Đang tải... (xem toàn văn)
Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình . 2) Giải hệ phương trình . Câu II ( 1,0 điểm) Rút gọn biểu thức với . Câu III (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Câu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): và parabol (P): 1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 3). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho . Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A) . 1) Chứng minh BE2 = AE.DE. 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp . 1) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH. Câu VI ( 1,0 điểm) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 .Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 0,25 2) 1,0 điểm Từ (1)=> 0,25 x=3 0,25 Thay x=3 vào (2)=> 2y=2 0,25 y=1 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(3;1) 0,25 Câu II (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 =1 0,25 Câu III (1,0đ) Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + 7 )(cm) Vì chu vi của tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là 30–(x + x +7)= 23–2x (cm) 0,25 Theo định lí Py –ta go ta có phương trình 0,25 (1) Giải phương trình (1) được nghiệm x = 5; x = 48 0,25 Đối chiếu với điều kiện có x = 5 (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài một cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là 30 – (5 + 12) = 13cm 0,25 Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vì (d) đi qua điểm A(1; 3) nên thay x = 1 và y = 3 vào hàm số y = 2x – m + 1 ta có 2.(1) – m +1 = 3 0,25 1 – m = 3 0,25 m = 4 0,25 Vậy m = 4 thì (d) đi qua điểm A(1; 3) 0,25 2) 1,0 điểm Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình 0,25 ; Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt 0,25 Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) và , Theo hệ thức Viet ta có .Thay y1,y2 vào có 0,25 m=1(thỏa mãn m OD là đường trung trực của đoạn BC => (1) 0,25 Có CH BD (gt), mà AB BD (vì BD là tiếp tuyến của (O)) 0,25 => CH AB => (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có => tứ giác CHOF nội tiếp 0,25 3)1,0 điểm Có CH BD=> (hai góc ở vị trí so le trong) mà cân tại D => nên CB là tia phân giác của 0,25 do CA CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của (3) 0,25 Trong có HI BD => (4) 0,25 Từ (3) và (4) => mà I là trung điểm của CH 0,25 Câu VI (1,0đ) Với ta có: 0,25 Tương tự có . Từ (1) và (2) 0,25 Vì mà . 0,25 Khi a = b = 1 thì . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 0,25
Câu I (2,0 điểm) x−1 = x+ 1) Giải phương trình 2) x 3− 3 = Giải hệ phương trình 3x + 2y = 11 Câu II ( 1,0 điểm) 1 a +1 P = + ÷: a a a a- a Rút gọn biểu thức với a>0;a ≠ Câu III (1,0 điểm) Một tam giác vng có chu vi 30 cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác vng Câu IV (2,0 điểm) y= x2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y =2x-m+1 parabol (P): 1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3) 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1) (x2; y2) cho x1x2 ( y1+y2 ) + 48 = Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC < BC (C ≠ A) Các tiếp tuyến B C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E ≠ A) 1) Chứng minh BE2 = AE.DE 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp 1) Gọi I giao điểm AD CH Chứng minh I trung điểm CH Câu VI ( 1,0 điểm) 1 + =2 Cho số dương a, b thỏa mãn a b Tìm giá trị lớn biểu thức Q= 2 a + b + 2ab + b + a + 2ba2 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm 2) 1,0 điểm Nội dung x−1 = x + 1⇔ x − 1= 3(x + 1) ⇔ x − 1= 3x + ⇔ − 2x = ⇔ x = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -2 0,25 x − 3 = 0(1) 3x + 2y = 11 (2) x=3 0,25 0,25 0,25 y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y)=(3;1) 1 a+1 P= + : a 2- a 2- a a − a ( = = = Câu III (1,0đ) ( ) 0,25 a− ) a 2- a 0,25 a− 2- a =-1 Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vng lại (x + )(cm) Vì chu vi tam giác 30cm nên độ dài cạnh huyền 30–(x + x +7)= 23–2x (cm) Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm 0,25 a− a × a(2 − a) a+1 ( 0,25 0,25 ) 1+ a a 0,25 0,25 0,25 Từ (1)=> x = 3 Thay x=3 vào (2)=> 3.3+ 2y = 11 2y=2 Câu II (1,0đ) Điểm x2 +(x +7)2 =(23 - 2x)2 0,25 0,25 ⇔ x2 - 53x +240 =0 (1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài cạnh góc vng 5cm, độ dài cạnh góc vng lại 12 cm, độ dài cạnh huyền 30 – (5 + 12) = 13cm 0,25 Vì (d) qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 y = vào hàm số y = 2x – m + ta 0,25 0,25 có 2.(-1) – m +1 = ⇔ -1 – m = ⇔ m = -4 Vậy m = -4 (d) qua điểm A(-1; 3) 2) 1,0 điểm x = 2x − m+ Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x2 − 4x+ 2m− 2= (1) ; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ 6− 2m> ⇔ m< Vì (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm (d) (P) nên x1; x2 nghiệm y =2x1 − m+ y2 =2x2 − m+ phương trình (1) , x +x =4,x1x2=2m-2 Theo hệ thức Vi-et ta có Thay y1,y2 vào x1x2 ( y1+y2 ) + 48 = x x ( 2x1+2x2-2m+2) + 48 = có ⇒ (2m - 2)(10 - 2m) +48 =0 0,25 ⇔ m2 - 6m - =0⇔ m=-1(thỏa mãn m OD đường trung trực đoạn BC => OFC=90 (1) Có CH // BD (gt), mà AB ⊥ BD (vì BD tiếp tuyến (O)) · => CH ⊥ AB => OHC=90 (2) ·OFC+ OHC · =180 => tứ giác CHOF nội tiếp Từ (1) (2) ta có · · Có CH //BD=> HCB=CBD (hai góc vị trí so le trong) mà · · · ΔBCD cân D => CBD = DCB nên CB tia phân giác HCD AI CI ⇒ = AD CD (3) CA ⊥ CB => CA tia phân giác góc ngồi đỉnh C ΔICD AI HI = Trong ΔABD có HI // BD => AD BD (4) CI HI = Từ (3) (4) => CD BD mà CD=BD ⇒ CI=HI ⇒ I trung điểm CH 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VI (1,0đ) 2 2 2 Với a > 0; b > ta có: (a − b) ≥ ⇔ a − 2a b + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2a b 1 ⇔ ≤ (1) a + b + 2ab 2ab( a + b) ⇔ a4 + b2 + 2ab2 ≥ 2a2b + 2ab2 1 ≤ (2) 2 b + a + 2a b 2ab( a + b) Tương tự có Từ (1) (2) ⇒Q≤ ab( a + b) 0,25 1 1 ⇒Q≤ ≤ + = ⇔ a + b = 2ab 2 2(ab) Vì a b mà a + b ≥ ab ⇔ ab ≥ 1 ⇒Q= Vậy giá trị lớn biểu thức Khi a = b = 0,25 0,25 0,25 ... =2x2 − m+ phương trình (1) , x +x =4, x1x2=2m-2 Theo hệ thức Vi-et ta có Thay y1,y2 vào x1x2 ( y1+y2 ) + 48 = x x ( 2x1+2x2-2m+2) + 48 = có ⇒ (2m - 2) (10 - 2m) +48 =0 0,25 ⇔ m2 - 6m - =0⇔ m=-1(thỏa... 2.(-1) – m +1 = ⇔ -1 – m = ⇔ m = -4 Vậy m = -4 (d) qua điểm A(-1; 3) 2) 1,0 điểm x = 2x − m+ Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x2 − 4x+ 2m− 2= (1) ; Để (d) cắt (P)... x2 +(x +7)2 =(23 - 2x)2 0,25 0,25 ⇔ x2 - 53x + 240 =0 (1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài cạnh góc vng 5cm, độ