TOTAL TOÁN 12 CHƯƠNG 1

Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = − x + x + d) y = x − x + x − b) y = x2 +x− 4 c) y = x − x + e) y = (4 − x )( x − 1)2 f) y = x − 3x + x − g) y = x − 2x2 − h) y = − x − x + i) y = x + x −2 10 10 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá k) y = 2x −1 x+5 l) y = x −1 2− x m) y = − x + x + 26 o) y = − x + − 1− x x+2 Xét chiều biến thiên hàm số sau: n) y = a) y = −6 x + 8x − 3x − d) y = 2x −1 x e) y = x2 − b) y = c) y = x2 − x x − 3x + g) y = x − − − x p) y =     x   l) y = sin x − x  2 x − 15x + 3x x2 − x + x2 + x + f) y = x + + 2 − x h) y = x − x k) y = sin x  − 1− x i) y = x − x    −  x    2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y = f ( x , m) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D • Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' = ax + bx + c thì:  a = b =  c  • y '  0, x  R     a      a = b =  c  • y '  0, x  R     a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : • Nếu  < g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • Nếu  = g(x) ln dấu với a (trừ x = − 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0:    • x1  x2    P   S     •  x1  x2   P   S  • x1   x2  P  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: • Tính y • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a     (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1x2 = d (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + 5x + 13 x3 b) y = − 3x + x + c) y = 2x −1 x+2 x2 + 2x − x − 2mx − e) y = 3x − sin(3x + 1) f) y = x +1 x−m Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) d) y = y = sin x − cos x − 2 x Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x − 3mx + (m + 2) x − m mx + x+m Tìm m để hàm số: d) y = e) y = x mx b) y = − − 2x + c) y = x − 2mx − x−m x − 2mx + 3m2 x − 2m f) y = x+m x−m a) y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến khoảng có độ dài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x − (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +) b) y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến khoảng (2; +) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá c) y = mx + (m  2) đồng biến khoảng (1; +) x+m d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +) x−m e) y = x − 2mx + 3m2 đồng biến khoảng (1; +) x − 2m f) y = −2 x − 3x + m nghịch biến khoảng 2x +    − ; +    VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Giải phương trình sau: x + x −5 = a) c) x + x − + x + + x + 16 = 14 Giải phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = c) 3x + x = 5x Giải bất phương trình sau: b) x + x3 − − 3x + = d) x + 15 = x − + x + b) ln( x − 4) = − x d) x + 3x + 5x = 38 a) x + + 5x − + 7x − + 13x −  b) x + x + x + + x + x  35 Giải hệ phương trình sau: 2 x + = y + y + y  a) 2 y + = z3 + z2 + z 2 z + = x + x + x   x = y3 + y + y −  b)  y = z3 + z2 + z − z = x3 + x + x −  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá  y3 = x − 12 x +  c)  z3 = y − 12 y +  x = z2 − 12 z +  sin x − sin y = x − 3y   e)  x + y =   x , y  tan x − tan y = y − x  5 d) 2 x + 3y =     −  x , y   2 sin x − y = sin y − x f) 2 x + 3y =   0  x, y    cot x − cot y = x − y  g) 5 x + y = 2 0  x , y   h) HD: a, b) Xét hàm số f (t) = t3 + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t − 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f (x) • Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 3x − x b) y = x − x + x − c) y = − x + x − 15x x4 − x2 + − x + 3x + g) y = x+2 Tìm cực trị hàm số sau: d) y = a) y = ( x − 2)3 ( x + 1)4 e) y = x − x + 3x + x + h) y = x +1 b) y = d) y = x x − 4x2 + 2x −1 2x2 + x − e) y = x − x + x4 + x2 + 2 x − x − 15 i) y = x −3 f) y = − c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x − x Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x + a) y = x + b) y = d) y = x − 5x + + ln x e) y = x − 4sin2 x c) y = e x + 4e− x f) y = x − ln(1 + x ) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax + bx + c P( x ) = (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai Q( x ) a' x + b' b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) = y( x0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) • Hàm số y = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 x + m(m2 − 1) x − m4 + c) y = x−m Tìm m để hàm số: b) y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1)x + x + mx − m + d) y = x − m +1 a) y = (m + 2) x + 3x + mx − có cực đại, cực tiểu b) y = x − 3(m − 1) x + (2m2 − 3m + 2) x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x − 3mx + (m2 − 1) x + đạt cực đại x = d) y = −mx + 2(m − 2) x + m − có cực đại x = x − 2mx + đạt cực tiểu x = x−m x − (m + 1) x − m2 + 4m − f) y = có cực đại, cực tiểu x −1 e) y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá x2 − x + m có giá trị cực đại x −1 Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: g) y = a) y = x − 3x + 3mx + 3m + − x + mx + x −3 Tìm a, b, c, d để hàm số: c) y = b) y = mx + 3mx − (m − 1) x − d) y = x − (m + 1) x − m2 + 4m − x −1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x −1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax + x + b e) y = đạt cực đại x = x2 + Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m − 1) x + (m2 − 4m + 1) x − 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b) y = Tìm m để hàm số : x + mx − m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x − m +1 x − (m + 1) x − m2 + 4m − b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu x −1 đạt giá trị nhỏ a) y = − x + 3x + m c) y = có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M − m = x−4 x + 3x + m − d) y = có yCĐ − yCT  12 x+2 Tìm m để đồ thị hàm số : Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá a) y = − x + mx − có hai điểm cực trị A, B AB2 = 900m2 729 b) y = x − mx + x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m − có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh hai x−m điểm cực trị ln ln nằm phía trục hoành c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1− x − x + 2mx + e) y = có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x −1 d) y = y = 2x x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x−m Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x − y + = x + (2m + 1) x + m2 + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng (d): x +1 x − 3y − = d) y = Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = x − (m + 1) x + 2m − có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x−m phẳng toạ độ 2mx + (4m2 + 1) x + 32m2 + 2m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ hai x + 2m điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ b) y = mx − (m2 + 1) x + 4m2 + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x−m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ x + (2m + 1) x + m2 + d) y = có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (tung) x +1 c) y = VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị ... y2 1 1 + (1 + y ) + + −2 = HD: P = (1 + x ) + + + −2 1? ?? x 1? ?? y x + y 1? ?? x 1? ?? y x + y  1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  (1 − x ) + (1 − y) + ( x + y)  + + 9  1? ?? x 1? ?? y x + y   1 + +  1? ??... = 1? ?? Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z + + x +1 y +1 z +1  1  + + HD: P = −    x +1 y +1 z +1? ?? P=  1  + + Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x + 1) + ( y + 1) + (z = 1)   9  x +1 y +1. .. trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b)