hai đường thảng vuông góc

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ VUÔNG GÓC §2 Hai đường thảng vuông góc Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 2 hai đờng thẳng vuông góc A. Tóm tắt lí thuyết 1. Góc giữa hai đờng thẳng bất kì trong không gian Định nghĩa 1: Góc giữa hai đờng thẳng a, b là góc giữa hai đờng thẳng a , b cùng đi qua một điểm và lần lợt song song với a và b. Chú ý: 1. Để xác định góc (a, b) ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đ- ờng thẳng đó. 2. Nếu u r , v r theo thứ tự là các vectơ chỉ phơng của các đờng thẳng a, b và ( u r , v r ) = thì góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng hoặc 180 0 tuỳ theo 90 0 hợc > 90 0 . 2. hai đờng thẳng vuông góc Định nghĩa 2: Hai đờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . Nhận xét: Cho hai đờng thẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với đờng thẳng thứ nhất thì vuông góc với đờng thẳng thứ hai. Tức là: a // b c a c b. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Tính góc giữa hai đờng thẳng chéo nhau Phơng pháp áp dụng Để tính góc giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b, ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1 : Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Tìm góc bằng việc lấy một điểm O nào đó (thông thờng O a hoặc O b). Qua O dựng a và b theo thứ tự song song với a và b. Khi đó, góc avà b là góc giữa a và b. 2 a b O a b Bớc 2: Tính góc : Sử dụng tỷ số lợng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm số côsin trong tam giác th- ờng để xác định số đo góc giữa a và b. Cách 2 : Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Tìm hai vectơ u r , v r theo thứ tự là các vectơ chỉ phơng của các đờng thẳng a, b Bớc 2: Tính số đo của ( u r , v r ) = sử dụng tích vô hớng. Bớc 3: Khi đó, góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng hoặc 180 0 tuỳ theo 90 0 hoặc > 90 0 . Ví dụ 1: (Bài 16/tr 117 Sbt): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC. a. Tính góc giữa hai đờng thẳng SD và BC. b. Gọi I và J lần lợt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J. Giải a. Từ nhận xét BC // AD, ta có: 90 0 = (SA, BC) = (SA, AD) SA AD. (SD, BC) = (SD, AD) ã SDA.= . Trong SAD, ta có: SA = AB = AD SAD vuông cân tại A ã 0 SDA 45 .= Vậy, ta đợc (SD, BC) = 45 0 . b. Vì ABCD là hình thoi nên AC BD, khi đó vì: IJ // BD (AC, IJ) = (AC, BD) = 90 0 không phụ thuộc vị trí của I, J. Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên: Để tìm góc giữa SD và BC chúng ta có ngay AD // BC nên nhận đợc góc ã SDA. , và số đo của nó đợc xác định dựa trên hệ thức lợng trong tam giác vuông. Tơng tự với AC và IJ (có giả thiết IJ // BD) chúng ta nhận đợc (AC, IJ) = 90 0 dựa trên tính chất của hình thoi. Ví dụ 2: (Bài 23/tr 118 Sbt): Cho tứ diện ABCD có 4 CD AB 3 = . Gọi I, J, K lần lợt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết 5 JK AB 6 = , tính góc giữa đờng thẳng CD với các đờng thẳng IJ và AB. Giải 3 AB C D I J O S a. Ta lần lợt: Với hai đờng thẳng CD và IJ ta có: CD // IK (CD, IJ) = (IK, IJ). Đặt AB = a, trong IJK ta có ngay: 5a JK , 6 = 1 a IJ AB , 2 2 = = 1 1 4 2a IK CD . AB 2 2 3 3 = = = suy ra: IK 2 + IJ 2 2 2 2 2 2 2a a 25a 5a JK 3 2 36 6 = + = = = ữ ữ ữ IJK vuông tại I. Vậy, góc giữa hai đờng thẳng CD và IJ bằng 90 0 . Với hai đờng thẳng CD và AB ta có: AB // IJ (CD, AB) = (CD, IJ) = 90 0 . Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC, AD. a. Hãy tính cosin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a. b. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 3 . Giải a. Gọi E là trung điểm của AC, ta có: EM // AB và EM = a 2 . do đó (AB, DM) = (MD, ME). Xét DEM, ta có: DM = DE = a 3 2 , trung tuyến trong tam giác đều ã 2 2 2 DM EM DE cosDME 2DM.EM + = = 1 2 3 = 3 6 . Vậy, ta đợc cos(AB, DM) = 3 6 . b. Gọi O là trung điểm của BD, ta có: ON // AB và ON = a OM // CD và OM = a do đó (AB, CD) = (OM, ON). Gọi I là trung điểm MN, trong IME vuông tại I, ta có: 4 D A B M C N O I E C B A K D I J sinMÔI = IM OM = 3 2 MÔI = 60 0 MÔN = 2MÔI = 120 0 (OM, ON) = 180 0 120 0 = 60 0 . Vậy, ta đợc (AB, CD) = 60 0 . Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên: ở câu a), để tìm góc giữa AB và DM chúng ta lựa chọn điểm M trên DM để dựng đờng thẳng song song với AB, bởi M, A, B cùng thuộc mặt phẳng (ABC) và dựa trên tính chất đờng trung bình để đặt vấn đề theo cách "Gọi E là trung điểm của AC". Cuối cùng, côsin của góc ã DME đợc tính dựa trên định lí hàm số côsin trong tam giác. ở câu b), với hai đờng thẳng AB và CD (hai cạnh đối của tứ diện) nếu chúng ta chọn các điểm đầu mút để dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng còn lại sẽ không tạo đợc một tam giác, tức không thể tính đợc số đo của góc tạo thành. Và trong những trờng hợp nh vậy, chúng ta thờng chọn trung điểm của đoạn thẳng nối (tức trung điểm của AC, AD, BC, BD) để làm điểm xuất phát. Khi thực hiện yêu cầu này, các em học sinh cần luôn ghi nhớ "Góc giữa hai đờng thẳng không thể là góc tù". Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đờng thẳng SC và AB. Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, AC. Khi đó, ta nhận thấy: MP //SC MN // AB (SC, AB) = (MP, MN). Trong MNP, ta có: cos NMP = 2 2 2 MN MP NP 2MN.MP + . (1) Ta lần lợt có: MN = 1 2 AB = a 2 vì MN là đờng trung bình, (2) MP = 1 2 SC = a 2 vì MP là đờng trung bình. (3) Trong SBP, theo định lí đờng trung tuyến ta có: 5 S A B P C M N PB 2 + PS 2 = 2NP 2 + 2 SB 2 . (4) Nhận xét rằng: Vì ABC vuông tại A (có AB 2 + AC 2 = BC 2 ) nên: PB 2 = AB 2 + AP 2 = a 2 + 2 a 4 = 2 5a 4 . (5) Vì SAC đều (có SA = SC = AC = a) nên PS = a 3 2 . (6) Thay (5), (6) vào (4), ta đợc NP = a 3 2 . (7) Thay (2), (3) và (7) vào (1), ta đợc: cos NMP = 1 2 NMP = 120 0 . Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180 2 120 2 = 60 0 . Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC uur và AB uuur , ta có: cos( SC uur , AB uuur ) = SC.AB |SC |.| AB| uur uuur uur uuur = (SA AC).AB SC.AB + uuur uuur uuur = SA.AB AC.AB SC.AB + uuur uuur uuur uuur . Trong đó: Vì SAB đều (có SA = SB = AB = a) nên: SA.AB uuur uuur = SA.AB.cos(180 0 SÂB) = a.a.cos120 0 = 2 a 2 . Vì ABC vuông tại A (có AB 2 + AC 2 = BC 2 ) nên AC.AB uuur uuur = 0. Từ đó, ta đợc: cos( SC uur , AB uuur ) = 2 2 a 0 2 a + = 1 2 ( SC uur , AB uuur ) = 120 0 . Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180 2 120 2 = 60 0 . Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC uur và AB uuur , ta có: cos( SC uur , AB uuur ) = SC.AB |SC |.| AB| uur uuur uur uuur = ( ) SC SB SA SC.AB uur uur uuur = SC.SB SC.SA SC.AB uur uur uur uuur . Trong đó: Vì SBC vuông tại S (có SB 2 + SC 2 = BC 2 ) nên SC.SB uur uur = 0. Vì SAC đều (có SA = SC = AC = a) nên: SC.SA uur uuur = SC.SA.cosASC = a.a.cos60 0 = 2 a 2 . Từ đó, ta đợc: 6 cos( SC uur , AB uuur ) = 2 2 a 0 2 a = 1 2 ( SC uur , AB uuur ) = 120 0 . Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180 2 120 2 = 60 0 . Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên: ở cách 1, góc giữa SC và AB đợc xác định dựa theo kinh nghiệm đã biết trong nhận xét của ví dụ trớc. ở cách 2, chúng ta đi tính góc giữa SC và AB thông qua các vectơ chỉ phơng của nó. Với cách này thông thờng chúng ta nhận đợc một lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên, khi đó các em học sinh cần có kiến thức tốt về vectơ. ở cách 3, vẫn với ý tởng nh trên, nhng chúng ta biến đổi vectơ AB SA SB= uuur uuur uur để nhận đợc tích vô hớng của các vectơ cùng gốc, và nh trong chủ đề trớc chúng ta đã đợc biết rằng "Đối với tứ diện (hoặc gọi là hình chóp) SACB chúng ta th- ờng chọn bộ vectơ sơ sở là SA, SB, SC uuur uur uur để biểu diễn cho các vectơ còn lại". ý tởng này sẽ đợc thấy lại trong ví dụ tiếp theo. Ví dụ 5: (Bài 17/tr 117 Sbt): Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh bằng a, ã 0 BAD 60= , ã ã 0 BAA' DAA' 120 .= = a. Tính góc giữa các cặp đờng thẳng AB với AD và AC với BD. b. Tính diện tích các hình ABCD và ACCA. c. Tính góc giữa đờng thẳng AC và các đờng thẳng AB, AD, AA. Giải Đặt x AB= r uuur , y AD= r uuur , z AA'= r uuuur . Sử dụng công thức tích vô hớng lần lợt có: 2 2 2 2 x y z a .= = = r r r 2 2 2 a a a x.y , y.z , z.x . 2 2 2 = = = r r r r r r b. Ta lần lợt: Với hai đờng thẳng AB và AD ta có hai cách: Cách 1: Ta có: AB // CD (AB, AD) = (CD, AD). Trong ACD, ta có: ã 2 2 2 A'D CD A'C cosA'DC 2A'D.CD + = . (1) Ta lần lợt có: 7 A A B B C C D D A’D 2 = A’A 2 + AD 2 − 2A’A.AD.cos · DAA' = a 2 + a 2 − 2a.a.cos120 0 = 3a 2 ⇔ A 'D a 3.= (2) A'C AC AA' AB AD AA' x y z= − = + − = + − uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r r r ⇔ ( ) 2 2 A'C x y z= + − uuuur r r r = 2 2 2 x y z 2x.y 2y.z 2z.x+ + + − − r r r r r r r r r = 2a 2 ⇔ A'C a 2.= (3) 8 Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.000.000đ. 1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2. Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN 0 & PTNT Tây Hồ 3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email. LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 9 Thay (2), (3) vµo (1) víi lu ý CD = a, ta ®îc: · 2 2 2 3a a 2a 1 cosA'DC . 2.a 3.a 3 + − = = VËy, gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB vµ A’D cã c«sin b»ng 1 . 3 C¸ch 2: Ta cã: ( ) AB.A'D cos AB, A'D | AB|.| A'D | = uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur ( ) AB AD AA' | AB|.| A'D | − = uuur uuur uuuur uuur uuuur AB.AD AB.AA' . | AB|.| A'D | − = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur (4) Trong ®ã: A’D 2 = A’A 2 + AD 2 − 2A’A.AD.cos · DAA' = a 2 + a 2 − 2a.a.cos120 0 = 3a 2 ⇔ A 'D a 3.= (5) AB.AD = uuur uuur AB.AD.cosBAD = a.a.cos60 0 = 2 a 2 . (6) AB.AA' = uuur uuuur AB.AA’.cosBAA = a.a.cos120 0 = − 2 a 2 . (7) Thay (5), (6), (7) vµo (4), ta ®îc: ( ) 2 2 a a 1 2 2 cos AB, A'D . a.a 3 3 + = = uuur uuuur VËy, gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB vµ A’D cã c«sin b»ng 1 . 3  Víi hai ®êng th¼ng AC’ vµ B’D ta cã hai c¸ch: C¸ch 1: Ta cã: AC' x y z,= + + uuuur r r r B'D AD AB' AD AB AA' y x z,= − = − − = − − uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r r r ( ) ( ) AC'.B'D x y z y x z= + + − − uuuur uuuur r r r r r r ( ) 2 2 y x z= − + r r r ( ) 2 2 2 y x z 2x.z= − + + r r r r r = 0 ⇔ AC' B'D⊥ uuuur uuuur . VËy, gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AC’ vµ B’D b»ng 90 0 . C¸ch 2: Trong h×nh b×nh hµnh AB’C’D, ta cã: AD = a, AB' AB AA' x z= + = + uuuur uuur uuuur r r ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 AB' x z x z 2xz a= + = + + = uuuur r r r r r r ⇔ AB’ = a, ( ) AD.AB' y x z y.x y.z 0= + = + = uuur uuuur r r r r r r r ⇔ · 0 DAB' 90 .= 10 . AB DB 2 2 = + + ( ) 2 2 2 2 1 AC DB AB DC 2 = + ( ) 2 2 2 2 1 2b 2c b c 2 = = ( ) 2 2 2 b c cos AD, BC a = uuur uuur a 2 .cos = b 2 c 2 . Tơng. C M N PB 2 + PS 2 = 2NP 2 + 2 SB 2 . (4) Nhận xét rằng: Vì ABC vuông tại A (có AB 2 + AC 2 = BC 2 ) nên: PB 2 = AB 2 + AP 2 = a 2 + 2 a 4 = 2 5a 4 . (5)