Chuyên Đề Thể Tích Và Mặt Cầu

Bài t p HìNH H C 12 Gv: Pham Văn Sơn BàI TậP THể TíCH KHốI ĐA DIệN Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , BD = a ; AC = a 3 ; và đờng cao hình chóp là SO = a 3 . Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho ã MOD = 120 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và M.ABC Bài 2. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết : a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 30 0 c) Cạnh đáy là a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là 45 0 d) Chiều cao là h và góc ở đỉnh của mặt bên là 60 0 Bài 3. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết : a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và cạnh đáy là 45 0 c) Chiều cao là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 30 0 d) Cạnh đáy là a và độ dài đờng cao của mặt bên là a 3 Bài 4. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A cách đều các đỉnh A,B,C .Cạnh bên AA tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích lăng trụ Bài 5. Cho khối hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60 0 .Tính thể tích khối hộp đó. Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = h ; SA (ABC) . Gọi H và I lần lợt là trực tâm ABC và SBC a) Chứng minh IH (SBC) b) Tính thể tích khối chóp HIBC theo a và h Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 0 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính thể tích khối chóp đó . Bài 8. Cho khoái choùp tù giaùc eàu S.ABCD . Mot mat phaúng () i qua A,B va trung iem M cua canh SC . Tính t soá the tích cua hai phaàn khoái choùp bò phaân chia bôi mat phaúng où Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA (ABC) và SA = AB = a ; BC = a 3 . Mặt phẳng (P) qua A , vuông góc SC tại H và cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp SAHK. Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; SA (ABC) ; BC = a ; SA = a 3 ; ã ACB = 60 0 . Gọi M , N lần lợt là hình chiếu của A lên SB ,SC . Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Gọi G là trọng tâm SAC và khoảng cách từ trọng tâm G đến (SCD) là a 3 6 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB = a ; SA (ABCD) ; SC hợp với đáy một góc 30 0 và với mặt bên (SAB) một góc 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 13. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy là a , góc giữa đờng thẳng AB và mặt phẳng (BBCC) bằng 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đó . Bài 14. Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A ;AB = AC = a và AA= a 2 .Gọi M , N lần lợt là trung điểm của AA và BC .Chứng minh MN là đờng vuông góc chung của AA và BCvà tính thể tích khối chóp MABC - 1 - Bài t p HìNH H C 12 Gv: Pham Văn Sơn Bài 15. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên BB = a và chân đờng vuông góc hạ từ B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC . Tính thể tích khối lăng trụ đó Bài 16. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tâm O . Hình chiếu của A trên đáy ABC trùng với O và ã BAA' = 45 0 a) Chứng minh BCCBlà hình chữ nhật b) Tính thể tích khối lăng trụ đó B i 17. Cho lăng trụ đều ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh đáy a. Góc giữa đừơng chéo AC 1 và đáy là 60 o .Tính thể tích khối lăng trụ Bi 18. Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 ,đáy ABC cân đỉnh A. Góc giữa AA 1 và BC 1 là 30 o và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA 1 là 60 o .Tính thể tích lăng trụ Bi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Gọi M , N , P lần lợt là trung điểm của SB , BC , CD . Chứng minh rằng : AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP Bi 20. Cho hình hộp ABCDA 1 B 1 C 1 D ! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , góc A bằng 60 o . Chân đ- ờng vuông góc hạ từ B 1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo của đáy. Biết BB 1 = a a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thê tích của khối hộp Bi 21. Hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 đáy ABC là một tam giác vuông tại A , AC = a , góc C = 60 o .Đờng chéo BC 1 tạo với măt phẳng (A A 1 C 1 C) một góc 30 o . a) Tính độ dài AC 1 b) Tính thể tích khối lăng trụ Bài 22. Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a.Cạnh bên SA = a 5 .Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và vuông góc với mt phng (SCD),(P) lần lợt cát SC,SD tại C 1 và D 1 . a) Tính diện tích của tứ giác ABC 1 D 1 b) Tính thể tích của khối đa diện ABCDD 1 C 1 B i 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và ã BAC = . Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần lợt trên AB, AC sao cho AM = AN = AP. Tính thể tích của khối chóp S.AMPN. Bi 24. Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45 o a) CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền của đáy b) Tính thể tích của khối chóp Bi 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a. (SBC) (ABC) và SA = SB = a. a) CMR tam giác SBC là tam giác vuông b) Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a và x Bi 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . a) CMR : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM) . b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB - 2 - Bài t p HìNH H C 12 Gv: Pham Văn Sơn Bài 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là a 2 . Gọi M là trung điểm SC . Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD , cắt SB ,SD lần lợt tại E và F. Tính thể tích khối chóp SAEMF Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cạnh bên SA = h và SA (ABCD) . M là điểm thay đổi trên cạnh CD , đặt CM = x . Hạ SH BM a) Tính SH theo a , h , và x b) Xác định vị trí của M để thể tích SABH đạt giá trị lớn nhất và tính GTLN đó Bài 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ã ABC = 30 0 . SBC đều cạnh a và (SAB) (ABC) . . Tính thể tích khối chóp S,ABC Bài 30. Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a ; BC = 2a ; AA = 3a . Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AC lần lợt cắt các đoạn thẳng CC, BB tại M và N a) Tính thể tích khối chóp C.AAB b) Chứng minh AN AB c) Tính thể tích khối tứ diện AAMN Bài tập mặt cầu 1. Cho 2 na ng th ng Ax v By vuụng gúc vi nhau v nh n AB = a ( a > 0) l on vuụng gúc chung. Ly im M trờn Ax v im N trờn By sao cho AM = BN = 2a. Xỏc nh tõm I v tớnh theo a bỏn kớnh R ca m t c u ngoi tip t din ABMN. Tớnh kho ng cỏch gia 2 ng th ng AM v BI. 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. a. Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Qua A dựng mp( ) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp( ) và hình chóp . 3. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a. a. CMR AB CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác ABC. 4. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB = 120 o , BSC = 60 o , ASC = 90 o . a. CM tam giác ABC vuông. b. Tính thể tích tứ diện SABC. c. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC. 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 62 . Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. 6. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(ABC), lấy một điểm S khác A. a. CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. b. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong trờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30 o . c. Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S A). d. Lấy S đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo - 3 - Bài t p HìNH H C 12 Gv: Pham Văn Sơn bởi mp đi qua S, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó khi SA = 2a . 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đờng thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC). b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc MIN vuông 8. Cho góc tam diện Sxyz với xSy = 120 o , ySz = 60 o , zSx = 90 o . Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a. a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC). b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a. c. Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)]. 9. Trên mp( ) cho góc xOy. Đoạn SO = a vuông góc với mp( ). Các điểm M, N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có : OM + ON = a. a. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN. b. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất. 10. Cho đờng tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (S và A cố cố định), SA = h cho trớc, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đờng tròn đã cho mà các đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất. 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) mp(ABC) và SA = SB = a. a. CMR tam giác SBC vuông tại S. b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x. 12. Trong mp(P) cho đờng thẳng d và điểm A nằm ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S. Gọi H, K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. a. CMR A, B, C, H, K thuộc một mặt cầu. b. Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3, BAC = 60 o c. Giả sử tam giác ABC vuông tại A. CMR mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn luôn đi qua một đờng tròn cố định khi S thay đổi. 13. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AD = CA = DB = a 2 và CD = 2a. a. CMR AB vuông góc với CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC. 14. Xác định tâm và bán kính đờng tròn nội và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, cạnh a. 15. Cho tứ diện SABC, dáy là tam giác cân ABC, cạnh đáy BC = 2a, góc BAC = 2 ; cạnh bên SA hợp với đáy góc sao cho hình chiếu của S xuống mặt đáy trùng với tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. 16. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đay ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc A (ABCD). Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD. 17. Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn chóp. 18. Cho tam giác ABC cân, góc ở đỉnh BAC = 30 0 , cạnh đáy BC = 4. Một mặt cầu O, bán kín R = 5 chứa đờng trìn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) - 4 - Bài t p HìNH H C 12 Gv: Pham Văn Sơn 19. Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, DB = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC). Kẻ AH và Ak lần lợt vuông góc với DB và DC. HK cắt (ABC) tại E. Chứng minh có một mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến. 20. Cho chóp tam giác đều SABC , đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy 1 góc (0 < <180 0 ) 1. Tính thể tích khối chóp 2. Tính diện tích toàn phần của hình nón đỉnh S, đáy là đờng tròn ngoại tiếp ABC. 3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC. - 5 - . cạnh bên và đáy là 30 0 c) Cạnh đáy là a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là 45 0 d) Chiều cao là h và góc ở đỉnh của mặt bên là 60 0 Bài 3. Tính thể tích hình. của thể tích tứ diện SOMN. b. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu