giải khác nên học sinh khó nhớ Các tập lại có su hướng theo hình thức trắc nghiệm nên đòi hỏi làm phải nhanh, Vì nhiều học sinh khơng có hứng thú học, dẫn đến gốc bất phương trình Tơi chăn trở với khó khăn mà em gặp phải, để em nhớ kiến thức , phương pháp giải để em trình làm tập, dễ nhớ, giải Một ý tưởng để thực nêu cách giải chung cho tất bất phương trình mà em học sách giáo khoa để học sinh dễ nhớ, làm đúng, nhanh Ý tưởng thực (( Giải bất phương trình phương pháp xét dấu biểu thức )) Đó củng tên đề tài mà tơi chọn nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập phát triển theo định hướng sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, nói cách khác tập cho học sinh làm quen với cách giải bất phương trình theo phương pháp để học sinh dễ nhớ, có hứng thú học, kiến thức mà em nắm phục vụ cho phần học kiến thức sau, chương trình Giải tích lớp 12 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài viết mảng kiến thức phần bất phương trình Đại số 10 THPT Và hướng tới đối tượng học sinh có học lực từ yếu đến khá, giỏi trường THPT Yên Định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu trực tiếp giảng dạy lớp 10A9, 10A10, 10A11) Ngồi sử dụng phương pháp: - Phương pháp quan sát (công việc dạy-học giáo viên học sinh) - Phương pháp đàm thoại, vấn (lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, người giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức b Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, đứng trước khó khăn cần phải khắc phục c Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi tổng hợp kiến thức cho riêng d Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Kiến thức rộng, câu hỏi đa dạng, có rải rác đề thi thử trường, khó tổng hợp Nhiều học sinh cảm thấy chán nãn mệt mỏi 2.3 Giải vấn đề Xuất phát từ phương pháp giải bất phương trình quen thuộc ! - Bất phương trình bậc nhất: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ , ax + b ≤ (a ≠ 0) Cách giải: Xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b ( a ≠ ) −∞ x f(x) − trái dấu a b a +∞ dấu a Từ bảng ta xác định dấu f(x) suy tập nghiệm bất phương trình - Bất phương trình bậc hai: ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ , ax2 + bx + c ≤ (a ≠ 0) Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ ) Phương pháp: + Xác định dấu a + Xác định dấu ∆ ( nghiệm phương trình f(x) = 0) Nếu f(x) = vô nghiệm ta có bảng xét dấu f(x) sau x −∞ +∞ f(x) dấu a Nếu f(x) = có nghiệm kép x = − b f(x) = 2a b   a x +  2a   Ta có trục số xét dấu f(x) sau x −∞ f(x) − dấu a b 2a +∞ dấu a Nếu f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) Ta có trục số xét dấu f(x) sau x f(x) −∞ dấu a x1 +∞ x2 Trái dấu a dấu a Từ bảng xét dấu ( trục số xét dấu) biểu thức f(x) ta đưa tập nghiệm bất phương trình Từ trục số xét dấu biểu thức f(x) ta làm rõ cho học sinh nhận thấy, hai khoảng kề qua nghiệm đơn trái dấu, hai khoảng kề qua nghiệm kép dấu Với giá trị x0 khoảng cho ta giá trị f(x0) có dấu khoảng Nếu bất phương trình có dạng f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ , f(x) ≤ cách giải nào? Phương pháp: - Xét dấu biểu thức f(x) trục số - Từ dấu f(x) ta tìm tập nghiệm bất phương trình Để làm rõ trọng tâm tơi đưa nhóm câu hỏi phương pháp giải để học sinh thấy rõ phương pháp tìm nhanh tập nghiệm I NHÓM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Câu Giải bất phương trình: a x2 -3x + > b –x2 +4x – ≥ c x2 - 3x + Ta có: x2 -3x + = vô nghiệm Trục số xét dấu vế trái −∞ +∞ + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;+∞) b –x2 +4x – ≥ –x2 +4x – = phương trình có nghiệm kép x = Trục số xét dấu vế trái −∞ +∞ - - Vậy bất phương trình có nghiêm x = c x2 - 3x + Định hướng Xét dấu vế trái trục số thực qua bước sau - Giải phương trình ( ý cần xác định nghiệm đơn hay kép) - Lập trục số ( điền nghiệm trục số) - Xác định dấu vế trái khoảng ( lấy phần tử đại diện khoảng thay vào vế trái, giá trị dương khoảng mang dấu dương ngược lại, vào dấu hệ số ẩn có mũ cao nhất, khoảng bên phải dấu với hệ số đó) Các khoảng kề qua nghiệm đơn dấu đan xen, qua nghiệm kép dấu Giải a x3 – x2 + 2x – < x3 – x2 + 2x – = ⇔ x= Trục số xét dấu vế trái −∞ +∞ - + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;1) b –x3 + 3x + ≤ x=2 Ta có: –x3 + 3x + = ⇔   x = −1 Trục số xét dấu vế trái −∞ -1 + +∞ + - Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [ 2;+∞) ∪ { − 1} Bình luận: Qua ta cần cho học sinh cách xác định dấu biểu thức phương trình có nghiệm đơn nghiệm kép, học sinh thường hay sử dụng máy tính để tìm nghiệm nên nghiệm nghiệm kép, nghiệm nghiệm đơn ta hướng dẫn cho học sinh cách lấy phần tử đại diện thay vào vế trái để xác định dấu Ta nhắc học sinh khoảng ngồi bên phải ln dấu với hệ số x có số mũ cao c x3 + 2x2 – x – >  x = ±1 Ta có : x3 + 2x2 – x – = ⇔   x = −2 Trục số xét dấu vế trái −∞ -2 - -1 + +∞ - + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − 2;−1) ∪ (1;+∞) Bình luận: Phương trình có ba nghiệm đơn nên khoàng đan xen dấu Khoảng bên phải (1;+∞) ln dấu vói hệ số x có số mũ cao Câu Giải bất phương trình sau a x4 – 4x2 > b –x4 + 5x2 – ≤ Định hướng Cách giải bất phương trình bậc bốn phương pháp giống bất phương trình bậc ba Giải a x4 – 4x2 > Ta có;  x=0 x4 – 4x2 = ⇔   x = ±2 Trục số xét dấu vế trái −∞ -2 + 0 - +∞ - + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;−2) ∪ ( 2;+∞) b –x4 + 5x2 – ≤  x = ±1 –x4 + 5x2 – = ⇔   x = ±2 Trục số xét dấu vế trái −∞ -2 - -1 + - + +∞ - Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;−2) ∪ ( − 1;1) ∪ ( 2;+∞) Lưu ý: Đối với bất phương trình dạng đa thức, giải bất phương trình phương pháp xét dấu vế trái khoảng ngồi bên phải trục số vế trái dấu với hệ số x có số mũ cao Bình luận: Trong q trình làm tập gặp tập bất phương trình bậc cao ta thực tương tự cách giải II NHÓM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, DẠNG THƯƠNG Phương pháp chung: Lập bảng xét dấu vế trái Đánh giá: Phương pháp nên đa số học sinh giáo viên giảng em hiểu, trình làm tập em hay sai có làm nhiều thời gian Vì q trình dạy học tơi thấy sử dụng phương pháp lập trục số xét dấu khoảng băng phương pháp lấy phần tử đại diện học sinh dễ nhớ hơn, xác làm nhanh Bài tập: Giải bất phương trình sau (x-1)(x+2)3(x-3)4 ≥ 2 x + 3x − x − 0 x +1 x − Định hướng: Để giải bất phương trình ta sử dụng phương pháp xét dấu vế trái phương pháp lập trục số, cụ thể Giải (x-1)(x+2)3(x-3)4 ≥  x =1  (x-1)(x+2)3(x-3)4 = ⇔  x = −2  x = Trục số xét dấu vế trái −∞ -2 + - +∞ + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;−2] ∪ [1;+∞) Chú ý Nghiệm bội chẳn hai khoảng kề dấu, nghiệm bội lẻ hai khoảng kề trái dấu Ta thấy x=-2 x=1 nghiệm bội lẻ, x=3 nghiệm bội chẳn Khoảng bên phải dấu với tích hệ số x biểu thức vế trái Học sinh xác định dấu cách lấy phần tử đại diện khoảng đố thay vào vế trái để xác định dấu khoảng Ví dụ lấy x = thuộc ( − 2;1) thay vào vế trái ta -1.23.(-3)4 = - 648 Vậy khoảng ( − 2;1) vế trái mang dấu âm 2 x + 3x − x − 0 x +1 x − f ( x) Định hướng: Biến đổi vế trái dạng thương g ( x) > lập trục số xét dấu Giải x−7 >0 − >0 ⇔ ( x + 1)( x − 3) x +1 x − Điều kiện: x ≠ −1 x ≠  x = −1  x=3 Ta có: x – = ⇔ x = , ( x + 1)( x − 3) = ⇔  Trục số xét dấu vế trái −∞ -1 - + +∞ - + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − 1;3) ∪ ( 7;+∞) Bình luận: Ta xác định dấu khoảng nhanh dựa vào tích hệ số x nhị thức Cụ thể tích nên khoảng bên phải ( 7;+∞) mang dấu dương, khaongr kề dấu đan xen III NHĨM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách - Chia khoảng xét dấu - Bình phương hai vế Bình luận: Cách thơng dụng, hướng dẫn học sinh có học lực trung bình, khá, giỏi em dễ hiểu, nhiều học sinh kỷ giải bất phương trình dạng thấy tiếp thu chậm, giải tập trắc nghiệm thường làm chậm hay sai Vì tơi hướng dẫn theo phương pháp xét dấu thấy học sinh làm nhanh hơn, dễ nhớ hơn, sai sót Câu hỏi: Giải bất phương trình sau 2 x − x − < 2 x − > x + 3x − x−2 x − 5x + ≥3 Định hướng: Để giải bất phương trình đưa cách giải sau - Đưa bất phương trình hai vế, vế vế lại biểu thức chứa biến x - Giải phương trình - Lập trục số xét dấu Giải 2 x − x − < 10 Ta có  x = −3  x=  2 x − 5x − = ⇔ x = 5x − ⇔  x =1  x=  Trục số xét dấu vế trái −∞ -3 + - + - +∞ +   1 2 Chú ý Để xác định dấu ta lấy phần tử đại diện khoảng  − 3;  , cụ thể lấy x=0 thay vào vế trái bất phương trình ta –   1 2 Vậy khoảng  − 3;  vế trái âm, khoản kề dấu đan xen   1 2 2 x − > x + 3x − ⇔ x + 3x − − x + < (1)  3  2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  − 3;  ∪ 1;  Ta có: x-8 = x + 3x − ⇔ phương trình vơ nghiệm Trục số xét dấu vế trái −∞ +∞ + Lấy x=0 thay vào vế trái (1) ta 12 Vậy vế trái dương với ∀x Vậy bất phương trình vơ nghiệm x−2 x − 5x + ≥3 ⇔ ( x − − x − 5x + x − 5x + ) ≥0 Điều kiện: x ≠ x ≠  x=2 10  x − − x − x + = ⇔ Ta có:  x = ( ) 11 x = x − 5x + = ⇔  x = Trục số xét dấu vế trái −∞ - 10 3 - + +∞ -  10    Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  3; IV NHĨM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI Phương pháp: Để giải bất phương trình chứa ẩn bậc hai ta thường thực qua bước sau - Tìm điều kiện bất phương trình - Biến đổi bất phương trình bỏ bậc hai, đưa bất phương trình dạng biết cách giải - Tập nghiệm bất phương trình giao điều kiện tập nghiệm bất phương trình biến đổi dạng Bình luận Cách giải phù hợp với câu hỏi tự luận đòi hỏi cần phải trình bày lời giải, đa số câu hỏi đề thi chọn đáp án sai ( thi trắc nghiệm ) đòi hỏi học sinh phải tìm đáp án nhanh Vì phương pháp nhiều học sinh làm khơng tốt Qua q trình dạy học tơi thấy sử dụng phương pháp xét dấu để tìm tập nghiệm toán dạng tương đối hiệu Câu hỏi: Giải bất phương trình sau x − x + < x + x − x ≥ x − 3 x + 11 ≥ x − + x − x + 3x − > 2x − 12 x + 3x − 10 + x + 3x > Định hướng: Câu Nếu giải theo phương pháp tự luận ta làm theo cơng thức biến đổi tương đương sau Câu Dạng  A≥0  A < B ⇔  B > giải hệ bất phương trình ta tập nghiệm A < B2   B <  A≥0 A≥B⇔ Giải hai hệ bất phương trình ta tìm tập  B ≥  A ≥ B  nghiệm bất phương trình cho Câu Nêu điều kiện, bình phương hai vế biến đổi đưa bất phương trình bậc hai biết cách giải Câu Chuyển vế, quy đồng đưa bất phương trình dạng thương  f ( x) >  f ( x) g ( x) < < ⇔    f ( x) < g ( x)   g ( x) >  Giải hai hệ bất phương trình ta tìm tập nghiệm bất phương trình cho Câu Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình Bình luận: Để giải tốn đa số em học sinh thầy cô hướng dẫn theo phương pháp Đối với học sinh giỏi em nhớ dạng bất phương trình phương pháp giải dạng bất phương trình nhanh, với học sinh trung bình, em phải rèn luyện nhiều Để giải tất toán hướng dẫn học sinh cách giải cụ thể sau Giải x − x + < x + ⇔ x − x + − x − < Điều kiện: x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 3;+∞) Ta có: x − x + = x + ⇔ x = 13 Trục số xét dấu vế trái −∞ + +∞ - -   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  ;1 ∪ [ 3;+∞) 3  Chú ý: Khi lập trục số xét dấu vế trái bất phương trinh ta cần lưu ý - Thể điều kiện ( tập xác định ) bất phương trình Tập nghiệm BPT phải tập tập xác định - Dấu vế trái khoảng ta xác định cách lấy phần tử đại diện thay vào biểu thức vế trái Ví dụ lấy x=0 ta vế trái − > nên khoảng 1   − ∞;  vế trái BPT dương 3  x − x ≥ x − ⇔ x − x − x + ≥ Điều kiện: x ∈ ( − ∞;0] ∪ [ 4;+∞) Ta có: x − 4x = x − ⇔ x = Trục số xét dấu vế trái −∞ + - +∞ +   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;0] ∪  ;+∞  2  x + 11 ≥ x − + x − ⇔ x + 11 − x − − x − ≥ Điều kiện: x ∈ [ 4;+∞) Ta có x + 11 = x − + x − ⇔ x = Trục số xét dấu vế trái 14 −∞ +∞ + - Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [ 4;5] x + 3x − > x − − x + 3x − ⇔ >0 2x − ( x − 1) x + 3x − 5  Điều kiện: x ∈  − ∞;−  ∪ (1;+∞)  2 x = Ta có x − − x + 3x − = ⇔ x − = x + 3x − ⇔  x =  2 2x − = ⇔ x = Trục số xét dấu vế trái −∞ − + + +∞ - + 5  3  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  − ∞;−  ∪ 1;   ( 2;+∞)  2  2 Chú ý: Khi xác định dấu vế trái bpt trục số, khoảng đó, cách lấy giá trị đại diện ta phải xác định xác giá trị thuộc khoảng nào, thay giá trị vào biểu thức phải Nếu xác định dấu sai thi lấy tập nghiệm sai x + 3x − 10 + x + 3x > Điều kiện: x ∈ ( − ∞;−3] ∪ [ 0;+∞) Giải phương trình: x + x − 10 + x + 3x = Đặt t = x + 3x với t ≥ Ta có t + 3t − 10 = ⇔ t =  x =1 Với t = x + 3x = ⇔   x = −4 15 Trục số xét dấu vế trái −∞ -4 + -3 - +∞ - + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( − ∞;−4) ∪ (1;+∞) Bình luận: Cách giải bất phương trình phương pháp xét dấu tóm tắt