đường thảng vuông góc với mặt phẳng

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ VUÔNG GÓC §3 Đường thảng vuông góc với mặt phẳng Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 3 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng A. Tóm tắt lí thuyết 1. định nghĩa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí mở đầu: Nếu đờng thẳng d vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với mọi đờng thẳng nằm trong (P). Nh vậy: a cắt b d a và d b c luôn có d c. Định nghĩa 1: Một đờng thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đờng thẳng chứa trong mặt phẳng đó. Định lí 1: Nếu đờng thẳng d vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P) thì đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Nh vậy: a c t b d a v d b ắ à d (a, b). 2. các tính chất Tính chất 1: Qua một điểm O cho trớc có duy nhất một mặt phẳng (P) vuông góc với một đờng thẳng d cho trớc. Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: Qua O dựng đờng thẳng d // d. Lấy hai mặt phẳng phân biệt (Q) và (R) cùng đi qua d. Trong (Q) dựng đờng thẳng a qua O và vuông góc với d. Trong (R) dựng đờng thẳng b qua O và vuông góc với d Khi đó, mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng cần dựng. Tính chất 2: Qua một điểm O cho trớc có duy nhất một đờng thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trớc. Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: 2 P a b O d c P d O a b d Q R Lấy đờng thẳng a nằm trong (P). Dựng mặt phẳng (Q) qua O vuông góc với a cắt (P) theo giao tuyến b. Trong (Q) dựng đờng thẳng d qua O và vuông góc với b Khi đó, đờng thẳng d chính là đờng thẳng cần dựng. Bài toán: Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Giải Gọi d là đờng thẳng đi qua tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC và vuông góc với (ABC). Mặt phẳng trung trực của đoạn AD cắt d tại O thì O cách đều bốn đỉnh của tứ diện, thật vậy trớc tiên ta có ngay: OA = OD. (1) Mặt khác: OIA = OIB = OIC (c.g.c) OA = OB = OC. (2) Từ (1) và (2), suy ra: OA = OB = OC = OD tức là, điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện. 3. liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đ - ờng thẳng và mặt phẳng Tính chất 3: a. Cho hai đờng thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đờng thẳng này thì cũng vuông góc với đờng thẳng kia. b. Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chất 4: a. Cho hai mặt phẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thì song song với nhau. Tính chất 5: a. Cho đờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đờng thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. b. Nếu một đờng thẳng và một mặt phẳng (không chứa đờng thẳng đó) cùng vuông góc với một đờng thẳng thì song song với nhau. 4. định lí ba đờng vuông góc Định nghĩa 2 (Phép chiếu vuông góc): Phép chiếu song song trong đó phơng chiếu vuông góc với mặt chiếu gọi là phép chiếu vuông góc. 3 P Q O b a M l M Chú ý: Phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Định lí 2 (Định lí ba đờng vuông góc): Cho đờng thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đờng thẳng a'. Khi ấy, một đờng thẳng b nằm trong (P) vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a'. Tức là: a b (P) a b. 5. góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng Định nghĩa 3: Góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đờng thẳng a và hình chiếu a' của nó trên (P), kí hiệu là (a, (P)) hay ((P), a). Đặc biệt: Khi a thuộc (P) hoặc a song song với (P) thì (a, (P)) = 0 0 . Khi a vuông góc với (P) thì (a, (P)) = 90 0 . Nh vậy, ta luôn có 0 (a, (P)) 90 0 . B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Mặt phẳng trung trực. Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau. Phơng pháp áp dụng 1. Để chứng minh đờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau chứa trong (P). Cách 2: Chứng minh a song song với đờng thẳng b vuông góc với (P). 2. Để chứng minh mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ta đi chứng minh (P) vuông góc với AB tại trung điểm I của AB 3. Để chứng minh hai đờng thẳng a, b vuông góc với nhau, ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh đờng thẳng a vuông góc với một mặt phẳng chứa đờng thẳng b. 4 a b a O a 1 a Cách 2: Sử dụng định lí ba đờng vuông góc. Cách 3: Nếu hai đờng thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các ph- ơng pháp đã học trong hình học phẳng. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a. Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI). b. Gọi AH là đờng cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). Giải a. Vì ABC và BCD cân theo thứ tự tại A và D nên: DIBC AIBC BC (ADI), đpcm. b. Với AH là đờng cao của ADI, suy ra AH DI. (1) Mặt khác từ a), ta có: BC (ADI) BC AH. (2) Từ (1) và (2), suy ra AH (BCD). Nhận xét: Nh vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách 1 trong việc chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Và lời giải của câu b) phụ thuộc vào kết quả trong a). Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SC SN SB SM = . Chứng minh rằng : a. BC (SAB) và AM (SBC). b. MN (SAB), từ đó suy ra SB AN. Giải a. Ta lần lợt có: ABBC SABC BC (SAB). 5 C A B D I S B C A M N BCAM SBAM AM (SBC). b. Từ giả thiết: SC SN SB SM = MN // BC MN (SAB) MN SB SB (AMN) SB AN, đpcm. Nhận xét: Nh vậy, trong câu b) của ví dụ trên đã minh hoạ cách 2 để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Ví dụ 3: (Bài 18/tr 103 Sgk): Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lợt là trực tâm của các ABC và SBC. Chứng minh rằng: a. AH, SK, BC đồng quy. b. SC mp(BHK). c. HK mp(SBC). Giải a. Gọi {E} = AH BC, ta có: SABC AEBC BC (SAE) BC SE SE là đờng cao của SBC K SE. Vậy, ba đờng thẳng AH, SK, BC đồng quy tại E. b. Ta có: SABH ACBH BH (SAC) BH SC. (1) Mặt khác, ta có BK SC. (2) Từ (1) và (2), suy ra SC (BHK). (*) c. Từ (*), suy ra SC HK. (3) Mặt khác, từ a), suy ra BC HK. (4) Từ (3) và (4), suy ra HK (SBC). 6 S B C A H K E Ví dụ 4: (Bài 17/tr 103 Sgk): Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông của điểm O trên mặt phẳng (ABC). a. Chứng minh rằng BC (OAH), CA (OBH), AB (OCH). b. Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC. c. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + . d. Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn. Giải a. Từ giả thiết: OH (ABC) OH BC. (1) Ta có: OA OB OA OC OA (OBC) OA BC. (2) Từ (1) và (2) suy ra BC (OAH). Chứng minh tơng tự ta nhận đợc CA (OBH), AB (OCH). b. Từ kết quả câu a), ta có: BC (OAH) BC AH. (3) AC (OBH) AC BH. (4) Từ (3) và (4) suy ra H là trực tâm của ABC. c. Giả sử AH cắt BC tại K, suy ra OK BC. Trong OBC vuông tại O, ta có: 2 2 2 1 1 1 OK OB OC = + . Trong OAK vuông tại O, ta có: 2 2 2 1 1 1 OH OA OK = + = 2 2 2 1 1 1 OA OB OC + + , đpcm. d. Giả sử OA = a, OB = b, OC = c. Xét ABC vuông tại O, ta có: AB 2 = OA 2 + OB 2 = a 2 + b 2 , BC 2 = OB 2 + OC 2 = b 2 + c 2 , AC 2 = OA 2 + OC 2 = a 2 + c 2 , cosBÂC = 2 2 2 AB AC BC 2AB.AC + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a c (b c ) 2 a b . a c + + + + + + > 0 góc BÂC nhọn. Chứng minh tơng tự, ta đợc các góc BCA và ACB đều nhọn. Vậy, các góc của tam giác ABC đều nhọn. 7 A B C O H K Ví dụ 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lợt cắt SB, SC, SD tại B, C, D. Chứng minh BD song song với BD và AB vuông góc với SB. Giải a. Ta có ngay, các tam giác SAB và SAD vuông tại A. Từ giả thiết: SA (ABCD) SA BC. (1) Mặt khác, ta có: AB BC, vì ABCD là hình vuông. (2) Từ (1) và (2) suy ra: BC (SAB) BC SB SBC vuông tại B. Chứng minh tơng tự ta đợc SDC vuông tại D. b. Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta đợc: AH SB AH BC AH (SBC) AH SC. Chứng minh tơng tự ta đợc AK SC. Nh vậy, vì AH, AI, AK cùng vuông góc với SC nên ba đờng thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. c. Nhận xét rằng: SAB = SAD (c.g.c) SB' = SD'. Trong SBD, ta có: SB' SD' SB SD = B'D' // BD. Ta có: SC () SC AB'. (3) Từ kết quả trong a) là: BC (SAB) BC AB'. (4) Từ (3) và (4) suy ra: AB' (SBC) AB' SB. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. b. Chứng minh rằng BC (SAB), CD (SAD). 8 A B C D B' D' O S C' E c. Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. d. Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đờng thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng. e. Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn HK. Từ đó suy ra HK AI. f. Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SA = AB = a. Giải a. Từ giả thiết: SA (ABCD) SA BC. (1) Mặt khác, ta có: AB BC, vì ABCD là hình vuông. (2) Từ (1) và (2) suy ra BC (SAB). Chứng minh tơng tự ta đợc CD (SAD). b. Từ giả thiết: SA (ABCD) SA BD. (3) Mặt khác, ta có: AC BD, vì ABCD là hình vuông. (4) 9 A B C D H K O S I E Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.200.000đ. 1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2. Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN 0 & PTNT Tây Hồ 3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email. LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 10 . hai mặt phẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với. thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đờng thẳng chứa trong mặt phẳng đó. Định lí 1: Nếu đờng thẳng d vuông góc với hai đờng