Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Xuân Đức 66 THI HSG MễN TON Năm học 2008 2009 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) (5 + 6) 3+ a/ Tính giá trị biểu thức: P = b/ Chứng minh a, b, c số dơng thoả mãn a + c = 2b ta có: 1 + = a+ c a+ b b+ c Câu (1,5 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 x2 x4 + x2 + b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = Câu (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99 a/ Chứng minh P(x) luôn chẵn với x nguyên dơng b/ Chứng minh P(2) bội số 100 c/ Gọi N số nguyên biểu thị số trị P(4) Hỏi chữ số hàng đơn vị N chữ số đợc không ? Tại ? Câu (3 điểm) Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc Hãy tìm Ox, Oy điểm A, B cho chu vi tam giác MAB nhỏ Câu (1 điểm) Cho số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c |a - b| < c Chứng minh phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = luôn vô nghiệm Xuân Đức 66 DAP AN Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu a/ P = ( + )2 ( )2 = ( + )( ) = = 3+ (1/2 điểm) (1/2 điểm) b/ Ta có: a b b c + ab bc VT = (*) Từ a + c = 2b => a = 2b c thay vào (*) ta có a b+ b c a b b c + = = 2b c b bc bc VT = (1/4 điểm) (1/4 điểm) a c bc a+c Thay b = vào (**) ta có 2( a c ) a c = = a + c 2c a c VT = = a+ c VP (Đpcm) Câu a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) Vì (2x + 2)2 => - y2 (**) (1/4 điểm) => y2 mà y (1/4 điểm) (1/4 điểm) Z => y = 0; 1; (1/4 điểm) + Với y = => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) 2x2 + 4x - 16 = => x1 = 4; x2 = -2 + Với y = =>2x2 + 4x - = => x1, x2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = =>2x2 + 4x - 19 = => x1, x2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1) b/ Nhận xét x = M = 0, giá trị giá trị lớn Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử mẫu cho x2 ta đợc: Xuân Đức 66 M= x + +1 x2 x2 + M đạt giá trị lớn (1/2 điểm) x2 Vậy M lớn /3 x = x2 + nhỏ => x2 = => x = 1 Câu Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 x36 + x66) = (x + x11)(x2 x12 + x22)( x6 x36 + x66) (1/4 điểm) 99 a/ Với x chẵn x , x chẵn x lẻ x9, x99 lẻ => x9 + x99 chẵn với x nguyên dơng (1/4 điểm) 11 11 b/ Ta có x = 2048 nên x + x = 2050 (1/4 điểm) Vì x = nên thừa số lại chẵn p bội 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) 99 99 99 c/ Ta có N = P(4) = + = (2 ) + (2 ) = (2 + ) 299 (1/4 điểm) Theo câu b số bị trf có chữ số hàng đơn vị mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khác x A' A M O y B B' Vậy chữ số đơn vị N khác Câu - Dựng A đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B đối xứng với M qua Oy - Nối AB cắt Ox A, cắt Oy B (1 điểm) => AM = AA (A Ox trung trực AM) BM = BB (B Oy trung trực BM) Xuân Đức 66 (1/2 điểm) => P(AMB) = AA + AB + BB nhỏ (vì A, A, B, B thẳng hàng) Câu Tính biệt số = [(a b)2 c2][(a + b)2 c2] (1/2 điểm) Vì a + b > c > < | a b| < c nên (a b)2 < c2 => (a b)2 c2 < (a + b)2 > c2 => (a + b)2 c2 > Do < => Phơng trình vô nghiệm S GIO DC V O TO THNH PH NNG CHNH THC (1/2 điểm) K THI CHN HC SINH GII LP NM HC 2010-2011 Mụn thi: TON Thi gian: 150 phỳt (khụng tớnh thi gian giao ) Bi (2,0 im) a + a a a2 a a + a M= + + a a a a a a Cho biu thc: vi a > 0, a M > a) Chng minh rng N= M b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu thc nhn giỏ tr nguyờn? Bi (2,0 im) y = 0,5x + y = x y = mx a) Cho cỏc hm s bc nht: , v cú th ln lt l cỏc ng thng (d1), (d2) v (m) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m) ct hai ng thng (d1) v (d2) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh dng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng thng MN luụn I(1 ; 2) i qua im c nh Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung 1 Q= + OM ON ca N; t ú, suy giỏ tr nh nht ca biu thc Xuân Đức 66 Bi (2,0 im) 17x + 2y = 2011 xy x 2y = 3xy a) Gii h phng trỡnh: b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: x + y z + z x = (y + 3) Bi (3,0 im) Cho ng trũn (C ) vi tõm O v ng kớnh AB c nh Gi M l im di ng trờn (C ) cho M khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i xng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn ( C ) ti im th hai l E Cỏc ng thng BM v CN ct ti F a) Chng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Chng minh rng tớch AMAN khụng i c) Chng minh rng A l trng tõm ca tam giỏc BNF v ch NF ngn nht Bi (1,0 im) Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca mi hai s nguyờn dng u tiờn -HT H v tờn thớ sinh: Ch ký ca giỏm th 1: 2: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th Xuân Đức 66 S GIO DC V O TO THNH PH NNG Kè THI CHN SINH HC SINH GII LP NM HC 2010-2011 Mụn thi: TON HNG DN CHM MễN TON LP Di õy l s lc biu im ca thi Hc sinh gii lp Cỏc Giỏm kho tho lun thng nht thờm chi tit li gii cng nh thang im ca biu im ó trỡnh by T chm cú th phõn chia nh thang im n 0,25 im cho tng ý ca thi Tuy nhiờn, im tng bi, tng cõu khụng c thay i Ni dung tho lun v ó thng nht chm c ghi vo biờn bn c th vic chm phỳc kho sau ny c thng nht v chớnh xỏc Hc sinh cú li gii khỏc ỳng, chớnh xỏc nhng phi nm chng trỡnh c hc thỡ bi lm ỳng n ý no giỏm kho cho im ý ú Vic lm trũn s im bi kim tra c thc hin theo quy nh ca B Giỏo dc v o to ti Quyt nh s 40/2006/BGD-T BIí M= Cho biu thc: Bi I M -P N a + a a a a a + a + + a a a a a a a) Chng minh rng M > N= b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu thc Do a > 0, a nờn: M vi a > 0, a nhn giỏ tr nguyờn a a ( a 1)(a + a + 1) a + a + = = a a a ( a 1) a v a a a + a (a + 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a + 1) a + a = = = a a a a (1 a) a (1 a) a 1.a a +1 M= +2 (1,25 a ) Do a > 0; a M> 1.b (0,75 < M 0,25 0,25 0,25 ( a 1) > a + > a a +2=4 a 0< N= Ta cú nờn: 2,00 0,25 0,25 0,25 ú N ch cú th nhn c mt giỏ tr nguyờn l Xuân Đức 66 M a =1 a +1+ a N=1 ) Vy, N nguyờn ( a 2) = a a +1 = a = + hay a = (phự hp) a = (2 3) 0,25 0,25 y = 0, 5x + y = x y = mx a) Cho cỏc hm s bc nht: , v cú th ln lt l cỏc ng thng (d 1), (d2) v (m) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m) ct hai ng thng (d1) v (d2) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh dng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, Bi di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng I(1 ; 2) thng MN luụn i qua im c nh Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung ca N; t ú, suy giỏ tr nh nht ca Q= biu thc 1 + OM ON 2,00 iu kin (m) l th hm s bc nht l m0 0,25 Phng trỡnh honh giao im ca (d1) v (m) l: 0,5x + = mx (m 0,5)x = m 0,5 < hay m < 0,5 iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim õm l 2.a (0,75 Phng trỡnh honh giao im ca (d2) v (m) l: ) x = mx (m + 1)x = iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim dng l < m < 0, 5; m Vy iu kin cn tỡm l: m + > hay m > 0,25 2.b t m = xM v n = yN mn v m (*) (1,25 Nờn ng thng qua ba im M, I, N cú dng: y = ax+b ) = am + b = a + b n = b + =1 m n 1 + ; m n 0,25 0,25 (**) 4 1= + ữ = + + = + ữ ữ m n mn m n m n m n Q= 2m + n = mn h thc liờn h gia m v n l Chia hai v cho mn ta c: 0,25 du = xy = ; m n kt hp (**): m = 5, n = 0,25 0,25 Xuân Đức 66 2,5 (tha (*)) Vy giỏ tr nh nht ca Q l 0,25 17x + 2y = 2011 xy x 2y = 3xy a) Gii h phng trỡnh: Bi (1) b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: x + yz + zx = Nu 3.a (1,25 ) Nu Nu xy > xy < xy = thỡ thỡ (y + 3) (2) 2,0 17 1007 x= y + x = 2011 y = 490 (1) = = 490 y = y x x 1007 17 1004 y + x = 2011 y = (1) xy > = = 1031 y x 18 x thỡ (1) x=y=0 (nhn) (0;0) 3.b (0,75 ) (loi) 0,50 0,25 0,25 ; ữ 490 1007 KL: H cú ỳng nghim l v iu kin x 0; y z 0; z x y z x (2) (phự hp) 0,25 0,25 x +2 yz +2 zx = x + yz +z x +3 ( x 1) + ( y z 1) + ( z x 1) = x =1 y z =1 z x = x = y = z = (tha iu kin) 0,25 0,25 Xuân Đức 66 Cho ng trũn (C ) vi tõm O v ng kớnh AB c nh Gi M l im di ng trờn (C ) cho M F khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i xng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn (C ) ti C Bi im th hai l E Cỏc ng thng BM v CN ct ti F a) Chng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Chng minh rng tớch AMAN khụng i N c) Chng minh rng A l trng tõm ca tam giỏc BNF v ch NF ngn nht MN BF M A B O E (C ) BC NF v A l trc tõm ca tam giỏc BNF 0,25 0,25 4.a FA NB (1,00 ) AE NB Li cú Nờn A, E, F thng hng ã ã CAN = MAB 0,25 0,25 , nờn hai tam giỏc ACN v AMB ng dng AN AC 4.b = (0,75 Suy ra: AB AM ) AM ìAN = AB ìAC = 2R Hay khụng i (vi R l bỏn kớnh ng trũn (C )) 4.c BA = BC (1,25 Ta cú nờn A l tõm tam giỏc BNF C l trung im ) NF (3) ã ã CAN = CFM Mt khỏc: dng 3,0 0,25 0,25 0,25 0,25 , nờn hai tam giỏc CNA v CBF ng CN AC = CN ìCF = BC ìAC = 3R BC CF 0,25 NF = CN + CF CN ìCF = 2R p dng bt ng thc Cụ-si, ta cú: khụng i Nờn: NF ngn nht CN =CF C l trung im NF (4) 0,25 0,25 Xuân Đức 66 Bi (3) v (4) cho ta: A l tõm tam giỏc BNF NF ngn nht 0,25 Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca mi hai s nguyờn dng u tiờn t: S = 123456789101112 0,75 S = 100 3467891112 (1) l mt s nguyờn hai ch s tn cựng ca S l 00 (1,00 Mt khỏc, sut quỏ trỡnh nhõn liờn tip cỏc tha s v phi S ) 0,50 100 ca (1), nu ch ý n ch s tn cựng, ta thy cú ch s tn cựng l (vỡ 34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) Vy ba ch s tn cựng ca S l 600 - Ht - 0,25 0,25 Xuân Đức 66 OE => EF v OF ã /D ã EOB = FO (gúc ng v) => Do ú MA // FN, m EB Hay b) ã ENF = 900 0,5 EF => OE // O/F MA => EB ã / ã EAO = FCO 0,5 FN =N = F$ = 90O E T giỏc MENF cú , nờn MENF l hỡnh ch nht Gi I l giao im ca MN v EF; H l giao im ca MN v AD Vỡ MENF l hỡnh ch nht, nờn Mt khỏc, ng trũn (O/): => FDC ng dng ã ã NHC = DFC = 90 HNC O hay MN c) Do MENF l hỡnh ch nht, nờn Trong ng trũn (O) cú: => 0,5 0,5 0,5 (g g) AD ã ã MFE = FEN ã ã ằ FEN = EAB = s EB ã ã MFE = EAB Suy => ã ã ằ IFN = FDC = s FC 0,5 ã ã FDC = HNC Suy => ã = INF ã IFN MEF ng dng ME MF = MD MA MDA 0,5 0,5 0,5 0,5 (g g) , hay ME.MA = MF.MD Lu ý: Nu hc sinh gii theo cỏch khỏc, nu ỳng v phự hp vi kin thc chng trỡnh ó hc thỡ hai Giỏm kho chm thi thng nht vic phõn b im ca cỏch gii ú, cho khụng lm thay i tng im ca bi (hoc ý) ó nờu hng dn ny./ THI HC SINH GII TON Thi gian: 150 phỳt( khụng k thi gian giao ) Cõu1: ( 5) Xuân Đức 66 x x +1 + x+3 + x x +6 x x Cho biểu thức M = a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z Cõu: 2(2) Cho 4a2+b2=5ab vi 2a>b>0 P= Tớnh giỏ tr ca biu thc: Cõu 3(4) ab 4a b 2 3x x + x 2x + A= a Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a + b + c ab + bc + ca b Chng minh rng vi mi s thc a,b,c ta cú Cõu: (4) a Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: x3+y3+z3-3xyz b Gii phng trỡnh : x4+2x3-4x2-5x-6=0 Cõu: (5) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo AC ln hn ng chộo BD Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca B v D xung ng thng AC 1) T giỏc BEDF l hỡnh gỡ vỡ sao? 2) Gi CH v CK ln lt l ng cao ca tam giỏc ACB v tam giỏc ACD.Chng minh rng a Tam giỏc CHK v tam giỏc ABC ng dng b AB.AH+AD.AK=AC2 P N Cõu: 1(5) a) K 0,5 x 0; x 4; x Rỳt gn M = x Bin i ta cú kt qu: = ( = M =5 b) ( ( ( x )( x 3)( x ( )( x x x +1 x )( ) ( )( x + x + x +1 x x )( ) x ) 0,5 0,5 ) x )= x 2) x x +1 x =5 x = x = 16(TM ) Xuân Đức 66 c) M = x +1 x Do M z = nờn x 3+ x x3 0,5 = 1+ x l c ca x3 nhn cỏc giỏ tr: -4;-2;-1;1;2;4 0,5 x {1;4;16;25;49} x x {1;16;25;49} 0,5 Cõu: (2) Phõn tớch c 4a2+b2=5ab thnh (a-b)(4a-b)=0 0,5 a=b hoc 4a=b 0,5 Lp lun ch a=b (nhn) 4a=b (loi) 0,5 Tớnh c 0,5 Cõu: (4) ab a2 P= = = 4a b 3a A= 2x 4x + + x 4x + ( x 2) = + x 2x + ( x 1) a Vit c Lp lun A = x-2= => x= 1,5 0,5 a + b + c ab + bc + ca b bin i 2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca 0,5 a2-2ab+b2+b2-2bc +c2 +c2 -2ca+a2 0,5 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0,5 Lp lun => khng nh 0,5 Cõu: (4) a x3+y3+z3-3xyz = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x2y-3xy2 -3xyz = (x+y)3+z3 3xyz(x+y+z) 0,5 = (x+y+z)(x2+2xy+y2+z2-xz-yz)-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) 0,5 0,5 0,5 Xuân Đức 66 b Gii phng trỡnh : x4+2x3-4x2-5x-6=0 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 0,5 x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 0,5 (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 0,25 (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3) =0 0,25 (x-2)[x2(x+3)+x(x+3)+(x+3)]=0 0,25 B A F E D K C H (x-2)(x+3)(x2+x+1) =0 0,25 Cõu: (5) Ch Tam giỏc ABE = Tam giỏc CDF 0,5 =>BE=DF BE//DF cựng vuụng gúc vi AC 0,25 => BEDF l hỡnh bỡnh hnh 0,25 2.a Ch gúc CBH = gúc CDK 0,5 => tam giỏc