qua bước sau Bước Tìm điều kiện có Bước Tìm nghiệm phương trình ( lấy nghiệm thỏa mãn điều kiện) Bước lập trục số ( điền nghiệm phương trình điều kiện (nếu có) bất phương trình, từ nhỏ đến lớn) Bước xác định dấu vế trái khoảng ( Trên khoảng vế trái mang dấu) cách lấy phần tử đại diện thay vào biểu thưc Bước Nhìn vào dấu vế trái trục số kết luận tập nghiệm BPT 2.4 Hiệu SKKN - Học sinh cảm thấy hứng thú tiết học ôn tập, biết câu hỏi đa dạng thường xuất phát từ chất tốn gốc mà em biết, từ em có tự tin tiếp thu kiến thức Các em cảm thấy tự tin chủ động tiếp cận câu hỏi Đặc biệt thu hút học sinh có học lực yếu với câu hỏi từ mức độ nhận biết mà em tự đặt đến câu hỏi khó hơn, nâng dần mức độ để phù hợp với học sinh có lực học khá, giỏi Điều minh chứng rõ nét kiểm tra cho lớp khối 10 mà trực tiếp giảng dạy, lực học học sinh hai lớp tương đương nên đề, tất nhiên đảm bảo tính khách quan Nội dung kiểm tra chương ba lớp ơn tập xong phần bất phương trình Trong lớp 10A9 tơi cho em ơn tập bình thường ơn luyện đề bất phương trình theo cách giải sách giáo khoa, lớp 10A10, 10A11 tổng hợp theo phương pháp nêu SKKN Kết thu có khác biệt rõ, thể bảng sau: Tỉ lệ điểm Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 10A9 47 5% 25% 57% 13% 10A10 48 12% 37% 46% 5% 10A11 46 8% 32% 49% 11% 16 - Được đồng nghiệp đánh giá cao Một số thầy, cô giáo trường dạy khối 10 áp dụng vào giảng dạy thu hiệu tích cực Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Bài viết thể rõ ràng ý tưởng tơi Mong ý tưởng có ích cho thầy, giáo việc soạn dạy ôn tập cho học sinh 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường: Nhà trường tạo điều kiện trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện tìm tòi thực phương pháp dạy học - Đối với tổ, nhóm chun mơn: Tăng cường trao đổi chun mơn, đặc biệt thành viên nhóm chun mơn tích cực chia sẻ phương pháp dạy học, phương pháp giải tập mới, hiệu để đồng nghiệp trao đổi, đánh giá, hoàn thiện vận dụng vào dạy học 17 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Đỗ Văn Hân 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [I] Đề thi tiết chương IV đại số 10 nâng cao trường THPT, sở GD&ĐT nước năm học 2016 – 2017 2017 – 2018 [II] Các đề minh họa có phần kiến thức tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số, tìm điều tham số để hàm số đồng biến, nghich biến, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số khoảng đề thi thử, thi THPT Quốc gia số trương THPT toàn quốc năm học 2016 – 2017 2017 – 2018 19 ... có trục số xét dấu f(x) sau x f(x) −∞ dấu a x1 +∞ x2 Trái dấu a dấu a Từ bảng xét dấu ( trục số xét dấu) biểu thức f(x) ta đưa tập nghiệm bất phương trình Từ trục số xét dấu biểu thức f(x) ta... Tìm điều kiện bất phương trình - Biến đổi bất phương trình bỏ bậc hai, đưa bất phương trình dạng biết cách giải - Tập nghiệm bất phương trình giao điều kiện tập nghiệm bất phương trình biến đổi... phụ để giải bất phương trình Bình luận: Để giải tốn đa số em học sinh thầy cô hướng dẫn theo phương pháp Đối với học sinh giỏi em nhớ dạng bất phương trình phương pháp giải dạng bất phương trình