Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: - §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c' Khi ®ã ta cã hƯ hai ìï ax + by = c (1) ï ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: í (I) ïï a ' x + b ' y = c '(2) ỵ - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x0; y0) th× (x0; y0) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I) - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm 2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d) Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d') NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm nhÊt NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm 3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm 4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng + Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn råi thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn Èn) + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai hƯ (ph¬ng tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn cã ®ỵc ë bíc 1) b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương + Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét h¸i ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ gi÷a nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi (hc b»ng nhau) th× ta céng (hc trõ) hai vÕ cđa hƯ Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn kh«ng b»ng còng kh«ng ®èi th× ta chän nh©n víi sè thÝch hỵp ®Ĩ ®a vỊ hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi (hc b»ng nhau) Bµi tËp Lo¹i 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng, ph ¬ng ph¸p thÕ ìï 2x + 3y = - ìï 4x + 3y = ìï 9x + 8y = ï ï ï Bµi a) í b) í c) í ïï 3x - 2y = - ïï 2x + y = ïï 2x - y = ỵ ỵ ỵ ìï x - 6y = 17 ìï 7x + 4y = 74 ìï x - 3y = ï ï ï d) í e) í f) í ïï 5x + y = 23 ïï 3x + 2y = 32 ïï - 2x + 6y = - 12 ỵ ỵ ỵ Bµi Bµi 3: ìï x y ïï + - = a) í ïï 5x - y = 11 ïỵ ìï a b ïï + = - b) í ïï 4a - 5b - 103 = ïỵ ìï x - y = ìï ( - 1)x - y = ïï ï a) í b) ïí ïï x + y = ïï x + ( + 1)y = ïỵ ïỵ ìï (x - (1 + 3)y = ï e) ïí ïï (1 - 3)x + y = ïỵ Bµi 4: ìï x ïï = y c) í ïï x + y - 10 = ïỵ ìï x - 3y = ï c) ïí ïï 2x + y = - ïỵ ìï 5x + y = 2 ï f) ïí ïï x - y = ïỵ ìï 6(x + y ) = + 2x - 3y ï ïï 5(y - x ) = + 3x + 2y ỵ a) í ìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ï ïï (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) ỵ b) í ìï (x - 2)(y + 1) = xy ï ïï (x + 8)(y - 2) = xy ỵ c) í Lo¹i 2: HƯ ph¬ng tr×nh gåm mét ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt, mét ph ¬ng trinh kh«ng ph¶i bËc nhÊt ìï x - y + = ï a) í 2 ìï x - 5y = - ï b) í 2 ïï 2x - xy + 3y - 7x - 12y + = ïỵ ìï x + y - 2x - 2y - 23 = ï c) í ïï x - 3y - = ïỵ ïï x + y - 3xy + x + y = 10 ïỵ ìï 3x + 6xy - x + 3y = ï d) í ïï 4x - 9y = ïỵ Lo¹i 3: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ D¹ng thø nhÊt: ìï 1 ïï =1 ïï x y a) í ïï ïï + = ïỵ x y ìï 1 ïï + = ïx y 24 d) ïí ïï ïï = y ïỵ x ìï ïï =1 ïï x y + 12 g) í ïï =3 ïï + ïỵ x y + 12 ìï 7x + 13y = - 39 ï j) í ïï 5x - 11y = 33 ïỵ ìï x + y = ï n) ïí ïï x - y = 4, ïỵ D¹ng thø hai: ìï 2x y ïï + =2 ïï x + y + a) í ïï x 3y + =- ïï ïỵ x + y + ìï x x ïï =1 ïï y y + 12 d) í ïï x x =2 ïï ïỵ y + 12 y ìï x + y xy ïï + = ï xy x+y g) ïí ïï x - y xy 10 + = ïï x- y ïỵ xy ìï ïï + = ïx y b) ïí ïï 10 =1 ïï y ïỵ x ìï 1 ïï + =2 ïï x - y - e) í ïï =1 ïï ïỵ x - y - ìï ïï + =- ïï 2x + y - h) í ïï 13 = ïï ïỵ 2x + y - ìï 1 ïï + = ïx y c) ïí ïï 10 =1 ïï y ïỵ x ìï ïï + =2 ïï x - y + f) í ïï 29 + = ïï ïỵ x - y + 20 ìï 1 ïï + =2 ïï x - y - i) í ïï =1 ïï ïỵ y - x - ìï x - y = ìï 2x + 3y = 36 ìï 3x + y = ï ï ï k) í l) í m) ïí 2 ïï 3x + 7y = 37 ïï x - 3y = ïï x + y = 18 ïỵ ïỵ ïỵ ìï ïï = ìï x + - y + = ïï x - ï y+ o) ïí p) í ïï x + + y + = ïï + =2 ïỵ ïï y+ ïïỵ x - ìï ïï + =- ïï 2x - 3y 3x + y b) í ïï = 21 ïï ïỵ 3x + y 2x - 3y ïìï =- ïï 2x - y x + y ï e) í ïï 1 =0 ïï ïỵ 2x - y x + y ïìï 2x 3y + =1 ïï y- x- ï h) í ïï 2y 5x =2 ïï ïỵ x - y - ìï ïï = ïx- y+ x + y- c) ïí ïï + =4 ïï ïỵ x - y + x + y - ïìï 5 = ïï x + y - 2x - y + f) ïí ïï + = ïï ïỵ x + y - 2x - y + ìï ïï + =3 ïï x - 2y x + 2y i) í ïï + =- ïï ïỵ x - 2y x + 2y Lo¹i 4: HƯ hai ph¬ng tr×nh hai Èn, ®ã vÕ ph¶i b»ng vµ vÕ tr¸i ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư ìï x + y + xy + = ï a) í 2 ìï (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = ï b) í c) ìï (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = ï í ïï x + y - x - y = 22 ïï xy + y + 3y + = ïï x - 3y = ỵ ỵ ỵ ìï (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = ìï (x + y )2 - 3(x + y ) + = ìï (x - 1)2 - (y + 1)2 = ï ï ï d) í e) í f) í ïï 3x + 32y + = ïï x - y - = ïï x + 3y - = ỵ ỵ ỵ ìï (x + y )2 - 4(x + y ) = 12 ìï (x - y )2 - (x - y ) = ï ï g) í b) í ïï (x - y )2 - 2(x - y ) = ïï 2(x + y ) = 5xy ïỵ ïỵ Lo¹i 5: HƯ ph¬ng tr×nh cã vÕ tr¸i ®¼ng cÊp víi x, y; vÕ ph¶i kh«ng chøa x, y ìï x - 4xy + y = ï a) í ïï y - 3xy = ïỵ ìï 3x + y = ï d) í ïï x - 3y = ïỵ ìï x + 4xy - 2y = ï g) í ïï 2x - xy + 3y = ïỵ ìï x + y = 25 - 2xy ï j) í ïï y (x + y ) = 10 ïỵ ìï x - xy + y = 21 ï b) í ïï y - 2xy + = ïỵ ìï 2x + 3y = 36 ï e) í ïï 3x + 7y = 37 ïỵ ìï x + 3xy = 54 ï h) í ïï xy + 4y = 115 ïỵ ìï (x + y )(x + y ) = ï k) í ïï (x - y )(x - y ) = ïỵ Lo¹i 6: HƯ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i ìï x + y + xy = ï a) í ïï x + y + xy = 13 ỵ ìï xy = x + y + 17 ï d) í ïï x + y = 65 ỵ ìï xy = 10 ï g) í ïï x + y = 29 ỵ ìï x + y + xy = - ï ị) íï 2 ïïỵ x y + y x = - ìï xy (x + 2)(y + 2) = ï m) í ïï x + y + 2(x + y ) = ïỵ ìï x + y + xy = ï o) í ïï x + y = x + y ïỵ ìï x + y + xy = ï q) í ïï x + y + xy = ïỵ ìï x + y = 52 ïï t) ïí 1 ïï + = ïïỵ x y 12 ìï x + y = ï x) í ïï x + y = ïỵ ìï 3x + 5xy - 4y = 38 ï c) í ïï 5x - 9xy - 3y = 15 ïỵ ìï x + 2xy + 3y = ï f) í ïï 2x + 2xy + y = ïỵ ìï 2x - y = ï i) í ïï xy + x = ïỵ ìï (x + y )(x - y ) = 45 ï l) í ïï (x - y )(x + y ) = 85 ïỵ ìï x + xy + y = ìï x + y + x + y = ï ï b) í c) í 2 ïï x + y = ïï x + y + xy = ïỵ ïỵ ìï x + y = ìï x + + y - xy = - 17 ï ï e) í f) í ïï xy - 12 = ïï x + y = 34 ỵ ỵ ìï xy = 15 ìï x + xy + y = ï ï h) í i) í ïï x + y = 34 ïï x + xy + y = ỵ ỵ ìï x + y - x - y = 102 ìï 3(x + y ) = xy ï ï k) íï l) íï 2 ïïỵ xy + x + y = 69 ïïỵ x + y = 160 ìï x + y + 2x (y - 3) + 2y (x - 3) + = ï