Đề- Đáp án TS chuyên Toán Vĩnh Phúc 09-10

B' C' A P P' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất diện tích S.. Khi Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đườn

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

2

2

x y

x y xy

xy







 b) Giải và biện luận phương trình: |x3 |p x|  2 | 5 (p là tham số có giá trị thực).

Câu 2 (1,5 điểm)

Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt Chứng minh

b c  c a  a b 

Câu 3 (1,5 điểm) Cho 2 1

A



  và 22 2

2 1

x B





  Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2

3

A B

C  là một số nguyên

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M lần lượt là trung

điểm của BD, AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh:

a) KM // AB

b) QD = QC

Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3

đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh SBD

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho lớp chuyên Toán.

—————————

Câu 1 (3,0 điểm)

a) 1,75 điểm:

Hệ đã cho 2

2[ ( ) ( )] 9 (1)

xy x y x y xy

xy xy





Giải PT(2) ta được:

2 (3) 1 (4) 2

xy xy









0,50

Từ (1)&(3) có:

1 2 3

1

x y

x y

y

 







 





 



 



0,25

Từ (1)&(4) có:

1 1 3

2 2

1

x y

x y

y

 











  



0,25

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y  0,25

b) 1,25 điểm:

Xét 3 trường hợp:

TH1 Nếu 2 x thì PT trở thành: (p1)x2(p1) (1)

TH2 Nếu    3 x 2 thì PT trở thành: (1 p x) 2(1 p) (2)

TH3 Nếu x  3 thì PT trở thành: (p1)x2(p 4) (3)

0,25

Nếu p 1 thì (1) có nghiệm x 2; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn:

2( 4)

1

p

p



Nếu p 1 thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm 0,25

Nếu p 1 thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn    3 x 2; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x 2(p 14)

p







+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x  

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm    3 x 2

1

p

p

 



 thì phương trình có nghiệm x = 2

0,25

Câu 2 (1,5 điểm):

a b a c   b a b c   c a c b   + Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:

2

b c c a a b a b a c b c b a c a c b

0,5

Câu 3 (1,5 điểm):

x



3 | 2 1| | 1|

x C

Nếu x 1 Khi đó 2 1 1 4( 1) 0 1 4( 1) 1 1 2 0

Suy ra 0 C 1, hay C không thể là số nguyên với x 1

0,5

2 x

   Khi đó: x 0 (vì x nguyên) và C 0 Vậy x 0 là một giá trị cần tìm 0,25

2

x   Khi đó x 1 (do x nguyên) Ta có:

x C



3(2 1) 3(2 1)

C

  , suy ra   1 C 0

hay C 0 và x 1

Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: x0, x1

0,25

Câu 4 (3,0 điểm):

a) 2,0 điểm:

Gọi I là trung điểm AB,

,

E IK CD R IM CD Xét hai tam giác KIB và KED có: ABD BDC

0,25

KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25

Suy ra KIBKED IK KE 0,25

Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI =

MR nên KM là đường trung bình  KM //

CD

0,25

Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm) 0,25

b) 1,0 điểm:

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD  IK//AD hay IE//AD

chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC 0,25 Có: QK AD(gt), IE//AD (CM trên)  QKIE Tương tự có QM IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK IE QK là trung trực ứng với cạnh IE của IER Tương tự

Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực của

Câu 5 (1,0 điểm):

K

M

Q

B' C'

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S) Khi

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường

thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác A B C' ' ' (hình vẽ) Khi đó S A B C' ' ' 4S ABC 4

Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác A B C' ' '

0.25

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên hình vẽ

Khi đó d P AB ;  d C AB ; , suy ra S PAB S CAB, mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC có

diện tích lớn nhất

0.25

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác A B C' ' ' có diện tích không lớn

Một số lưu ý:

-Trên đây chỉ trình tóm tắt một cách giải với những ý bắt buộc phải có Trong quá trình chấm, nếu học sinh giải theo cách khác và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

-Trong quá trình giải bài của học sinh nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả phần sai đó nếu có đúng thì vẫn không cho điểm

-Bài hình học, nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

-Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm có thể thống nhất chia tới 0,25 điểm

-Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm

—Hết—