CHB ng dng vi Tam giỏc CDK (g,g) 0,25 CH CK = CB CD 0,25 Ch CB//AD,CK vuụng gúc CB=> CK vuụng gúc CB 0,25 Xuân Đức 66 Ch gúc ABC = gúc HCK ( cựng bự vi BAD) 0,25 Ch CH CK = CB CD hay CH CK = CB AB vỡ AB=CD 0,25 Ch tam giỏc CHK ng dng tam giỏc BCA (c-g-c) 0,25 b ch tam giỏc AFD = tam giỏc CEB => AF=CE 0,5 ch tam giỏc AFD ng dng vi tam giỏc AKC 0,25 => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) Ch tam giỏc ABE ng dng vi tam giỏc ACH 0,25 => AB.AH=AE.AC (2) 0,25 Cụng theo v (1) v (2) ta c AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 0,5 0,25 Lu ý: Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a PHềNG GIO DC V O TO HUYN KIM THNH Bi 1: (4,0 im) a) Rỳt gn biu thc A = THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 120 phỳt gm 01 trang x x + x +1 x x +6 x x b) Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = Hóy tớnh giỏ tr biu thc: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Bi 2: (3,0 im) a) Cho hm s : f(x) = (x3 + 12x 31)2012 Tớnh f(a) ti a = 16 + 16 + b) Tỡm s t nhiờn n cho n2 + 17 l s chớnh phng? Bi 3: (4,0 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: Xuân Đức 66 a) b) x + + x = x2 + x + = 2 x + Bi 4: (3,0 im) a) Tỡm x; y tha món: ( ) x y + y x = xy b) Cho a; b; c l cỏc s thuc on [ 1; 2] tha món: a2 + b2 + c2 = hóy chng minh rng: a+b+c Bi 5: (6,0 im) Cho tam giỏc ABC nhn; cỏc ng cao AK; BD; CE ct ti H a) Chng minh: KC AC + CB BA2 = KB CB + BA2 AC b) Gi s: HK = AK Chng minh rng: tanB.tanC = c) Gi s SABC = 120 cm2 v BC = 600 Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE? TRNG THCS THNG V T KHTN HNG DN GII THI HSG HUYN KIM THNH NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn Thi gian: 120 Cõu 1: (4 im) a/ Rỳt gn biu thc A = KX: x 4; x x x + x +1 x x +6 x x Xuân Đức 66 A= ( = ( ( x x )( x 2) ( )( x )= x 3) x +1 x2 ) x + x + x x + + 2x x + = = x x x x ( )( ) ( x x x )( x ) x +1 x b/ Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = Hóy tớnh: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Gi ý: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tng t: + y2 = ; + z2 = Cõu 2: (3 im) a/ Cho hm s : f(x) = (x3 + 12x 31)2012 Tớnh f(a) ti a = 16 + 16 + b/ Tỡm s t nhiờn n cho n2 + 17 l s chớnh phng? Gii a/T a= 16 + 16 + ( )( ) a = 32 + 3 16 16 + 16 + + 16 = 32 12 a Vy f(a) = b/ Gi s: n2 + 17 = k2 (k Ơ ) v k > n nờn a3 + 12a = 32 (k n)(k + n) = 17 Vy vi n = tha yờu cu bi toỏn Cõu 3: (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ x + + x = k n = n=8 k + n = 17 Xuân Đức 66 b/ x2 + x + = 2 x + Gii a/ K: x Bỡnh phng v: x + + x + (1 x)(4 + x) = (1 x)(4 + x) = x = x x = x ( x + 3) = x = (tha món) Vy phng trỡnh cú nghim: x = 0; x = -3 b/ KX: x x + 4x + = 2x + ( ) ( x + x + 1) + x + 2 x + +1 = ( x + 1) + ( x + = 2x + = x = x + = ) nht x = -1 Cõu 4: (3 im) a/ Tỡm x; y tha món: ( ) x y + y x = xy b/ Cho a; b; c l cỏc s thuc on chng minh rng: a + b + c Gii a/ ( vy phng trỡnh cú nghim ) [ 1; 2] tha món: a2 + b2 + c2 = hóy x y + y x = xy x.2 y + y.2 x = xy Xuân Đức 66 Xột VP = x.2 y + y.2 x theo BT cosi: 4+ y y 4+ x4 x y = ;2 x = 2 2 Du = xy