SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ VÔ TỈ

SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ VÔ TỈ Một số tính chất của số hữu tỉ và số vô tỉ tưởng như tầm thường, thế nhưng nó đã ẩn chứa nhiều điều thú vị. Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một số bài toán đã sử dụng đến tính hữu tỉ và tính vô tỉ của một số để giải.Trước hết, ta đã biết rằng: Nếu x là số hữu tỉ thì x không phải là số vô tỉ và ngược lại, nếu x là số vô tỉ thì x không phải là số hữu tỉ. Chúng ta cùng nhau nhắc lại một vài tính chất cơ bản. 1) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu có) của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ. Lũy thừa bậc n (n ∈ ¥ ) của một số hữu tỉ là một số hữu tỉ. (Hiển nhiên). 2) Tổng (hiệu) của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 3) Tích của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. ( Bằng phản chứng ta dễ dàng chứng minh các tính chất trên). Bây giờ hãy vận dụng các tính chất đó để giải một số bài toán liên quan. Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng 2 3 2 3 − + Giải:  Phương trình bậc hai cần tìm có dạng : x 2 + px + q = 0 , ( p,q ∈ ¤ ). Theo giả thiết thì: 2 3 2 3 − + = 2 6 5− là nghiệm của phương trình , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 6 5 2 6 5 0a b− + − + = ⇔ ( ) ( ) 5 49 2 20 6 0a b a− + + + − = (1)  Do 6 là số vô tỉ, nên từ (1) ta suy ra : – 5a + b +49 = 2a – 20 = 0 ⇒ a = 10 ⇒ b = 1. Do đó phương trình cần tìm là: x 2 + 10x + 1 = 0  Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 3x y z+ = + (2) Hướng dẫn :  Vì vai trò của y, z là như nhau nên có thể giả sử y z≥ .  Từ PT (2), ta suy ra : 2 3 2x y z yz+ = + + 2 ( ) 4 3( ) 4 12x y z x y z yz⇒ − − + − − = − (*)  Vì 3 là số vô tỉ nên từ (*) ta suy ra : x – y – z = 4yz – 12 = 0. ⇒ y = 3; z = 1 và x = y + z = 4.  Từ đó ta dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên dương (x;y;z) là (4;3;1) và (4;1;3)  Bài 3: Cho a, b, c là những số hữu tỉ thõa mãn 3 3 2 4 0a b c+ + = . (3) Chứng minh rằng : a = b = c = 0. Giải:  Nếu c = 0 thì từ (3), ta có: a + b 3 2 = 0 ⇒ a = b = 0 (vì 3 2 là số vô tỉ ).  Nếu c ≠ 0 thì từ (3), ta có: 3 3 4 2 a b c c = − − = 3 2p q+ (với a p c = − ∈ ¤ ; b q c = − ∈ ¤ ) ⇒ 3 3 2 2 4p q= + ⇒ ( ) 3 3 2 2 2p q p q= + + ⇒ ( ) ( ) 2 3 2 2 0pq p q− + + = ⇒ pq – 2 = p + q 2 = 0 ⇒ q 3 + 2 = 0 ⇒ q = 3 2− là số vô tỉ. Mâu thuẫn, vì q là số vô tỉ.  Vậy : a = b = c = 0  1 Bài 4: Cho a,b là hai số hữu tỉ .Xác định đa thức f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 1 (4) . Biết rằng đa thức này có nghiệm là 2 + 3 . Giải:  Vì x = 2 + 3 là nghiệm của (4), nên ta có phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 3 1 0a b+ + + + + + = ⇔ ( ) ( ) 4 15 3 7 2 27 0a b a b+ + + + + = ⇔ 4 15 7 2 27 0a b a b + + = + + = (vì a, b là hai số hữu tỉ và 3 là số vô tỉ ) ⇔ 3a b = = − .  Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x 3 – 3x 2 – 3x +1  Bài 5: Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 3 2 được dưới dạng p+q r , trong đó p,q,r ∈ ¤ và r >0 . Giải:  Dễ thấy 3 2 là một số vô tỉ, giả sử tồn tại các số p,q,r ∈ ¤ với r >0 và thõa mãn: 3 2 = p+q r .Thế thì p và q không đồng thời bằng 0 và ta có: 2 = (p+q r ) 3 ⇔ 2 – p 3 – 3pq 2 r = q(3p 2 +q 2 r) r (5)  Nếu q(3p 2 +q 2 r) = 0 thì q = 0 ⇒ p = 3 2 . Vô lí, vì p là số hữu tỉ.  Nếu q(3p 2 +q 2 r) ≠ 0 thì từ (5) ⇒ r ( ) 3 2 2 2 2 3 3 p pq r q p q r − − = + ∈ ¤ . ⇒ p+q r ∈ ¤ ⇒ 3 2 ∈ ¤ .Vô lí, vì 3 2 là một số vô tỉ.  Tóm lại, ta có đpcm  Bài 6: Chứng minh rằng: không tồn tại hai số a, b ∈ ¢ sao cho: ( ) 2 2 2008 2009 2a b+ = + Giải:  Giả sử tồn tại hai số a, b ∈ ¢ sao cho: ( ) 2 2 2008 2009 2a b+ = + ⇔ ( ) 2 2 2 2008 2009 2 2a b ab+ − = − ⇔ 2 2 2 2008 2009 2 0a b ab+ − = − = (vì a, b là hai số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ ).  Từ: 2009 – 2ab = 0 ⇒ 2ab = 2009 .Vô lí, vì 2ab là số chẵn mà 2009 là số lẻ.  Vậy không tồn tại hai số a, b ∈ ¢ sao cho: ( ) 2 2 2008 2009 2a b+ = +  Như vậy, không có một kiến thức nào là tầm thường. Chúng ta phải luôn tìm tòi, nguyên cứu, luôn phát huy tính sáng tạo để đáp ứng tốt cho việc dạy và học hiện nay. Sau đây là một số bài tập kiểm tra. 1) Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng: 2 5 14 6 5− + . 2) Tìm hai số hữu tỉ a, b. Biết rằng phương trình : x 4 +ax 3 +bx 2 + 6x +2 = 0 có nghiệm là 1 3+ . 3) Tìm đa thức với hệ số hữu tỉ, khác đa thức 0 và có bậc nhỏ nhất mà nhận 3 2 3x = + là nghiệm. 4) Cho a và b là các số hữu tỉ, c và d là các số hữu tỉ dương, không phải là bình phương của các số hữu tỉ nào khác.Chứng minh rằng nếu : a + c = b + d thì a=b và c=d . ĐỖ QUANG MINH GV Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc – An Xuân – Tuy An – Phú Yên 2 . một số hữu tỉ. Lũy thừa bậc n (n ∈ ¥ ) của một số hữu tỉ là một số hữu tỉ. (Hiển nhiên). 2) Tổng (hiệu) của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. . SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ VÔ TỈ Một số tính chất của số hữu tỉ và số vô tỉ tưởng như tầm thường, thế nhưng nó đã ẩn chứa