toàn bộ toán 12 chương 1

toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1toàn bộ toán 12 chương 1

Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = − x + x + d) y = x − x + x − b) y = x2 +x− 4 c) y = x − x + e) y = (4 − x )( x − 1)2 f) y = x − 3x + x − g) y = x − 2x2 − h) y = − x − x + i) y = x + x −2 10 10 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá k) y = 2x −1 x+5 l) y = x −1 2− x m) y = − x + x + 26 o) y = − x + − 1− x x+2 Xét chiều biến thiên hàm số sau: n) y = a) y = −6 x + 8x − 3x − d) y = 2x −1 x e) y = x2 − b) y = c) y = x2 − x x − 3x + g) y = x − − − x p) y =     x   l) y = sin x − x  2 x − 15x + 3x x2 − x + x2 + x + f) y = x + + 2 − x h) y = x − x k) y = sin x  − 1− x i) y = x − x    −  x    2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y = f ( x , m) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D • Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' = ax + bx + c thì:  a = b =  c  • y '  0, x  R     a      a = b =  c  • y '  0, x  R     a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : • Nếu  < g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • Nếu  = g(x) ln dấu với a (trừ x = − 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0:    • x1  x2    P   S     •  x1  x2   P   S  • x1   x2  P  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: • Tính y • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a     (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1x2 = d (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + 5x + 13 x3 b) y = − 3x + x + c) y = 2x −1 x+2 x2 + 2x − x − 2mx − e) y = 3x − sin(3x + 1) f) y = x +1 x−m Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) d) y = y = sin x − cos x − 2 x Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x − 3mx + (m + 2) x − m mx + x+m Tìm m để hàm số: d) y = e) y = x mx b) y = − − 2x + c) y = x − 2mx − x−m x − 2mx + 3m2 x − 2m f) y = x+m x−m a) y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến khoảng có độ dài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x − (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +) b) y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến khoảng (2; +) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá c) y = mx + (m  2) đồng biến khoảng (1; +) x+m d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +) x−m e) y = x − 2mx + 3m2 đồng biến khoảng (1; +) x − 2m f) y = −2 x − 3x + m nghịch biến khoảng 2x +    − ; +    VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Giải phương trình sau: x + x −5 = a) c) x + x − + x + + x + 16 = 14 Giải phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = c) 3x + x = 5x Giải bất phương trình sau: b) x + x3 − − 3x + = d) x + 15 = x − + x + b) ln( x − 4) = − x d) x + 3x + 5x = 38 a) x + + 5x − + 7x − + 13x −  b) x + x + x + + x + x  35 Giải hệ phương trình sau: 2 x + = y + y + y  a) 2 y + = z3 + z2 + z 2 z + = x + x + x   x = y3 + y + y −  b)  y = z3 + z2 + z − z = x3 + x + x −  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá  y3 = x − 12 x +  c)  z3 = y − 12 y +  x = z2 − 12 z +  sin x − sin y = x − 3y   e)  x + y =   x , y  tan x − tan y = y − x  5 d) 2 x + 3y =     −  x , y   2 sin x − y = sin y − x f) 2 x + 3y =   0  x, y    cot x − cot y = x − y  g) 5 x + y = 2 0  x , y   h) HD: a, b) Xét hàm số f (t) = t3 + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t − 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f (x) • Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 3x − x b) y = x − x + x − c) y = − x + x − 15x x4 − x2 + − x + 3x + g) y = x+2 Tìm cực trị hàm số sau: d) y = a) y = ( x − 2)3 ( x + 1)4 e) y = x − x + 3x + x + h) y = x +1 b) y = d) y = x x − 4x2 + 2x −1 2x2 + x − e) y = x − x + x4 + x2 + 2 x − x − 15 i) y = x −3 f) y = − c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x − x Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x + a) y = x + b) y = d) y = x − 5x + + ln x e) y = x − 4sin2 x c) y = e x + 4e− x f) y = x − ln(1 + x ) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax + bx + c P( x ) = (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai Q( x ) a' x + b' b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) = y( x0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) • Hàm số y = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 x + m(m2 − 1) x − m4 + c) y = x−m Tìm m để hàm số: b) y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1)x + x + mx − m + d) y = x − m +1 a) y = (m + 2) x + 3x + mx − có cực đại, cực tiểu b) y = x − 3(m − 1) x + (2m2 − 3m + 2) x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x − 3mx + (m2 − 1) x + đạt cực đại x = d) y = −mx + 2(m − 2) x + m − có cực đại x = x − 2mx + đạt cực tiểu x = x−m x − (m + 1) x − m2 + 4m − f) y = có cực đại, cực tiểu x −1 e) y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá x2 − x + m có giá trị cực đại x −1 Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: g) y = a) y = x − 3x + 3mx + 3m + − x + mx + x −3 Tìm a, b, c, d để hàm số: c) y = b) y = mx + 3mx − (m − 1) x − d) y = x − (m + 1) x − m2 + 4m − x −1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x −1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax + x + b e) y = đạt cực đại x = x2 + Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m − 1) x + (m2 − 4m + 1) x − 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b) y = Tìm m để hàm số : x + mx − m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x − m +1 x − (m + 1) x − m2 + 4m − b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu x −1 đạt giá trị nhỏ a) y = − x + 3x + m c) y = có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M − m = x−4 x + 3x + m − d) y = có yCĐ − yCT  12 x+2 Tìm m để đồ thị hàm số : Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá a) y = − x + mx − có hai điểm cực trị A, B AB2 = 900m2 729 b) y = x − mx + x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m − có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh hai x−m điểm cực trị ln ln nằm phía trục hoành c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1− x − x + 2mx + e) y = có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x −1 d) y = y = 2x x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x−m Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x − y + = x + (2m + 1) x + m2 + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng (d): x +1 x − 3y − = d) y = Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = x − (m + 1) x + 2m − có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x−m phẳng toạ độ 2mx + (4m2 + 1) x + 32m2 + 2m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ hai x + 2m điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ b) y = mx − (m2 + 1) x + 4m2 + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x−m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ x + (2m + 1) x + m2 + d) y = có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (tung) x +1 c) y = VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá c) y = mx + 2(1 − m) x + + m (m  0) e) y = x + 3mx − m3 − 5m2 − d) y = x − m3 x + m2 − f) y = mx − m2 x − 4mx + 4m2 − (m − 2) x − m2 + 2m − (3m + 1) x − m2 + m h) y = x−m x+m x + mx + − m x − 2mx + m + i) y = k) y = x −1 x−m x + (3m − 1) x − 10 x + mx − 2m + l) y = m) y = x − 3x + x2 + 2x + Tìm điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua: g) y = a) (Cm): y = mx − m2 x − 4mx + 4m2 − ; (L) trục hoành b) (Cm): y = x − 3(m + 3) x + 18mx + ; (L): y = x + 14 c) (Cm): y = x − mx + m − m + mx + m + m + ; (L) trục tung (m + 1) x + m2 x + ; (L): x = x+m m2 x + e) (Cm): y = ; (L): y = x d) (Cm): y = VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua • Ta có: M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1) • Biến đổi (1) dạng sau: Am + B = (2a) Am2 + Bm + C = • Số nghiệm (2a) (2b) theo m = Số (Cm) qua M Tìm điểm mặt phẳng cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = 2mx + m + 2m ; k = 2( x + m) b) (Cm): y = − x + mx − m2 ; k = x−m c) (Cm): xy − 2my − 2mx + m2 x − 4m = ; k = Tìm điểm thuộc (L) cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = b) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = c) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = Chứng minh điểm thuộc (L) có k đồ thị họ (Cm) qua: (2b) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá mx − (m2 + m − 1) x + m2 − m + ; (L): x > 1; k = x−m (m + 1) x − m2 b) (Cm): y = ; (L): x > 0; k = x−m a) (Cm): y = c) (Cm): y = x − 2mx + m2 + 1; (L): y = 1; k = d) (Cm): y = x − (m + 1) x − (2m3 − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = TẬP HỢP ĐIỂM Bài tốn: Tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả tính chất  • Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ tìm phương trình tập hợp điểm Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m Có trường hợp xảy ra:  x = f (m ) Trường hợp 1: M  y = g( m ) Khử tham số m x y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = (gọi phương trình quĩ tích) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá  x = a (hằ ng số ) M  y = g(m) Khi điểm M nằm đường thẳng x = a  x = f (m ) Trường hợp 3: M  y = b (hằ ng số ) Khi điểm M nằm đường thẳng y = b 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó giới hạn quĩ tích 4) Kết luận: Tập hợp điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3) Dạng 2: Trong trường hợp ta tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) = Chú ý: Nếu toán hỏi : Điểm M chạy đường ta tìm phương trình F(x, y) = mà khơng cần tìm giới hạn quĩ tích Trường hợp 2: Tìm tập hợp điểm đặc biệt họ đồ thị cho a) (Pm): y = x − (m − 2) x + 2m − Tìm tập hợp đỉnh (Pm) b) (Cm): y = x − 3mx + x − 3m − Tìm tập hợp điểm uốn (Cm) c) (Cm): y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1)x + Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm) d) (Hm): y = (m − 1) x + Tìm tập hợp tâm đối xứng (Hm) mx − x − 3mx + 5m e) (Hm): y = Tìm tập hợp điểm cực đại (Hm) x −2 Cho (C) (C) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y = x + 3x + mx + (C’): y = x + x + b) (C): y = x − mx + (C): y = mx + c) (C): y = x −1 (C): x − y + m = x +1 ( x − 2)2 (C) đường thẳng qua A(0; 3) có hệ số góc m 1− x x2 + 4x + e) (C): y = (C): y = mx + x+2 Cho (C) (C).Tìm tập hợp điểm 1) Tìm m để (C) cắt (C) điểm phân biệt A, B, C (trong xC khơng đổi) 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB d) (C): y = a) (C): y = x − 3x (C): y = mx Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) (C): y = x − 2(m + 1) x + (m2 + 1) x − m2 (C): y = −3mx + m c) (C): y = x − x + x (C): y = mx d) (C): y = ( x + 2)( x − 1)2 (C) đường thẳng qua C(–2; 0) có hệ số góc m Cho (C) Tìm tập hợp điểm từ vẽ hai tiếp tuyến (C) vng góc với a) (C): y = x + x a) Cho (C): y = x2 + x + b) (C): y = x +1 x −2 Tìm tập hợp điểm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến với x −1 (C) b) Cho (C): y = − x + 3x − Tìm tập hợp điểm đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) Đồ thị (C) hàm số y = f ( x) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hoành + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hồnh qua trục hồnh + Đồ thị (C) hợp hai phần Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị (C) hợp hai phần Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình (1): a) (C): y = x − 3x − ; (C): y = x − x − ; x − 3x − = m (1) b) (C): y = x − x − ; (C): y = x − x − ; x − x − = m c) (C): y = (1) x + 5x − 2 x + 5x − 2 x + 5x − =m ; (C): y = ; x +1 x +1 x +1 x2 − x − x2 − x −1 x2 − x − =m d) (C): y = ; (C): y = ; x −2 x −2 x −2 (1) (1) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá 2x − 2x − 2x − =m ; (C): y = ; (1) x −2 x −2 x −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình (1): e) (C): y = 3 a) (C): y = x − x + 12 x − ; (C): y = x − 9x + 12 x − ; x − x + 12 x = m b) (C): y = 2x 2x ; (C): y = ; (m − 2) x − m = x −1 x −1 (1) x2 + x + x2 + x + x2 + 4x + = m (1) c) (C): y = ; (C): y = ; x+2 x +2 x +2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt: a) (C): y = x − x − ; (C): y = x − x − ; x − x − = log2 m ; k = 3 b) (C): y = x − x + x ; (C): y = x − x + x ; x − x + x − + m = ; k = c) (C): y = x + 5x − 2 x + 5x − 2 x + 5x − = m ; k = ; (C): y = ; x +1 x +1 x +1 d) (C): y = x4 x4 x4 − 3x + ; − x + = m − 2m ; k = − 3x + ; (C): y = 2 2 2 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên P( x ) Tìm điểm đồ thị hàm số hữu tỉ y = có toạ độ số nguyên: Q( x ) P( x ) a • Phân tích y = thành dạng y = A( x ) + , với A(x) đa thức, a số nguyên Q( x ) Q( x ) Khi ú x  Q(x) ước số a Từ ta tìm giá trị x nguyên để Q(x) ước y  s ca a Th li cỏc giỏ trị tìm kết luận Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên: x+2 x − 10 x+2 a) y = b) y = c) y = x +1 x+2 x −2 x2 + x + x2 + 2x e) y = x+2 x +1 Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên: d) y = a) y = x + y + 2( x + 1)y + x f) y = x + + x −1 b) y = x + y + 4( x − 1)y + x VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua d  d trung trực đoạn AB • Phương trình đường thẳng  vng góc với d: y = ax = b có dạng: (C) : y = − x + m (d) a • Phương trình hồnh độ giao điểm  (C): B f(x) = − x + m (1) A a I • Tìm điều kiện m để  cắt (C) điểm phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm (1) • Tìm toạ độ trung điểm I AB • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm m  xA, xB  yA, yB  A, B  x = xB Chú ý: • A, B đối xứng qua trục hoành   A  y A = − yB  x = − xB • A, B đối xứng qua trục tung   A  y A = yB (D) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá  x = xB • A, B đối xứng qua đường thẳng y = b   A  y A + yB = 2b  x + x = 2a • A, B đối xứng qua đường thẳng x = a   A B  y A = yB Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x+4 a) (C ) : y = x + x; b) (C ) : y = ; d : x − 2y − = d : x + 2y = x −2 x2 x2 + x − c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d : y = x −1 ; d : y = x −1 x −1 x −1 Cho đồ thị (C) đường thẳng d Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x − 3x + a) (C ) : y = 3x − 5x + 10 x − 2; d : x = −2 b) (C ) : y = ; d:x =2 x −1 x2 + x − 2 x + 5x − c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d:y=2 ; d : y = −1 x −2 x −1 Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d: a) (C ) : y = mx + 3x + x + m2 ; d : Ox VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB • Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − a) + b • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: I B f(x) = k ( x − a) + b (1) A • Tìm điều kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm (1) • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB, ta tìm k  xA, xB  x = − xB Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A  y A = − yB Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I: a) (C ) : y = x − x + x + 2; c) (C ) : y = x − 3x − x + 1;  5 x2 + x + ; I  0;  I (2;4) b) (C ) : y = x −1  2 x+4 ; I  O(0; 0) I  O(0;0) d) (C ) : y = x +1 3x + x − 5x + ; I (1;1) e) (C ) : y = ; I ( −2; −5) 2x −1 x +1 Cho đồ thị (C) điểm I Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua điểm I: e) (C ) : y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá ( x − 1)2 ; I (1;1) x −2 x2 − x + x − x − 5x + c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; I (2;1) ; x −1 2x − Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua điểm: a) (C ) : y = x + 3x + 5x + 1; b) (C ) : y = I (1;2) a) (C ) : y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x + − m2 ; I (2;1) I  O(0;0) b) (C ) : y = x + mx + x + 3; I  O(0;0) x + 2m x + m ; I  O(0;0) x +1 VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách c) (C ) : y = x + mx + x + 4; I  O(0;0) d) (C ) : y = Kiến thức bản: 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: ax0 + by0 + c d(M, ) = a2 + b2 3) Diện tích tam giác ABC: uuur uuur 1 S = AB.AC.sin A = AB2 AC − ( AB.AC ) 2 Cho đồ thị (C) điểm A Tìm điểm M (C) cho AM nhỏ Chứng minh AM nhỏ đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến (C) M a) (C ) : y = x − 1; A  O(0;0) b) (C ) : y = x ; A(3;0) c) (C ) : y = x + 1; A(9;1) Cho đồ thị (C) đường thẳng d Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ a) c) a) c) a) x2 + 4x + b) (C ) : y = (C ) : y = x − 3x + x + 1; d : y = x − ; d : y = −3x − x+2 x +1 ; d : y = −2 x + (C ) : y = x − x ; d : y = 2( x + 1) d) (C ) : y = x −1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước x+2 x2 + x − (C ) : y = ; k =1 b) (C ) : y = ; k =1 x −2 x −1 x2 + x −1 x2 + 2x + d) (C ) : y = (C ) : y = ; k =2 ; k =2 x −1 x +1 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ x+2 2x −1 4x − (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x −2 x +1 x −3 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá x2 + x − x2 − x + x + 3x + e) (H ) : y = f) (H ) : y = x −3 2− x x+2 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai trục toạ độ nhỏ x −1 2x + 4x − a) (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x +1 x −2 x −3 d) (H ) : y = x + x − 11 x2 − x2 + x − e) (H ) : y = f) (H ) : y = x −1 x −2 x −3 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho khoảng cách từ đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ d) (H ) : y = x2 + 2x + x2 − x + b) (H ) : y = ;x 1 x −1 x −1 Cho hypebol (H) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác (H) cho độ dài AB nhỏ x −1 2x + 4x − a) (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x +1 2− x x −3 2 x − 3x + x − 2x + d) (H ) : y = x + + e) (H ) : y = f) (H ) : y = x x −1 1− x Cho (C) đường thẳng d Tìm m để d cắt (C) điểm A, B cho độ dài AB nhỏ x +1 x2 + 6x − ; d : 2x − y + m = a) (H ) : y = b) (H ) : y = ; d:y=k x −1 x +1 a) (H ) : y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá VIII ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Cho hàm số: y = x + ax − 4, a tham số a) Khảo sát vẽ đồ thị với a = b) Tìm giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất: x + ax − = ĐS: b) a < a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x − x + x − b) Từ điểm đường thẳng x = ta kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số? ĐS: b) tiếp tuyến Cho hàm số: y = x − 3x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d cho phương trình: y = m( x + 1) + cắt đồ thị hàm số (1) điểm A cố định Hãy xác định giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với 2 ĐS: b) A(−1; 2); m = −1 + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x − x − b) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt x − x − = log4 m (2) ĐS: b) < m < 16 (1) Cho hàm số: y = x − 5x + a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số điểm phân biệt c) Tìm m cho đồ thị (C) hàm số chắn đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài ĐS: b) −  m  c) m = 4 Cho hàm số: y = x − mx + (1) 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m =  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến qua A  0;  tiếp xúc với (C)  2 c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại 3 ĐS: b) y = ; y = 2 x + c) m  2 3x + (H ) Cho hàm số: y = x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Với giá trị a, đường thẳng y = ax + không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H) ĐS: b) –28 < a  c) y = –28x + 59 x −2 (C ) a) Khảo sát vẽ đồ thị y = x −1 b) Tìm tất điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(0; 0) B(2; 2) ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2) Cho hàm số: y = x − + (C ) x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) b) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) hai điểm mà hai tiếp tuyến với (C) vng góc với 1 1 ĐS: b) M  ;  c) k = −  2 2 x − (m + 1) x + 4m − 4m − Cho hàm số: y = x − (m − 1) a) Khảo sát vẽ đồ thị với m = b) Tìm giá trị m để hàm số xác định đồng biến khoảng (0 ; +) ĐS: b) 2− 3 m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x2 + 2x + x +1 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) Gọi I tâm đối xứng đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A B Chứng minh M trung điểm đoạn AB diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (C) ĐS: b) SIAB = 2 x2 + 2x + = x +1+ (C ) x +1 x +1 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) b) Tìm đồ thị hàm số cho điểm cho tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên   2 2 ; ;− ĐS: b) M1  −1 +  ; M2  −1 −   2   2  Cho hàm số: y = x + (m + 1) x − mx + (Cm ) x−m a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = câu trên) tới hai đường tiệm cận số c) Với giá trị m hàm số cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu Cho hàm số: y = ĐS: b) 2 c) m  − − hay m  −3 + x2 + 4x + x+2 Tìm điểm đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + = a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = b) nhỏ ĐS:  5  5 b) M1  − ;  ; M2  − ; −   2  2 x + mx − với m tham số x −1 a) Xác định m để tam giác tạo hai trục tọa độ đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số có diện tích b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = –3 ĐS: a) m = –6 hay m = Cho hàm số: y = x2 + x + x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Xác định m cho phương trình sau có nghiệm: Cho hàm số: y = a) b) t − (m − 1)t + 3t − (m − 1)t + = ĐS: b) m  − hay m  2 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá Cho hàm số: y = − x + 3mx + 3(1 − m2 ) + m2 − m2 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) c) Tìm k để phương trình − x + x + k − 3k = có nghiệm phân biệt Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) ĐS: b) −1  k  3; k  0; k  2; c) y = x − m2 + m Cho hàm số: y = mx + (m2 − 9) x + 10 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ĐS: b) m  − hay  m  (2m − 1) x − m2 (1) (m tham số) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục tọa độ Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x b) S = + ln c) m  Cho hàm số: y = a) b) c) ĐS: mx + x + m Cho hàm số: y = (1) (m tham số) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương ĐS: b) −  m  Cho hàm số: y = x − 3x + m (1) (m tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = ĐS: a) m > x2 − 2x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = (1) x −2 b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: b) m > a) b) − x + 3x − (1) 2( x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị điểm A, B cho AB = ĐS: b) m = Cho hàm số: y = 1 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá x − x + 3x (1) có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến D (C) điểm uốn chứng minh D tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ ĐS: b)  : y = − x + ; k = −1 Cho hàm số: y = Cho hàm số: y = x − 3mx + x + (1) (với m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + ĐS: b) m = hay m = hay m = –2 ... y2 1 1 + (1 + y ) + + −2 = HD: P = (1 + x ) + + + −2 1 x 1 y x + y 1 x 1 y x + y  1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  (1 − x ) + (1 − y) + ( x + y)  + + 9  1 x 1 y x + y   1 + +  1 ... = 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z + + x +1 y +1 z +1  1  + + HD: P = −    x +1 y +1 z +1 P=  1  + + Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x + 1) + ( y + 1) + (z = 1)   9  x +1 y +1. .. trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b)