hai mặt phẳng vuông góc

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ VUÔNG GÓC §4 Hai mặt phẳng vuông góc Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 4 hai mặt phẳng vuông góc A. Tóm tắt lí thuyết 1. góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đ- ờng thẳng lần lợt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Đặc biệt: Khi (P) và (Q) trùng nhau hoặc song song với nhau thì (a, b) = 0 0 . Nhận xét: Với hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d lần lợt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đờng thẳng a và b. Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). Gọi là góc hợp bởi (ABC) với (SBC). Chứng minh rằng: S ABC = S SBC .cos. Giải Kẻ đờng cao AH của ABC, ta đợc: SH BC, theo định lí ba đờng vuông góc và SHA = . Ta có: S ABC = 1 2 AH.BC = 1 2 SH.BC.cos = S SBC .cos, đpcm. Định lí 1: Nếu S là diện tích của một đa giác H trong mặt phẳng (P) và S' là diện tích hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng (P') thì S' = S.cos, trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P'). 2. hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . Định lí 2 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc): Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Nh vậy: 2 Q P a b Q P a S B C A H (P) (Q) a (P): a (Q). Hệ quả 1: a. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trên (P) thì đờng thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). b. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đờng thẳng a nào thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q). Hệ quả 2: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Hệ quả 3: Qua đờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P). 3. hình lăng trụ đứng. hình hộp chữ nhật. hình lập phơng Định nghĩa 3: Một hình lăng trụ đợc gọi là hình lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các mặt đáy. Nhận xét rằng các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật và đều vuông góc với đáy. Lăng trụ Lăng trụ đứng Lăng trụ đều Ta có các trờng hợp: 1. Một hình lăng trụ đứng có đáy là một miền đa giác đều đợc gọi là lăng trụ đều. Nh vậy, lăng trụ đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. 2. Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành đợc gọi là hình hộp đứng. Nh vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bên là những hình chữ nhật và hai đáy là hình bình hành. 3. Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật đợc gọi là hình hộp chữ nhật. Nh vậy, hình hộp chữ nhật có sáu mặt đều là những hình chữ nhật. 4. Hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phơng. 4. hình chóp đều và hình chóp cụt đều Định nghĩa 4: Một hình chóp đợc gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là miền đa giác đều và chân đờng cao của hình chóp trùng với tâm của đa giác đều đó. 3 A A 1 D D 1 C C 1 B B 1 C A B C 1 A 1 B 1 A A 1 D D 1 C C 1 B B 1 Nhận xét rằng các cạnh bên của hình chóp đều thì bằng nhau và các mặt bên của nó là những tam giác cân bằng nhau. Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bất kì gọi là trung đoạn của hình chóp đều. Định nghĩa 5: Một hình chóp cụt đợc cắt ra từ một hình chóp đều đợc gọi là hình chóp cụt đều. Khi đó: Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng. Đờng nối tâm OO 1 của hai đáy gọi là đờng cao của hình chóp cụt đều. Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và bằng nhau. Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đáy thuộc một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp cụt đều. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phơng pháp áp dụng 1. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta đi chứng minh mặt phẳng này chứa một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. 2. Để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ngoài những cách đã biết, ta còn có thêm hai cách sau: Cách 1: Sử dụng kết quả của định lí 1. Cách 2: Sử dụng kết quả của định lí 3. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi có cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). b. Tam giác SBD là tam giác vuông. Giải a. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD, ta có: BD AC. (1) Vì SAC cân tại S nên: SO AC. (2) 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 6 A 5 H M S A 1 B 1 C 1 D 1 F 1 E 1 O 1 M 1 O A F E D C B M DC B A O S Từ (1) và (2), suy ra AC (SBD) (ABCD) (SBD). b. Từ giả thiết, ta có: SAC = BAC = DAC SO = OB = OD SO = 2 1 BD. Trong SBD trung tuyến SO thoả mãn SO = 2 1 BD nên nó là tam giác vuông tại S. Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (DBC). Vẽ các đờng cao BE, DF của BCD và đờng cao DK của ACD. a. Chứng minh rằng AB (BCD). b. Chứng minh rằng (ABE) (ADC) và (DFK) (ADC). c. Gọi O và H lần lợt là trực tâm của BCD và ACD. Chứng minh rằng OH (ACD). Giải a. Ta có: (ABC) (ABD) AB (ABC) (BCD) v (ABD) (BCD)à = AB (BCD). b. Ta có: CD BE CD AB (ABE) CD (ACD) (ABE) (ADC). Ta có: DF BC DF AB DF (ABC) DF AC. (1) Mặt khác, ta lại có DK AC. (2) Từ (1) và (2) suy ra: (DFK) AC (ACD) (DFK) (ADC). c. Từ kết quả trong b) là: (ABE) CD AE CD AE DK = H. Ta có: (ABE) (DFK) OH (ABD) (ACD) v (DFK) (ACD)à = OH (ACD). Ví dụ 3: (Bài 25/tr 112 Sgk): Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến . Lấy A, B cùng thuộc và lấy C (P), D (Q) sao cho AC AB, BD AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng () đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a. 5 A D C B F E K O H Giải Để xác định thiết diện, ta thực hiện: Trong (ACD) kẻ AK CD. Trong (BCD) kẻ HK CD. Suy ra, thiết diện là AHK. Ta có: ABBD ACBD BD (ABC) BD AH AH (BCD) AH HK AHK vuông tại H do đó: S AHK = 2 1 AH.HK. (1) Ta có AH = 2 2a . (2) Vì hai tam giác CKH và CBD đồng dạng nên: CB CK DB HK = HK = CB CK.DB = 6 6a . (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: S AHK = 2 1 . 2 2a . 6 6a = 12 3a 2 . Ví dụ 4: Cho ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a. Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD. b. Tính AB và IJ theo a và x. c. Xác định x sao cho (ABC) (ABD). Giải a. Xét ACD và BCD, ta có: CD chung AC = AD = BC = BD suy ra: AJ = BJ JAB cân tại J IJ AB. Xét CAB và DAB, ta có: AB chung AC = AD = BC = BD 6 D C B I A J C B D A H K suy ra: DI = CI ICD cân tại I IJ CD. b. Trong AJC vuông tại J, ta có: AJ 2 = AC 2 CJ 2 = a 2 x 2 AJ = 2 2 a x . Nhận xét rằng: (ACD) (BCD) (ACD) (BCD) CD AJ CD = AJ (BCD) AJ BJ. Trong AJB vuông cân tại J, ta có: AB = AJ 2 = 2 2 2(a x ) và IJ = AB 2 = 2 2 2(a x ) 2 . c. Nhận xét rằng: (ABC) (ABD) AB DI AB = do đó, để (ABC) (ABD) điều kiện là: DI (ABC) DI CI ICD vuông tại đỉnh I IJ = 1 2 CD 2 2 2(a x ) 2 = 1 2 .2x a = x 3 . Vậy, với a = x 3 thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau. Vấn đề 2: góc giữa hai mặt phẳng Phơng pháp áp dụng Để tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: ( Sử dụng định nghĩa ): Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chọn điểm O, từ đó hạ OE, OF theo thứ tự vuông góc với (P) và (Q). Bớc 2: Tính số đo của góc EÔF. Bớc 3: Khi đó: ((P), (Q)) = EÔF, nếu EÔF 90 0 . ((P), (Q)) = 180 0 EÔF, nếu EÔF > 90 0 . Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Tìm giao tuyến d của (P) và (Q). Bớc 2: Chọn điểm O trên d, từ đó: Trong (P) dựng Ox d. Trong (Q) dựng Oy d. 7 Q P E F O d O x y P Q Bớc 3: Tính số đo của góc xOy. Bớc 4: Khi đó: ((P), (Q)) = xÔy, nếu xÔy 90 0 . ((P), (Q)) = 180 0 xÔy, nếu xÔy > 90 0 . Ví dụ 1: (Bài 4/tr 120 Sgk): Cho ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng (P). Gọi , là góc hợp bởi hai đờng thẳng AB, AC với (P). Gọi là góc hợp bởi (ABC) với (P). Chứng minh rằng: sin 2 = sin 2 + sin 2 . Giải Kẻ AH vuông góc với mặt phẳng (P), ta đợc: ã ã ABH , ACH .= = Kẻ HI vuông góc với mặt phẳng BC, suy ra: BC AI, theo định lí ba đờng vuông góc ã AIH .= Trong ABC vuông tại A, ta có: 2 2 2 1 1 1 IA AB AC = + 2 2 2 2 2 2 AH AH AH IA AB AC = + sin 2 = sin 2 + sin 2 . Nhận xét: Nh vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách 2 để xác định góc giữa hai mặt phẳng đồng thời ôn lại kiến thức về góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng. Ví dụ tiếp theo sẽ có tính lựa chọn phong phú hơn. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đờng tròn đờng kính AB = 2a, SA a 3= và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: (Dựng góc dựa trên giao tuyến): Giả sử: AD BC = E (SAD) (SBC) = SE. Nhận xét rằng: AD BD, vì ABCD là nửa lục giác đều SA BD, giả thiết suy ra: BD (SAD) BD SE Hạ DF SE tại F, suy ra: 8 A B C H I A B C D F S E O (BDF) SE Nh vậy, ta đợc một góc phẳng giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là ã BFD . Vì ABE đều nên AE = AB = 2a và vì CDE đều nên DE = CD = a. Trong SAE vuông tại S, ta có: SE 2 = SA 2 + AE 2 = ( ) 2 a 3 + (2a) 2 = 7a 2 SE = a 7 . Hai tam giác vuông SAE và DFE có chung góc Ê nên chúng đồng dạng, suy ra: DF DE SA SE = DF = SA.DE SE = a 3.a a 7 = a 21 7 . Trong ABD vuông tại A, ta có: BD = AB.sinBÂD = 2a.cos60 0 = a 3 . Trong BDF vuông tại D, ta có: tan ã BFD = BD a 3 DE a 21 7 = = 7 ã BFD nhọn. Vậy, ta đợc tan((SAD), (SBC)) = 7 . Cách 2: Nhận xét rằng: AD BD, vì ABCD là nửa lục giác đều SA BD, giả thiết suy ra BD (SAD). (1) Trong (SAC) hạ AJ SC tại J, ta có: BC AC, vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp BC SA, giả thiết suy ra: BC (SAC) BC AJ AJ (SBC). (2) Trong (SAC) hạ OK SC tại K, suy ra OK // AJ. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra ((SAD), (SBC)) = (BD, AJ) = (BD, OK) = KÔB. Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có: OC = 2 a 3 . 3 2 = a 3 3 , OB = a 3 1 a 3 . 2 3 2 + = 2a 3 3 . Trong SAC vuông tại S, ta có: SC 2 = SA 2 + AC 2 = SA 2 + (AB 2 BC 2 ) = ( ) 2 a 3 + (4a 2 a 2 ) = 6a 2 SC = a 6 . Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra: 9 A B C D S J O K OK OC SA SC = OK = SA.OC SC = a 3 a 3. 3 a 6 = a 6 6 . Trong KOB vuông tại K, ta có: cosKÔB = a 6 OK 6 OB 2a 3 3 = = 2 4 . Vậy, ta đợc cos((SAD), (SBC)) = 2 4 . b. Trong (SAC) hạ AJ SC tại J, ta có: BC AC, vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp BC SA, giả thiết suy ra: BC (SAC) BC AJ AJ (SBC). (4) Hạ AH CD tại H, suy ra: CD AH CD SA CD (SAH) (SCD) (SAH) và (SCD) (SAH) = SH. Hạ AI SH tại I, suy ra AI (SCD). (5) Từ (4) và (5) suy ra ((SCD), (SBC)) = IÂJ. Trong SAH vuông tại A, ta có AH = a 3 2 và: 2 2 2 1 1 1 AI SA AH = + = 2 2 1 1 (a 3) (a 3 / 2) + = 2 5 3a AI = a 15 5 . Trong SAC vuông tại A, ta có: AC = SA = a 3 AJ = 1 2 SC = SA 2 2 = a 6 2 . Trong AIJ vuông tại I, ta có: cosIÂJ = a 15 AI 5 AJ a 6 2 = = 10 5 . Vậy, ta đợc cos((SCD), (SBC)) = 10 5 . 10 A B C D S H I J . hệ 0936 546 689 1 chủ đề 4 hai mặt phẳng vuông góc A. Tóm tắt lí thuyết 1. góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đ-. trên mặt phẳng (P') thì S' = S.cos, trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P'). 2. hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng