Một đường thẳng quay quanh B cắt các đường tròn , O1 O2 theo thứ tự tại giao điểm thứ hai là E và F.. a Chứng minh AE AF không đổi.. b Các đường thẳng EC DF, cắt nhau tại G.. Chứng min
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2 1 0
| | 1 0
y x
y x
− + =
− − =
b) Giải phương trình: 4 x− + =1 3 x
Câu 2 (1,5 điểm) Cho ,x y là các số thực dương thoả mãn x y+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 8(x2 y2) 1
xy
Câu 3 (1,5 điểm) Cho a2 ≠b2 và M a b a b
a b a b
− + Tính giá trị của biểu thức:
N
Câu 4 (3.0 điểm) Hai đường tròn ( , ),( ,O R1 1 O R2 2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt ( )O1 tại C và cắt ( )O2 tại D (C, D khác B) Một đường thẳng quay quanh B cắt các đường tròn ( ),( )O1 O2 theo thứ tự tại giao điểm thứ hai là E
và F
a) Chứng minh AE
AF không đổi
b) Các đường thẳng EC DF, cắt nhau tại G Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp đường tròn c) Chứng minh khi đường thẳng EF quay xung quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AEGF luôn thay đổi trên một đường tròn cố định
Câu 5 (1,0 điểm) Cho 3 số thực không âm , ,a b c Chứng minh rằng:
a + + +b c abc+ ≥ ab bc ca+ +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh SBD
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Tin.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm)
a) 1,5 điểm:
Viết lại hệ: 2 1 0 (1)
| | 1 0 (2)
y x
y x
− − =
Từ (1) rút y theo x ta được y = 2x -1 Thay vào (2) ta có: 2x - |x| - 2 = 0 (3) 0,50
Nếu x < 0 thì (3) tương đương với 3x - 2 = 0 2
3
x
b) 1,5 điểm:
Phương trình đã cho tương đương với 4 x− = −1 x 3
2
3 0 (1)
16( 1) ( 3) (2)
x
− ≥
0,5
(2) 22 25 0
11 96
x
x
= +
= −
Kết hợp với điều kiện (*) và (1) ta được nghiệm của phương trình là x= +11 96 0,25
Câu 2 (1,5 điểm):
Có: 4xy (x y)2 1 1 4
xy
2
x y
⇔ = = (1)
0,5
2
2
x y
⇔ = = (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra 8.1 4 8
2
2
x y
⇔ = = hay giá trị nhỏ nhất của
Câu 3 (1,5 điểm):
a b a b
M
a b a b
2 2
2 2 2.(a b )
a b
+
Ta có:
=
2
+
Do đó,
N
Trang 3Câu 4 (3,0 điểm):
I
G
F
D C
A
B
2
E
a) 1,0 điểm:
Xét hai tam giác ACD AEF, ta có
• ∠AEF= ∠AEB= ∠ACB= ∠ACD (cùng chắn cung »AB của ( )O )1
• ∠AFE= ∠AFB= ∠ADB= ∠ADC (cùng chắn cung »AB của ( )O )2
Suy ra ∆AEF : ∆ACD
0.5
Vì ·ABC =·ABD=900 nên AC và AD lần lượt là đường kính của (O1) và (O2) 0,25
2
R
const
b) 1,0 điểm:
Theo phần a) ta có: ∠AEG= ∠AEC= 90 0 và 0
90
AFG AFD
∠ = ∠ = (góc nội tiếp chắn nửa
Từ đó, tứ giác AEGF có ∠AEG= ∠AFG= 90 0 do đó nội tiếp trong đường tròn đường kính
c) 1.0 điểm
Ta có ·ACE = ·ABE mà ·ABE= ·ADG (do cùng bù với ·ABF ) nên · ACE= ·ADG
180
ACG ADG+ = hay tứ giác ACGD nội tiếp 0.5 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF Khi đó I là trung điểm AG
Suy ra IO CG IO1|| , 2||DG
∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ Từ đó, do O O1, 2 khác phía với AI
suy ra tứ giác AO IO1 2 nội tiếp, hay I∈(AO O1 2) cố định
0.5
Câu 5 (1,0 điểm):
+ Trong ba số 1 −a,1 −b,1 −c luôn có hai số cùng dấu (số 0 được coi là cùng dấu với mọi
+ Ta có
0.5 + Suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1 0.25
Trang 4Một số lưu ý:
-Trên đây chỉ trình tóm tắt một cách giải với những ý bắt buộc phải có Trong quá trình chấm, nếu học sinh giải theo cách khác và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
-Trong quá trình giải bài của học sinh nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả phần sai đó nếu có đúng thì vẫn không cho điểm
-Bài hình học, nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
-Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm có thể thống nhất chia tới 0,25 điểm
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm
—Hết—