Định lý Lagrange

Định lý Lagrange (La-Grăng) 1. Tóm tắt lý thuyết: a) Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc khoảng (a;b) để cho: b) Ý nghĩa hình học: Nếu y = f(x) thỏa mãn điều kiện định lí Lagrange thì trên cung AB của đồ thị tồn tại ít nhất một điểm C mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng AB (trong đó A(a;f(a));B(b;f(b);C(c;f(c)) c) Hệ quả: Nếu f(x) thỏa mãn điều kiện định lí Lagrange trên [a;b] và nếu f(a)=f(b) thì phương trình f'(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b) 2. Các áp dụng cơ bản: a) Áp dụng 1: Tìm số c trong định lí Lagrange trên [a;b] + Phương pháp: * Tính f'(x). * Giải phương trình (1). * Chọn nghiệm của (1) thuộc khoảng (a;b), ta được các số c b) Áp dụng 2:Chứng minh bất đẳng thức bằng định lí Lagrange + Phương pháp: * Đối các bất đẳng thức có chứa dạng f(b)-f(a) thì có thể xét hàm số f(x) trên đoạn [a;b], sau đó dựa vào đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức c) Áp dụng 3:Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a;b] 3) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số c trong định lí Lagrange của hàm số Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3: Cho thỏa mãn . Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) Định lý Lagrange (La-Grăng) 1. Tóm tắt lý thuyết: a) Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc khoảng (a;b) để cho: f'(c) = {f(b) - f(a)}/{b - a} b) Ý nghĩa hình học: Nếu y = f(x) thỏa mãn điều kiện định lí Lagrange thì trên cung AB của đồ thị tồn tại ít nhất một điểm C mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng AB (trong đó A(a;f(a));B(b;f(b);C(c;f(c)) c) Hệ quả: Nếu f(x) thỏa mãn điều kiện định lí Lagrange trên [a;b] và nếu f(a)=f(b) thì phương trình f'(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b) 2. Các áp dụng cơ bản: a) Áp dụng 1: Tìm số c trong định lí Lagrange trên [a;b] + Phương pháp: * Tính f'(x). * Giải phương trình f'(x) = {f(b) - f(a)}/{b - a} (1). * Chọn nghiệm của (1) thuộc khoảng (a;b), ta được các số c b) Áp dụng 2:Chứng minh bất đẳng thức bằng định lí Lagrange + Phương pháp: * Đối các bất đẳng thức có chứa dạng f(b)-f(a) thì có thể xét hàm số f(x) trên đoạn [a;b], sau đó dựa vào đẳng thức f(b) - f(a) = f'(c)(b - a),\quad c \in (a;b) để chứng minh bất đẳng thức c) Áp dụng 3:Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a;b] . Định lý Lagrange (La-Grăng) 1. Tóm tắt lý thuyết: a) Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) Định lý Lagrange (La-Grăng) 1. Tóm tắt lý thuyết: a) Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]