Chuyênđề tam thức bậc hai I. Phơng trình bậc 2, định lý Viet: 1. Giải và biện luận các phơng trình sau: a. m 2 x 2 m(5m + 1)x 5m - 2 = 0. b. (m - 2)x 2 2(m + 1)x + m = 0. c. 1 x a + ax 1 = 2. 2. Giải các phơng trình sau: a. (1 - 2 )x 2 - 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0. b. 1 1 x + 2 2 x = 3( 6 2 + x - 3 1 x ). c. (a + b) 2 x 2 (a - b)(a 2 b 2 )x 2ab(a 2 + b 2 ) = 0, (a + b 0). d. x 2 2sina.sinb.x + sin 2 a + sin 2 b 1 = 0. 3. CMR các phơng trình sau luôn có nghiệm a, b, c R: a. (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0. b. ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0. 4. Biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau: a. x 3 m(x - 1) - 1 = 0. b. x 3 m(x + 2) + 8 = 0. 5. Giả sử phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 . Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c: A = x 1 2 + x 2 2 . B = x 1 3 + x 2 3 . C = x 1 4 + x 2 4 . D = x 1 6 + x 2 6 . E = x 2 x 1 3 + x 1 x 2 3 . F = | x 1 x 2 |. G = 1 1 x + 2 1 x . H = 2 1 1 x + 2 2 1 x . 6. Tìm m sao cho các phơng trình sau thoả mãn: a. Pt: x 2 mx+m 2 m3 = 0 có nghiệm t/m: x 1 2 + x 2 2 = 4. b. Pt: x 2 (m+2)x+m 2 +1 = 0 có nghiệm t/m: x 1 2 + x 2 2 = 3x 1 x 2 . c. Pt: 3x 2 +4(m-1)x+m 2 4m+1 = 0 có nghiệm t/m: 1 1 x + 2 1 x = 2 1 (x 1 +x 2 ). d. Pt: x 2 +mx+1 = 0 có nghiệm t/m: 2 1 2 2 x x + 2 2 2 1 x x > 7. e. Pt: x 2 (2m+1)x+m 2 +1 = 0 có nghiệm x 1 , x 2 t/m: x 1 = 2x 2 . f. Pt: x 2 3,75x+m 2 = 0 có nghiệm x 1 , x 2 t/m: x 1 = x 2 2 . g. Pt: mx 2 2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x 1 , x 2 t/m: x 1 + 2x 2 = 1. 7. Cho phơng trình: (m 2)x 2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm m để: a. Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau. b. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn. c. Phơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt. d. Phơng trình chỉ có một nghiệm dơng. 8. Cho phơng trình: 2x 2 + (2m - 1)x + m 1 = 0 (1) a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 t/m: 3x 1 4x 2 = 11. b. CMR phơng trình (1) không thể có 2 nghiệm dơng. c. Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m. 1 2 II. Bất phơng trình bậc 2, định lý thuận: 9. Giải các bất phơng trình sau: a. 2x 2 5x + 3 < 0. b. x 2 - 4x 5 0. c. x 2 + 3x 4 0. d. x 3 6x 2 + 5x +12 0. e. 4x 2 - 4x + 1 0. f. x 2 (m + 2)x + m + 1 0. g. xx > + 2 3 13 4 h. xa ax x ax < + 12 22 10. Giải và biện luận các bất phơng trình sau: a. ax 2 + (a + 1)x + 1 >0 b. (m - 1)x 2 2(m + 1)x + m + 3 > 0 c. 4(m + 2)x 2 2(m - 1)x + m - 1 < 0 11. Giải các hệ bất phơng trình sau: a. >+ 054 0352 2 2 xx xx b. + >++ 06 0792 2 2 xx xx c. + )4(4 043 3 2 xx xx d. + 0)473)(1( 09 2 2 xxx x 12. Tìm m để: a. (m 2 + 2m)x 2 + 2(m + 2)x 3 0, x R. b. mx 2 + 4x + m > 0, x R. c. mx 2 - mx 5 < 0, x R. d. 342)12( 52 2 2 + + mxxm xx > 0, x R. 13. Tìm m để các bất phơng trình sau vô nghiệm: a. (m + 1)x 2 - 2mx m + 3 < 0. b. (m + 1)x 2 2(m 1)x +3m - 3 < 0. c. (m + 1)x 2 2(m 1)x +3m - 3 0. 14. Tìm a để hệ phơng trình sau vô nghiệm: a. >++ <++ 01)1( 034 2 2 xaax xx b. +>+ <+ xaxa xx )23(31 087 2 2 15.Cho hệ phơng trình: ++ + 0)1( 0232 22 2 axaax xx a. Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm. b. Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm duy nhất. 16. CMR: a. x 2 + 2xy + 3y 2 +2x + 6y + 3 0 x, y R. b. x 2 y 4 4xy 3 + 2(x 2 + 2)y 2 + 4xy + x 2 0 x, y R. 17. Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0. Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1. 18. Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: (x 2 - y 2 +1) 2 + 4x 2 y 2 x 2 y 2 = 0. Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x 2 + y 2 . III. Định lý đảo: 19. So sánh số 2 với các nghiệm của các phơng trình bậc 2 sau: a. 2x 2 9x 15 = 0. b. x 2 + (m + 3)x + 2m + 1 = 0. c. mx 2 + (m-2)x 3m 4 = 0. 20. Cho phơng trình bậc 2: x 2 2(m + 1)x + 5m 1 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 1 khi m thay đổi. 21. Cho phơng trình bậc 2: x 2 mx + 3m 8 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 4 khi m thay đổi. 22. Cho phơng trình: (3 m)x 2 + 2mx + m + 2 = 0 (1). Tìm m để: a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm < 1. b. Tìm m để (1) có 1 nghiệm (-1; 3) còn nghiệm kia > 3. 23. Tìm a để phơng trình: (a + 1)x 2 8(a + 1)x + 6a = 0 có đúng một nghiệm (0; 1). 24. Tìm m để phơng trình: (m-3)log 2 0,5 (x-4) (2m+1)log 0,5 (x-4) + m + 2 = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 t/m: 4 < x 1 < x 2 < 6. 25.Tìm m để phơng trình: xSinxCox xCosxSin 22 66 + = mtg2x có nghiệm. 26.Tìm m để phơng trình: xSin 2 3 + 3tg 2 x + m(tgx + cotgx) 1 = 0 có nghiệm. 27. Cho phơng trình: x 2 (a + 2)x + 5a + 1 = 0. Tìm a sao cho: a. Phơng trình có một nghiệm lớn hơn 1. b. Phơng trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1. c. Phơng trình có nghiệm (-1; 1). 28. Tìm m để: f(x) = x 2 (m+2)x + m 2 +1 > 0 x > 1. 29. Tìm m để: f(x) = (m-2)x 2 3(m-6)x m - 1 < 0 x (-1; 0). 30. Giải và biện luận các bất phơng trình sau: a. 1 65 2 + x mxx > 1. b. 2x - m 1 x > m 1. c. | x 2 2x m | | x 2 3x m | 31. Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau: a. x 4 5x 2 + 6 m = 0. b. x 4 + mx 3 + x 2 + mx + 1 = 0 c. x 2 = 2(m-1) 1 2 + x - 5m. d. (m-1)Sin 2 x2(m+1)Cosx+2m1= 0. 32.Tìm a để bất phơng trình: xcos 4 + 2(2a + 1) xcos 2 + 4a 2 3 < 0 đúng x. 33.Tìm a để bất phơng trình: Sin3x + mSin2x + 3Sinx 0 đúng x t/m: 0 x 2 . IV. Hệ phơng trình bậc 2: Giải các hệ phơng trình sau: Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai: 42. = = 24 132 2 xyx yx 43. += =+ 9)(3 0143 yxxy yx 44. =+++ =+ 06 232 yxxy yx 45. =+ =+ 052 4 2 yx xxy 46. =+ =+ 023 532 22 yyx yx 47. = =++ 52 7 22 yx yxyx Hệ đối xứng loại 1: 48. =+ =+ 10 4 22 yx yx 49. =+ = 65 18)1)(1( 22 yx yx 50. =+ =++ 5 5 22 yx xyyx 51. =++ =++ 7 5 22 xyyx xyyx 52. =+ =++ 6 5 22 xyyx xyyx 53. =++ =++ 17 5 3333 yxyx xyyx 54. =+++ =+++ 9 11 5 11 22 22 yx yx yx yx 55. =++ =++ 49) 1 1)(( 5) 1 1)(( 22 22 yx yx xy yx Hệ đẳng cấp bậc 2: 56. =++ =++ 222 932 22 22 yxyx yxyx 57. =+ =+ 554 932 22 22 yxyx yxyx 58. =+ =+ 1333 13 22 22 yxyx yxyx 59. = =+ 15395 38453 22 22 yxyx yxyx Hệ đối xứng loại 2: 60. += += xyy yxx 23 23 2 2 61. += += xyxy yxyx 22 22 22 22 62. += += xyy yxx 2 2 3 3 63. −= −= 1 1 2 2 mxy myx 64. += += mxyy myxx 3 3 2 2 C¸c hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c: 65. =++ =−+ =++ 14 7 6 22 zyx zxyzxy zyx 66. =++ =+++ 72)1()1( 18 22 yyxx yyxx 67. =++ =++ =++ 5 2 1 yzzy xzzx xyyx 68. −=++ −=++ −=++ xyzyxz xzzyxy yzzyxx 6)( 3)( 2)( 69. =++ =++ 1 1 222 zyx zxyzxy 70. += += += 1 1 1 2 2 2 xz zy yx Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 71.x 2 + 5 + x = 5 72.x 3 + 1 = 2 3 12 − x 73.x 3 - 3 3 32 x + =2 74.x 3 - 1 = 3 1 + x . (m + 2)x + m + 1 0. g. xx > + 2 3 13 4 h. xa ax x ax < + 12 22 10. Giải và biện luận các bất phơng trình sau: a. ax 2 + (a + 1)x + 1 >0. R. 17. Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0. Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1. 18. Cho x, y liên hệ với nhau