khi: Tng t: b2 [ 1; 2] a2 b + 2; c2 Ta cú: a2 + b2 + c2 xy = VT x4 = x = y =8 y = b/ Do a; b; c thuc on Hay: a2 a vy VP nờn a + 0; a nờn (a + 1)(a 2) c+2 a + b + c + theo u bi: a2 + b2 + c2 = nờn: a + b + c Cõu 5: (6 im) Cho tam giỏc ABC nhn; cỏc ng cao AK; BD; CE ct ti H a/ Chng minh: KC AC + CB BA2 = KB CB + BA2 AC a+2 b/ Gi s: HK = AK Chng minh rng: tanB.tanC = c/ Gi s SABC = 120 cm2 v BC = 600 Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE? Gii Xuân Đức 66 a/ S dng nh lý pytago: A AC + CB BA2 AK + KC + ( BK + CK ) AB = CB + BA2 AC ( BK + CK )2 + BA2 ( AK + KC ) = 2CK + BK CK 2CK (CK + BK ) CK = = BK + BK CK BK ( BK + CK ) BK b/ Ta cú: tanB = AK BK Nờn: tanBtanC = Mt khỏc ta cú: Nờn tanB = ; tanC = AK BK CK AK CK B m: tanHKC = ( tan B.tan C ) AK C M BC = 600 nờn KB KB.KC tan B.tan C = KH KH (2) AK = ữ KH tan B.tan C = c/ Ta chng minh c: T (3)(4) ta cú: K KC KH tng t tanC = T (1)(2) Theo gt: HK = H (1) ã Bà = HKC KC KH D E ABC ãABD = 300 v ADE ng dng vy: (3) S ABC AB = ữ S ADE AD AB = 2AD(4) S ABC = S ADE = 30(cm ) S ADE S GIO DC V O TO THANH HểA Đề CHíNH THứC K THI CHN HC SINH GII TNH NM HC 2011 - 2012 MễN: TON Lp thcs Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian phỏt Ngy thi: 23 thỏng nm 2012 Xuân Đức 66 Cõu I (4) Cho biu thc P = 1) Rỳt gn P ổ x- ổ x- 1+ x+ ữ ỗ ữ + :ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗx - x - - ố3 + x - 10 - x ứ ố 3+2 32 x- ữ ữ ữ ữ 1ứ 32 3+2 2) Tớnh giỏ tr ca P x = Cõu II (4) Trong cựng mt h to , cho ng thng d: y = x v parabol (P): y = - x2 Gi A v B l giao im ca d v (P) 1) Tớnh di AB 2) Tỡm m ng thng d: y =- x = m ct (P) ti hai im C v D cho CD = AB Cõu III (4) x2 +x=2 y y + y = x 1) Gii h phng trỡnh 2) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x6 + y2 x3y = 320 Cõu IV (6) Cho tam giỏc nhn ABC cú AB > AC Gi M l trung im ca BC; H l trc tõm; AD, BE, CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC Kớ hiu (C 1) v (C2) ln lt l ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF v DKE, vi K l giao im ca EF v BC Chng minh rng: 1) ME l tip tuyn chung ca (C1) v (C2) 2) KH AM Cõu V (2) Vi x; y; z Tỡm tt c cỏc nghim ca phng trỡnh: x y z + + = + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z S GIO DC V O TO THANH HểA Cõu 1:K 1) < x 10 K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP NM HC 2011-2012 Mụn : TON Ngy thi :18/02/2012 Xuân Đức 66 P= x- 1+ ộ x - + 4ự ỳ :ờ ỳ 10 - x x - x - 1- ỳ ỷ P= 3( x - + 3) x - x - - 10 - x x- 1+ P= x - 1( x - 10)( x - - 2) 3( x - 2) =2(10 - x )( x - 1- 4) 2( x - 5) ( x= b) 3+ 2 3- 2 ) 3- 2 = (3 + 2) 3+ 2 (3 - 2) = + 2 - 3- 2 + - ( - 1) = => x= vỡ x>1 Vy P=0 Cõu II: 1) Honh giao im l nghim phng trỡnh x2+x-2=0 => x=1 hoc x=2 Vy A(1,-1) v B(-2;-4) hoc A(-2;-4) vB(1;-1) 2) (d) ct (P) ti im phõn bit thỡ phng trỡnh x 2-x+m=0 (1) D> m< cú hai nghim phõn bit Ta cú khong cỏch AB =18 CD = AB (x1-x2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x2)2=9 (x1+x2)2-4x1x2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vy C(-1,-3) v D(2;0) hoc D(-1;-3) hoc C(2;0 Cõu III ạ 1,K x 0, y t x=ky ( k 0) x2 +x=2 y y + y = x ỡù (k + k ) y = ùù ùù ( + 1) y = ùợ k (1) Nu k=-1 thỡ h phng trỡnh (1) vụ nghim nờn h phng trỡnh ó cho vụ nghim Nu k -1 ( k + k )k =4 k+1 t (1) => => k=2 hoc k = -2 Xuân Đức 66 ( x, y ) = ( ; ) 3 Nu k=2 => Nu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, T 2x6 + y2 x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 Ê 320 xÊ2 m x nguyờn nờn Nu x=1 hoc x=-1 thỡ y khụng nguyờn (loi) Nu x=2=> y=-2 hoc y=6 Nu x=-2 => y=-6 hoc y=2 Vy phng trỡnh ó cho cú cp nghim (x;y) l(2;-2);(2;6);(-2;6);(-2;2) Eà = Fà = 900 Cõu IV: 1) Ta cú nờn t giỏc AEHF ni tip mt ng trũn tõm chớnh l (C1) l trung im AH ẳ ã EAH = sd EH ã ã EAH = CBE m ã ã MEB = CBE (1) (2) ( cựng ph vi gúc ACD) (3)( ng trung tuyn ng vi cng huyn) ẳ ã MEH = sd EH T (1), (2) v (3) ta cú => ME l tip tuyn ng trũn tõm (C1) A F E N B K C D M C 2, gi giao im AM vi KH l N trc tiờn chng minh im A,E,H,N,F cựng thuc mt ng trũn Xuân Đức 66 ã E = ACB ã ; AN ã E = AFE ã ã AF => ãANE = ACB Ta thy => ngha l C,M,N, F cựng thuc mt ng trũn chng minh A,E,N, B ni tip ã KNM = 900 ú KH AM Cõu V:: vai trũ x,y,z nh nờn 0Ê xÊ yÊ zÊ1 y z + = + z + zy y + z y z 1 => ( )+ ( )= 1+ z y + z + zy y + z y+ z ( y - 1)( y + + z ) z2 - 1 + = (1 + z )( y + z ) (1 + yz )( y + z ) y + z => Nu x= => Ta cú VT m VP < nờn trng hp ny khong co nghim Nu x khỏc m 0Ê xÊ yÊ zÊ1 ( z 1)(1 x ) + zx x + z >0 x + z zx x zx + z 0 x; z ỳng vi mi Du = xy khi: x=z=1 + Ta cú: + zx x + z + y + zx x + y + z x x + y + zx x + y + z + Tng t: y y + z + xy x + y + z z z + x + yz x + y + z VT = y x+ y+ z x z + + =1 + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z + Mt khỏc, vỡ: x; y; z x + y + z (1) Xuân Đức 66 VP = 3 =1 x+ y+ z VT = VP + T (1) v (2) Khớ ú x=y=z=1 Du = xy : x=y=z=1 ch ỳng khi: VT = VP = * Vy phng trinh cú nghim nht: (2) ( x; y; z ) = (1; 1; 1) [...]... z ) (z 2 )( z + 1) 2 = 3(2 x) 1,00 Nhõn cỏc v ca 3 phng trỡnh vi nhau ta c: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) =0 (x + 1) 2 (y + 1) 2 (z + 1) 2 + 6 [ ] (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 x = 2 hoc y = 2 hoc z = 2 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Vi x = 2 hoc y = 2 hoc z = 2 thay vo h ta u cú x = y = z = 2 Vy vi x = y = z = 2 tho món h ó cho Cõu 3 (3 ,0... GII THI HSG HUYN KIM THNH NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn 9 Thi gian: 120 Cõu 1: (4 im) a/ Rỳt gn biu thc A = KX: x 4; x 9 2 x 9 x + 3 2 x +1 x 5 x +6 x 2 3 x Xuân Đức 66 A= ( = ( ( 2 x 9 x 2 )( x 2) ( )( x 3 )= x 3) x +1 x2 ) x + 3 2 x + 1 2 x 9 x + 9 + 2x 3 x 2 + = = x 2 x 3 x 2 x 3 ( )( ) ( x x 2 x 2 )( x 3 ) x +1 x 3 b/ Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = 1 Hóy tớnh: A = x (1 + y 2 )(1 +... B(-2;-4) hoc A(-2;-4) vB(1;-1) 2) (d) ct (P) ti 2 im phõn bit thỡ phng trỡnh x 2-x+m=0 (1 ) D> 0 m< 1 4 cú hai nghim phõn bit 2 Ta cú khong cỏch AB =18 CD = AB (x1-x2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x2)2 =9 (x1+x2)2-4x1x2 =9 1-4m -9= 0=> m=-2(TM) Vy C(-1,-3) v D(2;0) hoc D(-1;-3) hoc C(2;0 Cõu III ạ ạ 1,K x 0, y 0 ạ t x=ky ( k 0) x2 +x=2 y 2 y + y = 1 x 2 ỡù (k 2 + k ) y = 2 ùù ớ 1 ùù ( + 1) y =... (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0 0,5 Lp lun => khng nh 0,5 Cõu: 4 (4 ) a x3+y3+z3-3xyz = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x2y-3xy2 -3xyz = (x+y)3+z3 3xyz(x+y+z) 0,5 = (x+y+z)(x2+2xy+y2+z2-xz-yz)-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) 0,5 0,5 0,5 Xuân Đức 66 b Gii phng trỡnh : x4+2x3-4x2-5x-6=0 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 0,5 x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 0,5 (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 0,25 (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3)... Cõu: 1(5 ) a) K 0,5 x 0; x 4; x 9 Rỳt gn M = 2 x 9 Bin i ta cú kt qu: = ( = M =5 b) ( ( ( x 2 )( x 3 )( x 3 ( )( x x 2 x +1 x 1 )( ) ( )( x + 3 x 3 + 2 x +1 x 2 x 3 )( ) x 2 ) 0,5 0,5 ) x 3 )= x 2) x 2 x +1 x 3 1 =5 x = 4 x = 16(TM ) 1 Xuân Đức 66 c) M = x +1 x 3 Do M z = nờn x 3+ 4 x 3 x3 0,5 = 1+ 4 x 3 l c ca 4 x3 nhn cỏc giỏ tr: -4;-2;-1;1;2;4 0,5 x {1;4;16;25; 49} do x 4 x {1;16;25; 49} 0,5... (4 ,0 im) a) Rỳt gn biu thc A = THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn 9 Thi gian lm bi: 120 phỳt gm 01 trang 2 x 9 x + 3 2 x +1 x 5 x +6 x 2 3 x b) Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = 1 Hóy tớnh giỏ tr biu thc: A = x (1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z (1 + x 2 ) (1 + y 2 ) (1 + z 2 ) Bi 2: (3 ,0 im) a) Cho hm s : f(x) = (x3 + 12x 31)2012 Tớnh f(a)... )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z (1 + x 2 ) (1 + y 2 ) (1 + z 2 ) Gi ý: xy + yz + xz = 1 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tng t: 1 + y2 = ; 1 + z2 = Cõu 2: (3 im) a/ Cho hm s : f(x) = (x3 + 12x 31)2012 Tớnh f(a) ti a = 3 16 8 5 + 3 16 + 8 5 b/ Tỡm s t nhiờn n sao cho n2 + 17 l s chớnh phng? Gii a/T a= 3 16 8 5 + 3 16 + 8 5 ( )( ) a 3... im 0,5 ( x + y )(1 + xy) + ( x y )(1 xy) 1 xy + x + y + 2xy : 1 xy 1 xy 0,5 x +x y+ y+y x + x x y y+y x 1 xy 1 xy 1 + x + y + xy 0,5 = b) ỏp ỏn x 0;y 0;xy 1 KX: Mu thc chung l 1 xy P N V HNG DN CHM THI K THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2013-2014-MễN: TON LP 9 0,5 2( x + y x) 2 x (1 + y) 2 x = = (1 + x )(1 + y) (1 + x )(1 + y) 1 + x 2 2(2 3) = = 3 2 3 + 1 = ( 3 1) 2 43 2+ 3 x = ( 3 1)... hoc y=2 Vy phng trỡnh ó cho cú 4 cp nghim (x;y) l(2;-2) ;(2 ;6) ;(- 2;6) ;(- 2;2) Eà = Fà = 90 0 Cõu IV: 1) Ta cú nờn t giỏc AEHF ni tip mt ng trũn tõm chớnh l (C1) l trung im AH 1 ẳ ã EAH = sd EH 2 ã ã EAH = CBE m ã ã MEB = CBE (1 ) (2 ) ( cựng ph vi gúc ACD) (3 )( do ng trung tuyn ng vi cng huyn) 1 ẳ ã MEH = sd EH 2 T (1 ), (2 ) v (3 ) ta cú => ME l tip tuyn ng trũn tõm (C1) A F E N B K C D M C 2, gi giao im AM... 1+ 9 ộ 1 2 x - 1 + 4ự ỳ :ờ ờ ỳ 10 - x ờ ở x - 1 x - 1- 3 ỳ ỷ P= 3( x - 1 + 3) x - 1 x - 1 - 3 10 - x 2 x- 1+ 4 P= 3 x - 1( x - 10 )( x - 1 - 2) 3( x - 2) = 2(1 0 - x )( x - 1- 4) 2( x - 5) ( x= b) 4 3+ 2 2 3- 2 2 4 ) 3- 2 2 = 4 (3 + 2 2) 2 3+ 2 2 4 (3 - 2 2) 2 = 3 + 2 2 - 3- 2 2 1 + 2 - ( 2 - 1) = 2 => x= vỡ x>1 Vy P=0 Cõu II: 1) Honh giao im l nghim phng trỡnh x2+x-2=0 => x=1 hoc x=2 Vy A(1,-1) v B(-2;-4)