n) í ïï 2(x + y ) - xy + = ïỵ ìï x (x + 1) + y (y + 1) + xy = 17 ï p) í ïï (x + 1)(y + 1) = ỵ ìï xy + x + y = 11 ìï xy + x + y = ïï ïï r) í 6 s) í x y 10 ïï + + xy = 11 ïï + = ïïỵ x y ïïỵ y x ìï ìï ïï x + = - ïï y + =- ïï ïï x+y 2x - y u) í v) í ïï x ïï x =- =6 ïï ïï ïỵ x + y ïỵ 2x - y ìï x y + y x = 30 ìï x + y = ï ï y) í z) ïí ïï x + y = 133 ïï x x + y y = 35 ïỵ ïỵ Lo¹i 7: HƯ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i ìï 2x = y - 4y + ìï y = 2x + ìï x - 2y = 7x ï ï ï a) í b) í c) í d) ïï 2y = x - 4x + ïï x = 2y + ïï y - 2x = 7y ïỵ ïỵ ïỵ ìï x = - y ìï x - 2y = ìï 2x - 3x + = y ï ï ï e) í f) í g) í ïï y = - x ïï y - 2x = ïï 2y - 3y + = x ïỵ ïỵ ïỵ ìï x = 2y - x ìï x = 13x - 6y ìï y = x - 4x + 3x ï ï ï i) í j) í k) í ïï y = 2x - y ïï y = 13y - 6x ïï x = y - 4y + 3y ïỵ ïỵ ïỵ Lo¹i 8: HƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba ph ¬ng tr×nh ba Èn ìï x + y + z = ïï a) ïí x + 2y + 4z = ïï ïï x + 3y + 9z = 27 ỵ ìï x + y + 2z = ïï d) ïí 2x - 3y + 3z = ïï ïï x - 3y + 4z = ỵ ìï x ïï = y = z g) í - ïï 4x + 3y - 2z = 24 ïïỵ ìï x - y + z ïï = = j) í ïï 4x - y - z = ïïỵ ìï ïï + ïï x ïï n) ïí + ïï y ïï ïï + ïïỵ x =1 y =2 z =5 z ìï x + 3y + z = - ïï q) ïí x - y + 2z = ïï z = 3x ïï ỵ ìï x + y + z = 12 ïï b) ïí 2x - 3y + z = 12 ïï ïï x + y - 2z = ỵ ìï 2x - y + 3z = ïï e) ïí 3x - 2y + 2z = ïï ïï 5x - 4y = ỵ ìï x ïï = y = z h) í ïï 2x - y + 4z = 30 ïïỵ ìï x + y = ïï k) ïí y + z = ïï ïï x + z = ỵ ìï 2x ïï =y ïï + x ïï 2y =z o) ïí ïï + y ïï ïï 2z = x ïï + z ỵ ìï x = + z ïï r) ïí y = + 3z ïï ïï - 3x - 2y + z = - ỵ ìï 2x - 3xy = y - 3x - ï í ïï 2y - 3xy = x - 3y - ïỵ ìï x = 5x + y ï h) í ïï y = 5y + x ïỵ ìï x - 2y = ï l) í ïï y - 2x = ïỵ ìï x + 2y + 3z = ïï c) ïí 3x + y + 2z = ïï ïï 2x + 3y + z = - ỵ ìï 2x + y + 3z = ïï f) ïí - x + 4y - 6z = ïï ïï 5x - y + 3z = - ỵ ìï 4x + 3y - 2z = - ïï i) í x ïï = y = z ïỵ - 10 - ìï x + y = 16 ìï x + y = 25 ïï ïï ï y + z = 28 l) í m) ïí y + z = 30 ïï ïï ïï x + z = 22 ïï x + z = 29 ỵ ỵ ìï 3xy = 2(x + y ) ïï p) ïí 5yz = 6(y + z ) ïï ïï 4xz = 3(z + x ) ỵ Lo¹i 9: HƯ ph¬ng tr×nh hçn hỵp ìï x y - + y x - = xy ï b) ïí ïï (x - 1) y + (y - 1) x = y ïỵ ìï x + y = (3 - x )3 ïï ìï x + z = ïï ïï (2z - y )(y + 2) = + 4y ï y + t = 16 d) í e) ïí ïï ïï x + z = 4x ïï xt + yz ³ 12 ïï ỵ ïïỵ z ³ ìï xy + xz = x + ïï ï g) í xy + yz = y + ïï ïï xz + yz = z + ỵ ìï x + + x + + x + = y - + ï a) ïí ïï x + y + x + y = 80 ïỵ ìï 2 2 ïï x + y = x - y + y - x c) í ïï 3x - 4y = ïỵ ìï x + xy + y = ïï f) ïí y + yz + z = ïï ïï z + zx + x = ỵ y- 3+ y- ... y xy 10 + = ùù x- y ùợ xy ỡù ùù + = ùx y b) ùớ ùù 10 =1 ùù y ùợ x ỡù 1 ùù + =2 ùù x - y - e) ùù =1 ùù ùợ x - y - ỡù ùù + =- ùù 2x + y - h) ùù 13 = ùù ùợ 2x + y - ỡù 1 ùù + = ùx y c) ùớ ùù 10 =1... - 2x - 2y - 23 = ù c) ùù x - 3y - = ùợ ùù x + y - 3xy + x + y = 10 ùợ ỡù 3x + 6xy - x + 3y = ù d) ùù 4x - 9y = ùợ Loại 3: Giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ Dạng thứ nhất: ỡù 1 ùù =1 ùù... ù g) b) ùù (x - y )2 - 2(x - y ) = ùù 2(x + y ) = 5xy ùợ ùợ Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y ỡù x - 4xy + y = ù a) ùù y - 3xy = ùợ ỡù 3x + y = ù d)