đề VDC TOÁN 18 bài TOÁN tỉ lệ THỂ TÍCH 01

Công thức tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch: Cho khối đa diện lồi MNP.M'N'P' có các đỉnh nằm trên 3 cạnh bên của khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.. Khi đó ta có công thức tỉ lệ thể tích gọi

ĐỀ TOÁN VDC SỐ 18 – BÀI TOÁN TỈ LỆ THỂ TÍCH PHẦN 01

(Đề gồm 3 trang – 26 câu –Thời gian 90 phút)

01 Công thức tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch:

Cho khối đa diện lồi MNP.M'N'P' có các đỉnh nằm trên 3 cạnh bên của khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Khi đó

ta có công thức tỉ lệ thể tích (gọi tắt là CT lăng trụ lệch) như sau: ' ' '

02 Công thức tỉ lệ thể tích khối hình hộp: Dành cho sự đồng phẳng của MNPQ và M'N'P'Q'

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', một mặt phẳng (α) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M, N, P, Q và một mặt phẳng (β) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M' , N' , P' , Q' Khi đó tất nhiên là đã biết kết quả các tứ giác MNPQ và M'N'P'Q' là những hình bình hành và có các công thức:

03 Công thức tỉ lệ thể tích khối hình hộp: Dành cho sự không đồng phẳng của MNPQ

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V, có 4 điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AA' , BB' , CC' , DD' Hãy tính theo V thể tích khối đa diện lồi ABCD.MNPQ

M

N

P

P' N'

A

B

C

C' A'

AA CC  BB DD  cạnh MP sẽ gồ lên trong khối đa diện ABCDMNPQ, khi đó ta

sẽ tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh MP là: BACNMP và DACQMP

Áp dụng công thức tỉ lệ lăng trụ: .

' ' '

AA CC  BB DD  cạnh NQ sẽ gồ lên trong khối đa diện ABCDMNPQ, khi đó ta sẽ

tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh MP là: ABDMNQ và CBDPNQ, tương tự ta có:

Suy ra thể tích khối đa diện ABCDMNPQ là: V . V . V . V 2 2

Câu 1 (3) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’ Thể tích khối đa diện ABCMN bằng:

V

1 2

15

V

1 2

1323

V

V  D.

1 2

57

A.45 B.60 C.22 D.37

Câu 9 (4) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M nằm trên AB sao cho AM = MB, N nằm trên CC' sao cho CN = 2NC' , P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho 3A’P = 2PC’ Thể tích khối tứ diện CMNP tương ứng bằng:

Câu 13 (3) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi thể tích tứ diện AA'BD là V1 và thể tích tứ diện ACB'D' là V2 Nhận xét nào dưới đây đúng ?

Câu 21 (3) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M là một điểm nằm trên đoạn CD sao cho thỏa mãn

MC = 2MD, N là điểm nằm trên cạnh A'D' sao cho NA' = 2ND', P là trung điểm của CC' Thể tích tứ diện AMNP bằng:

Câu 24 (4) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AA', BB', CC'

, DD' sao cho: AM = MA', BN = 2NB', CP = 3PC', DQ = xQD', với x là số thực dương Thể tích khối đa diện lồi

ĐÁP ÁN ĐỀ VDC 18

Hướng dẫn giải và đáp án chi tiết:

Câu 1 (3 – A) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’

và CC’ Thể tích khối đa diện ABCMN bằng:

 Trong đó khối đa diện MNP.M’N’P’ có các cạnh MM’ , NN’, PP' nằm trên các cạnh AA’, BB’, CC’

 Áp dụng vào bài này ta có:

Câu 3 (3 – D) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích 108 Gọi M , N , P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AA’, BB’ , CC’ sao cho AM = MA’, NB =2NB’, C’P = 3PC Thể tích khối đa diện ABCMNP bằng:

Câu 5 (3 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích 108 Gọi M là điểm đối xứng với A’ qua A, N

là điểm nằm trên tia đối của tia B’B sao cho 2BN = 3BB’.Thể tích khối đa diện MBC’AN bằng:

V

1 2

15

V

1 2

1323

V

V  D.

1 2

57

 Cách 1: Thuần túy công thức lăng trụ lệch

 Kéo dài MN cắt BB' tại S, suy ra:

3' 21

12

SMA B C

SMA B C ABC A B C

V V

 Kéo dài MN cắt BB' tại S, suy ra: SBAM

 Nối S với C' cắt BC tại P, suy ra: 1 1

V V

 Hình vẽ minh họa:

 Ta đã quá thành thạo với bài toán tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch rồi Như vậy, chỉ cần kéo dài đưa hình tứ diện

cần tính về dạng lăng trụ lệch có các cạnh tựa trên các cạnh của lăng trụ tam giác: ABC.A'B'C'

 Kéo dài AP cắt CC' tại Q, ta có: 2

 Vậy ta chọn đáp án D

Câu 8 (4 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích 180 Gọi M nằm trên AB sao cho AM = 2MB,

N nằm trên CC' sao cho CN = 3NC', P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho 2A’P = 3PC’ Thể tích khối tứ diện AMNP bằng:

 Kéo dài AP cắt CC' tại Q, suy ra: ' ' 2 ' ' ' 1 2 11

Câu 10 (5 – A) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M nằm trên AB' sao cho 2AM = MB',

N nằm trên C'B sao cho C'N = 2NB, P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho A’P = PC’ Thể tích khối tứ diện CMNP tương ứng bằng:

Câu 11 (3 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB’

và CC’.Kéo dài AM cắt A’B’ tại P, kéo dài AN cắt A’C’ tại Q Thể tích khối đa diện MNPQB’C’ bằng:

AMNA B C

AMNA B C ABC A B C

V V

Câu 12 (3 - D) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Biết rằng AC' = 6 và AC' cắt mặt phẳng (A'BD) tại M

và AC' cắt mặt phẳng (CB'D') tại N Giá trị của biểu thức T MN AM NC( 'MN2) bằng:

C

D

M

N

Câu 14 (3 - C) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Biết thể tích khối đa diện ACB'C'D' bằng 36 Giá trị của thể tích V bằng:

a

Độ dài đường chéo AC' bằng:

C

D

M

N

Giải:

 Hình vẽ minh họa:

 Tứ diện AA'BD đều suy ra: AC'( 'A BD) tại điểm M sao cho: AC'3AM

 Gọi các cạnh của tứ diện AA'BD là x, suy ra: 6

a

Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A'BD) bằng:

C

D

M

N

Câu 19 (3 - D) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M và N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AA'

và CC' sao cho: AM = 2MA' và CN = 3NC' Một mặt phẳng qua M và N cắt các cạnh BB' và DD' lần lượt tại P và

Q Thể tích của khối đa diện ABCDMPNQ bằng:

A 2131

3780V B.

1528

P

Q

M

N

Câu 24 (4 - D) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AA', BB',

CC' , DD' sao cho: AM = MA', BN = 2NB', CP = 3PC', DQ = xQD', với x là số thực nằm trong khoảng (0;1) Thể

tích khối đa diện lồi ABCDMNPQ bằng 3

T  (bỏ qua việc xét điều kiện dấu bằng xảy ra vì nó

rất đơn giản và chắc chắn xảy ra) Vậy ta chọn đáp án B

Câu 26 (4 - C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích V Một mặt phẳng đi qua A cắt BB' , CC' lần lượt tại M và N Biết thể tích của khối đa diện ABCMN bằng