Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi học sinh giỏi cấp huyện lp Mụn thi: Toỏn
Năm học: 2008 - 2009
Câu 1: Cho số a, b, c thoả mÃn: a+b+c = a, b, c dơng Chøng minh: √a+b+√b +c +√c+a>4
c©u : a) Chøng minh r»ng: (x3 - x) ⋮ 6 víi ∀ x Z b) TÝnh giá trị biểu thức: B = ( a2006- a2007+ a2008)2009 BiÕt a = ( √6+2√5+√6 − 2√5 ): √20
CÂU 3: Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời x2 + 2y = -1; y2 + 2z = -1; z2 + 2x = -1
Tính giá trị biểu thức: P = x2009 + y2009 + z2009
c©u 4: a) BiÕt b > a > vµ 3a2 + b2 = 4ab TÝnh a− b
a+b
b) Chøng minh r»ng nÕu a+b+c = th×:
1 b2+c2− a2+
1 c2+a2−b2+
1
a2+b2 c2=0
câu : Tìm nghiệm dơng phơng trình: ( 1+x - x2
−1 )2005 + (1+ x +
√x2−1 )2005 = 22006
câu : Gọi ha, hb, hc đơng cao ứng với cạnh a, b, c tam giác ABC, I tâm đờng trịn nội tiếp tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
a) Chøng minh: IA + IB + IC ≥ 6r
b) Cho biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng Chøng minh: (a2+b2+c2)(h
a2+ hb2+ hc2) ≥ 36
câu 7: Cho ABC Một đờng thẳng song song với cạnh BC cắt AB D v cắt AC tạià E Chứng minh với điểm P cạnh BC, ta ln có diện tích P ED khơng lớn
h¬n
1
4 diƯn tÝch ABC.
Đờng thẳng DE vị trí n o diện tích P ED đạt giá trị lớn nhất.
câu 8: Cho tam giác ABC Các đờng cao AH, BK, CI Chứng minh: a) Δ AKI đồng dạng với ABC
b) AI BK CH = AB BC CA cosA cosB cosC
Họ tên: Nguyễn Nam Anh SBD: 430
đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyn lp Mụn thi: Toỏn
Năm học: 2008 – 2009 C©u 1:
C©u 2: a) Ta cã P = x3 – x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) Vì x, x+1 số nguyên liªn tiÕp nªn P ⋮2
(2) NÕu x chia cho d th× (x+1) ⋮3 suy P ⋮3 VËy P ⋮3 mµ (2,3) = suy P ⋮6 b) Ta cã a = ( √6+2√5+√6 − 2√5 ): √20
= ( √5+1+√5 − 1 ): √20 = Từ P = (12006-12007+12008)2009 = Câu 3: Từ giả thiết ta có :
2 2
2 2
x y
y z
z x
Cộng vế đẳng thức ta có :
2 2 1 2 1 2 1 0
x x y y z z
x 12 y 12 z 12
1 1 x y z
⇒
x = y = z = -1 ⇒ P = x2009 + y2009 + z2009 = (-1) 2009 + (-1) 2009 + (-1) 2009 = -3
VËy : P = -3
C©u 4: a) 3a2 + b2 = 4ab nªn 3a2+ b2- 4ab = hay 3a(a - b) - b(a- b) =
⇒ (b - 3a)(b- a) =
Từ suy b - 3a = ⇒ b = 3a ( Vì b > a ⇒ a - b < 0) Vậy a− b
a+b =
a− a a+3 a=
−2 a 4 a =−
1
2 (v× a > 0)
b) Tõ a+ b+ c = ⇒ a+ b = - c ⇒ a2+ b2 + 2ab = c2
⇒ a2+ b2 - c2 = - 2ab.
Tơng tự: c2 + a2 - b2 = - 2ac b2 + c2- a2 = - 2bc. Thay vào vế trái, ta đợc:
-
2 ab− 2ac−
1 bc=−
a+b+c
2 abc =0 ( abc 0)
Câu 5: Vì tìm nghiệm dơng phơng trình nên ta chØ xÐt víi x 1 Do (x - √x2
−1 )( x + √x2
−1 )= Đặt t = x - x2
1 > => x + √x2
−1 =
t >
Ta đợc phơng trình ( + t )2005 + ( 1+
t )2005 = 22006 (1)
Ta cã (1 + t )2005 = ( -
√t )2 + 2
√t 2005 (2
√t )2005 = 22005 (
√t )2005 (2) vµ (1 +
t ) 2005 = (1 -
√t )
2 +
√t
2005 (
√t )
2005 = 22005 (
√t )
2005 (3) => (1 + t) 2005 + (1 +
t ) 2005 22005 ( √t )2005 + (
t )
(3)Mặt khác ( t )2005 + (
√t )
2005 = √t
¿
√¿
)2005 - √t
¿
√¿
)2005 2 + (4) nªn (1 + t) 2005 + (1 +
t ) 2005 22006
Vậy phơng trình có nghiệm dÊu " = " ë (2), (3) vµ (4) x¶y => t = x - √x2
−1 = √x2
−1 = x - x = Vậy phơng trình có nghiƯm nhÊt x =
C©u 6: Câu 7:
Kẻ AH BC , AH cắt DE K
Đặt AH = h, AK = k
P=SPDE SABC
=DE
BC⋅
h − k h =
k (h − k) k2
Áp dụng bất đẳng thức: ab a b a b, 0 Dấu “=” xảy a b
Tổng khơng đổi tích lớn a b
Ta có k + h – k = h không đổi mà k0, h k 0
tÝch k(h – k) lín nhÊt h k h k k
⇒ P ≤ h2
4 h2=
1
4⇒ SPDE≤ 4SABC
VËy SP ED lín nhÊt h k
hay DE l đ ờng trung bình ABC C©u 8: A
K I
B H C a) Gọi giao điểm AH, BK CI lµ M
k K
H
E A
B C
D