De thi huyen Trieu Son 2008-2009

đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn thi: Toán Năm học: 2008 - 2009 Câu 1: Cho các số a, b, c thoả mãn: a+b+c = 4 và a, b, c dơng Chứng minh: 4 >+++++ accbba câu 2 : a) Chứng minh rằng: (x 3 - x) 6 với x Z b) Tính giá trị của biểu thức: B = ( a 2006 - a 2007 + a 2008 ) 2009 Biết a = ( 526526 ++ ): 20 CÂU 3: Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời x 2 + 2y = -1; y 2 + 2z = -1; z 2 + 2x = -1 Tính giá trị của biểu thức: P = x 2009 + y 2009 + z 2009 câu 4: a) Biết b > a > 0 và 3a 2 + b 2 = 4ab. Tính ba ba + b) Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì: 0 111 222222222 = + + + + + cbabacacb câu 5 : Tìm nghiệm dơng của phơng trình: ( 1+x - 1 2 x ) 2005 + (1+ x + 1 2 x ) 2005 = 2 2006 câu 6 : Gọi h a , h b , h c là các đơng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC, I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. a) Chứng minh: IA + IB + IC 6r b) Cho biết diện tích tam giác ABC bằng 1 Chứng minh: (a 2 +b 2 +c 2 )(h a 2 + h b 2 + h c 2 ) 36 câu 7: Cho ABC . Một đờng thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D v cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích DP E không lớn hơn 1 4 diện tích ABC . Đờng thẳng DE ở vị trí n o thì diện tích DP E đạt giá trị lớn nhất. câu 8: Cho tam giác ABC. Các đờng cao AH, BK, CI. Chứng minh: a) AKI đồng dạng với ABC b) AI . BK . CH = AB . BC . CA . cosA . cosB . cosC Họ và tên: Nguyễn Nam Anh SBD: 430 1 đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn thi: Toán Năm học: 2008 2009 Câu 1: Câu 2: a) Ta có P = x 3 x = x(x 2 -1) = (x-1)x(x+1) Vì x, x+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên P 2 Nếu x 3 thì P 3 Nếu x chia cho 3 d 1 thì (x-1) 3 suy ra P 3 Nếu x chia cho 3 d 2 thì (x+1) 3 suy ra P 3 Vậy P 3 mà (2,3) = 1 suy ra P 6 b) Ta có a = ( 526526 ++ ): 20 = ( 1515 ++ ): 20 = 1 Từ đó P = (1 2006 -1 2007 +1 2008 ) 2009 = 1 Câu 3: Từ giả thiết ta có : 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + = Cộng từng vế các đẳng thức ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0x y z + + + + + = 1 0 1 0 1 0 x y z + = + = + = x = y = z = -1 P = x 2009 + y 2009 + z 2009 = (-1) 2009 + (-1) 2009 + (-1) 2009 = -3 Vậy : P = -3. Câu 4: a) 3a 2 + b 2 = 4ab nên 3a 2 + b 2 - 4ab = 0 hay 3a(a - b) - b(a- b) = 0 (b - 3a)(b- a) = 0. Từ đó suy ra b - 3a = 0 b = 3a. ( Vì b > a a - b < 0) Vậy ba ba + = 2 1 4 2 3 3 = = + a a aa aa (vì a > 0). b) Từ a+ b+ c = 0 a+ b = - c a 2 + b 2 + 2ab = c 2 a 2 + b 2 - c 2 = - 2ab. 2 Tơng tự: c 2 + a 2 - b 2 = - 2ac và b 2 + c 2 - a 2 = - 2bc. Thay vào vế trái, ta đợc: - 0 22 1 2 1 2 1 = ++ = abc cba bcacab ( abc 0) Câu 5: Vì tìm nghiệm dơng của phơng trình nên ta chỉ xét với x 1 Do (x - 1 2 x )( x + 1 2 x ) = 1 Đặt t = x - 1 2 x > 0 => x + 1 2 x = t 1 > 0 Ta đợc phơng trình ( 1 + t ) 2005 + ( 1+ t 1 ) 2005 = 2 2006 (1) Ta có (1 + t ) 2005 = [( 1 - t ) 2 + 2 t ] 2005 (2 t ) 2005 = 2 2005 . ( t ) 2005 (2) và (1 + t 1 ) 2005 = [(1 - t 1 ) 2 + t 2 ] 2005 ( t 2 ) 2005 = 2 2005 . ( t 1 ) 2005 (3) => (1 + t) 2005 + (1 + t 1 ) 2005 2 2005 . [( t ) 2005 + ( t 1 ) 2005 ] Mặt khác ( t ) 2005 + ( t 1 ) 2005 = [ t( ) 2005 - t( ) 2005 ] 2 + 2 2 (4) nên (1 + t) 2005 + (1 + t 1 ) 2005 2 2006 Vậy phơng trình 1 có nghiệm khi dấu " = " ở (2), (3) và (4) xảy ra => t = 1 x - 1 2 x = 1 1 2 x = x - 1 x = 1 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 Câu 6: Câu 7: Kẻ AH BC , AH cắt DE tại K Đặt AH = h, AK = k 2 )( k khk h kh BC DE S S P ABC PDE = == p dụng bất đẳng thức: ( ) 2 , 0ab a b a b + Dấu = xảy ra khi a b = Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a b = Ta có k + h k = h không đổi mà 0, 0k h k 3 k K H E A B C D P ⇒ tÝch k(h – k) lín nhÊt khi 2 h k h k k= − ⇒ = ABCPDE SS h h P 4 1 4 1 4 2 2 ≤⇒=≤⇒ VËy DP E S lín nhÊt khi 2 h k = hay DE l ®à êng trung b×nh cña ABC ∆ . C©u 8: A K I B H C a) Gäi giao ®iÓm cña AH, BK vµ CI lµ M 4 . duy nhất x = 1 Câu 6: Câu 7: Kẻ AH BC , AH cắt DE tại K Đặt AH = h, AK = k 2 )( k khk h kh BC DE S S P ABC PDE = == p dụng bất đẳng thức: ( ) 2 , 0ab a. +b 2 +c 2 )(h a 2 + h b 2 + h c 2 ) 36 câu 7: Cho ABC . Một đờng thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D v cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm