SLIDE CHƯƠNG 4 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG : Phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống

Định nghĩa : Đáp ứng thời gian (Time response) là hàm theo thời gian thể hiện đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu vào tương ứng. 4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống yt (t): đáp ứng quá độ yss(t): đáp ứng xác lập No pt vi phân: Đáp ứng quá độ (Transient response), yt (t)  Trạng thái của hệ thống trong hoảng thời gian ngắn ngay khi có sự thay đổi đầu vào tác động lên hệ thống  Thể hiện đặc tính động của hệ thống  Chỉ phụ thuộc vào các điểm cực của hệ thống, không phụ thuộc vào dạng tín hiệu đầu vào  Đối với hệ thống ổn định:

Chương 4:

Phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống

Nội dung

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống liên tục

4.2 Đáp ứng bước và các đặc tính trong miền thời gian

4.3 Sai lệch xác lập

4.4 Đặc tính thời gian của hệ bậc 1

4.5 Đặc tính thời gian của hệ bậc 2

4.6 Ảnh hưởng của việc thêm điểm cực và điểm không và hàm truyền đạt của hệ thống

4.7 Các điểm cực và điểm không trội

Định nghĩa : Đáp ứng thời gian (Time response) là hàm theo thời gian thể hiện

đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu vào tương ứng

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống

y t (t): đáp ứng quá độ

y ss (t): đáp ứng xác lập

No pt vi phân:

Đáp ứng quá độ (Transient response), y t (t)

 Trạng thái của hệ thống trong hoảng thời gian ngắn ngay khi có sự thay đổiđầu vào tác động lên hệ thống

()

()

(t  y t  y t t 

Định nghĩa : Đáp ứng thời gian (Time response) là hàm theo thời gian thể hiện

đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu tương ứng

()

()

(t  y t  y t t 

Hàm bước đơn vị (Unit-step), u s (t)



 Đánh giá sự nhanh chóng của hệ thống đáp ứng với thay đổi tức thời của đầuvào

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống

Các tín hiệu thử nghiệm đặc trưng

0 )

du



Các tín hiệu thử nghiệm đặc trưng

Đầu vào hàm parabol (Parabolic function)

)

( 2

) (

2

t u

Rt t

r  s

t

0 1

R r(t)Ru s(t)

) ( ) (

t

Rt u t r

2

t u

Rt t

 Có khả năng kiểm tra hệ thống có đáp ứng tốt

với tín hiệu thay đổi tuyến tính theo thời gian

không

Hàm bước (step function)

)()

(t Ru t

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian

4.2.1 Đáp ứng bước đơn vị (Unit-step response)

 Định nghĩa : Đáp ứng của hệ thống với đầu vào bước đơn vị (bỏ qua các điềukiện ban đầu)

Ex 4.1 Tìm đáp ứng bước của các hệ thống sau

t

h s

s G s

U s G s

65

1)

(1

)()

s KG

s G s

G

o o

h t  L    L  

4.2.1 Đáp ứng bước (Unit-step response)

Ex 4.1 (cont’d)

Code Matlab để biểu diễn đồ thị của đáp ứng bước của hệ thống trên

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

4.2.2 Đặc tính miền thời gian

 Độ quá điều chỉnh (Over shoot)

- Độ quá điều chỉnh lớn nhất:

Δm = y max – y ss

- Độ quá điều chỉnh lớn nhất (%) (PO)

- Đo lường độ ổn định tương đối

 Thời gian trễ (Time delay), t d : Thời gian cần để đáp ứng bước đạt đến 50% giátrị cuối cùng (giá trị xác lập)

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian

% 100

% 100



ss

m ss

ss

y y

y y

PO

4.2.2 Đặc tính miền thời gian

 Thời gian đáp ứng (Settling time), t s :

Thời gian để đáp ứng bước của hệ thống

đạt đến và giữ trong khoảng ± ε% (ε = 2

4.3 Sai số xác lập

Định nghĩa : Sai số xác lập là sự khác nhau giữa tín hiệu đầu ra và giá trị đặt đầuvào (đầu ra mong muốn) ở trạng thái xác lập

e(t): sai lệch của hệ thống

Giả sử mục tiêu điều khiển đặt ra là tín hiệu đầu ra y(t) bám tín hiệu đặt đầu vàor(t), khi đó:

 Nếu hệ thống kín không ổn định, e ss không xác định

(

lim

0 sE s t

e

e

s t

 If H(s) # 1 (phản hồi không đơn vị):

( ) ( 1

1 ) ( ) ( 1

)

( ) ( ) ( 1

) ( )

( )

( )

( )

s H s G

s H s G s

R s H s G

s G s

R s

Y s R s

) ( )

( ) ( 1

) ( )

(

) ( 1

) ( )

( )

( )

(

s G

s R s

R s G

s G s

R

s M s

R s

Y s

R s

4.3 Sai lệch xác lập

Ghi chú !

 Trong thực tế, tín hiệu r(t) thường là tín hiệu thử nghiệm đặc trưng (hàm bước,hàm dốc, hàm parabol …) nhưng có thể không phải là tín hiệu đặt thực tế Khi

đó, các tính toán giá trị sai lệch này không phù hợp

 Nếu tín hiệu đặt được định nghĩa là

 Nếu H(s) có điểm không bậc N tại s = 0 (sN) tín hiệu đặt được định nghĩa

4.3.1 Khái niệm chung

( )

N H

R s

K s

4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị

e ss Phụ thuộc đặc tính của G(s) và loại tín hiệu vào R(s)

 Loại hệ thống

N – số điểm cực của G(s) tại s = 0  loại hệ thống tương ứng là N

( ) lim ( ) lim

K s

s P N M

e s s s

s s K

s

j

j N

; ,

) (

1 1

Một cách tổng quát, hàm truyền đạt của hệ thống có thể biểu diễn như sau:

2 1 )(

1 (

) 5 0 1 ( )

s s s

s s

s K

) 2 1 ( )

s s

s K

Ví dụ: Xác định loại hệ thống kín nếu hệ thống hở có hàm truyền đạt

s (s 5)(s 6)

G s  

4.3 Sai lệch xác lập

4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị

( ) lim ( ) lim

R e



 1

( ) =

4.3 Sai lệch xác lập

 Nếu r(t) = Rtus(t):

K v – hằng số sai lệch dốc

- N = 0 (type 0): K v = 0, e ss = ∞

- N = 1 (type 1): K = const e = const

4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị

e 

( 2

)

(

s

R s

R t

u

t R t

2

2

K a – hằng số sai lệch parabol

4.3 Sai lệch xác lập

Ví dụ: Xét hệ thống với hàm truyền đạt hệ hở là G(s), khâu phản hồi H(s).

Phân tích sai lệch xác lập ứng với các loại tín hiệu vào khác nhau Biết

) (

p

K

R e

s G K

K

R K

R e

K s

sG K

v

ss s

v

2 4 2

4 ) (

s G s

Ex 4.2 (cont’d): Let K = 0.5 and R = 2

4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống phản hồi đơn vị

% Parabolic response [y,t]=lsim(G,parabol,t);

figure(3) plot(t,parabol'-y);

Step response error

Ramp response error

Parabolic response error

4.3 Sai lệch xác lập

Ví dụ: Xác định các hằng số bước (Kp), hằng số dốc (Kv), hằng số parabol (Ka)của hệ thống kín phản hồi đơn vị Biết hàm truyền đạt hệ hở như sau

1000 (s)

4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi có H(s) ≠ 1

Ví dụ: Xác định sai lệch xác lập của hệ thống

2

1 (s)

1

s



 1 H(s)

5

s s

3 (K 2) s 3

K G

e  sE s    K G  s R

 Đặt

0

(s) lim

s

H K

s





4.4 Đặc tính thời gian của hệ thống bậc 1

 Mô tả toán học

K – độ lợi xác lập , τ – hằng số thời gian.

 Độ lợi xác lập (Steady-state gain), K

Nếu r(t) = u s (t) , ta có

y ss y t

 Hằng số thời gian (Time constant), τ

- Nếu K = 1, Tốc độ đáp ứng ban đầu

của hệ thống

y(t) K

) (

1 ) (

K s

s

K s

Y s s R

 ζ ≥ 1, không có độ quá điều chỉnh

 ω n ảnh hưởng đến t r , t s , và t d nhưng không ảnh

) ( ) ( ) ( 2

) ( 2

2 2

t r t y dt

t dy T dt

t y d

2 2

2

2 )

(

) ( ) (

n n

n

s s

s R

s Y s G

2

2 2

2 1

1

cos 1

sin 1

1

2

) ( )

s s

s

L s

s G L t

y

n t

n n

n

n

n s

4.5 Đáp ứng thời gian của hệ thống bậc 2

 Quỹ đạo nghiệm của phương trình đặc tính

 Thừa số tắt dần (Damping factor)

α = ζ ω n điều khiển tốc độ tăng hoặc giảm

(tắt dần) của y(t), α được gọi là thừa số tắt

dần

Nếu ζ = 1(tắt dần tới hạn), thì α = ω n

 Tần số tự nhiên

Khi ζ = 0 (undamped), s1,2 = ± jω n => y(t) = 1-cos(ω n t):

Đáp ứng bước dao động điều hòa với tần số ω n

2 2

, 1

2 2

10

• ζ > 1 : không dao động tắt dần (overdamped)

• ζ = 1 : tắt dần tới hạn (critically damped)

 Hệ số tắt dần

• 0 < ζ <1 : có dao động tắt dần (underdamped)

0 1

1

1 ) (

0 1

2 2

, 1

/ 2

/ 1

2 2

, 1

2 1

t t

n n

j

e k e

k t

y

j s

y

s s

2 1

1 ) (

, 1

sin 1

) (

y

j s

n t

n n

4.5 Đáp ứng thời gian của hệ thống bậc 2

• ζ = 0 : dao động không tắt dần (undamped)

• -1 < ζ < 0 : dao động tăng dần(negatively damped)

 Hệ số tắt dần

• ζ < -1 : dao động tăng dần (negatively damped)

t t

y

j s

n

n



cos 1

) (

2 , 1

y

j s

n t

n n

n

n

sin 1

) (

0 ,

 Độ quá điều chỉnh tối đa

Giả sử có đáp ứng của hệ thống bậc 2 có dạng như sau: (i.e., 0 < ζ <1)

cos

; 1

, sin

1 )

e dt

dy

n n

t n

n

cos sin

4.5 Đáp ứng thời gian của hệ thống bậc 2

 Độ quá điều chỉnh tối đa

Độ quá điều chỉnh lớn nhất xuất hiện ở đỉnh

dao động đầu tiên của y(t), tức là tại

Độ quá điều chỉnh (%) PO :

 , 2 , 1 , 0 ,

 Độ quá điều chỉnh lớn nhất

Sự phụ thuộc của PO vào  được biểu

diễn như hình bên

Một cách gần đúng ta có thể xấp xỉ PO

như sau :

100 2

1



e PO

100 6 0

0

4.5 Đáp ứng thời gian của hệ thống bậc 2

 Thời gian đáp ứng (Settling time), t s

Thời gian đáp ứng có thể được tính xấp xỉ như sau

% 2 for

4

% 5 for

2 3

1 ln

1 1

1

1

1

1 2

1 1

1

Trong trường hợp   0 , 69

% 5 for

5 ,

t

 Thời gian trễ (Delay time), t d

Thời gian trễ được tính xấp xỉ như sau

1 1

4.6 Ảnh hưởng của việc thêm điểm không vào TFs4.6.1 Thêm 1 điểm không vào hàm truyền đạt vòng hở

Cho hệ thống kín phản hồi đơn vị có hàm truyền đạt vòng hở như sau :

s s G

p n

n o







1 2

) (

2



 Trong đó điểm cực s = -1/T p được giả thiết là

thêm vào hàm truyền đạt bậc 2 của hệ thống

1 )

( 1

) ( )

(

n n

p n p

n o

o c

s s

T s

T s

G

s G s

Ảnh hưởng của việc thêm điểm cực này:

• Tăng độ quá điều chỉnh của

đáp ứng của hệ thống kín

• Tăng thời gian tăng của đáp

ứng của hệ thống kín

Step response

4.6.2 Thêm 1 điểm cực vào hàm truyền đạt hệ kín

Giả sử có hệ thống có hàm truyền đạt vòng kín như sau

s G

p n

n

n c

Ảnh hưởng của việc thêm điểm cực này

• Giảm độ quá điều chỉnh của đáp

ứng hệ thống

• Tăng thời gian tăng của đáp ứng hệ

thống

Step response

Chú ý: Khi xét đến độ quá điều

chỉnh thêm điểm cực vào hàm truyền

đạt kín sẽ có tác động ngược với việc

thêm điểm không vào hàm truyền đạt

hệ hở

4.6 Ảnh hưởng của việc thêm điểm không vào TFs

4.6.4 Thêm điểm không vào hàm truyền đạt vòng hở

Giả sử có hệ thống với hàm truyền đạt vòng hở như sau

 1 2

1 6 )

s

s T s

o Trong đó điểm không s = -1/T z được thêm vào

hàm truyền đạt của hệ

Ảnh hưởng của việc thêm điểm không :

• T z xuất hiện trên tử của G c (s)

làm giảm độ quá điều chỉnh

• T xuất hiện ở mẫu của G (s)

Hàm truyền đạt hệ kín trở thành như sau

6 ) 6 2 ( 3

1 6 )

s

s T s

G

z

z c

0.8 1.2 1.6

4.6.3 Thêm điểm không vào hàm truyền đạt hệ kín

Xét hệ thống có hàm truyền đạt hệ kín như sau

(

n n

z n

c

s s

s T s

Ảnh hưởng của việc thêm điểm không

• Tăng độ quá điều chỉnh của đáp

ứng hệ thống

• Giảm thời gian tăng của đáp ứng

hệ thống

Step response y(t)

1 2 3 4 5

4.7 Điểm cực và điểm không trội trong hàm truyền đạt

Vị trí các điểm cực và điểm không trong hàm truyền đạt ảnh hưởng lớn đến đápứng quá độ của hệ thống

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

20 40 60 80

Ví dụ: Cho hàm truyền đạt bậc 3 như sau

6000 )

p s

s G

Điểm cực của hệ thống :

86

• If p  0.6  Re s2,3 10 s1

s1 được cho là điểm cực trội

p s s

G



) (

Hệ thống có thể xấp xỉ thành hệ bậc 1

• If p  65  s1  10 Re s2 , 3

s2,3 được cho là điểm cực trội

100 12

6000 )

p s

G