Hệ phương trình

Nguyễn Tuấn Linh – Trường THCS Kim Đồng 1.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau: ( ) ax by c I a x b y c' ' '  + =  + =  Mỗi cặp số ( x 0 ; y o ) đồng thời là nghiệm của cả 2 phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ Ví du ï: Giải các hệ phương trình sau: 3x y 1 2x 5y 1 2x 6y 2 a 1 1 x 3y 5 x 3y 2 x y 3 3 ) b) c)  − =   − = − − + =     + = − = − − =     Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Thay 2 1 2x 5y 1 1 2 5 3y 5y 1 2x 5y 1 a x 3y 5 x 5 3y 2 x 5 3y vào )  − = −  − − = −  − = −   ⇔ ⇔    + = = − = −      10 11y 1 y 1 x 5 3y x 2   − = − = ⇔ ⇔   = − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2x 6y 2 1 2x 6y 2 0x 0y 2 x 3y 2 2x 6y 4 2x 6y 4 2 Cộng và vế theo vế b)  − + =   − + = + = −  ⇔ ⇔ ⇒    − = − − = − − = −     Hệ phương trình vô nghiệm 3x y 1 3x y 1 3x y 1 1 1 3x y 1 x y 3 3 c)  − =  − =  ⇔ ⇔ − =   − = − =    ⇒ Hệ phương trình có vô số nghiêm (x; y) tính theo công thức Giả sử đường thẳng d và d’ lần lượt làđồ thò của phương trình (1) và (2) trong các câu trên.Có nhận xét gì về mối tương giao của 2 đường thẳng này trong các câu a, b, c? x y 3x 1  ∈  = −  ¡ ⇒ a) Xây dựng công thức: Xét hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn ( ) ( ) ( ) ax by c 1 I a x b y c 2 ' ' '  + =   + =   - Nhân 2 vế của phương trình (1) với b’, hai vế của phương trình (2) với –b rồi cộng các vế tương ứng, ta được ( ) ( ) ab a b x cb c b 3' ' ' ' . − = − - Nhân 2 vế của phương trình (1) với –a’, hai vế của phương trình (2) với a rồi cộng vế theo vế, ta được ( ) ( ) ab a b x ac a c 4' ' ' ' . − = − ( ) ( ) x y ab a b D c3 4 b c b ac a cD ' ' , ' ' và D ' 'Trong và , ta đặt = − = − = −− Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả ( ) X y D x D II D y D . .  =   =   2) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn Vì sao hệ (II) không tương đương hệ (I) mà chỉ là hệ quả của hệ (I) Đối với hệ (II) ta xét các trường hợp sau 1) D 0:≠ ( ) ( ) ( ) ( ) y X y X D D x y D x D II H II D 5 D D D y ệ có nghiệm duy nhất ; ;   =  ÷   =   ⇔ ⇒   =   ÷   Thay (5) vào hệ (I) ta thấy đây cũng là nghiệm của hệ phương trình (I) 2) ( ) x x y y 0 D II 0 D D 0 :  = = =  ⇔    -Nếu x y D 0 0 hoac Dë≠ ≠ thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm -Nếu x y D D 0= = thì hệ (II) có vô số nghiệm. Tuy nhiên, muốn tìm nghiệm của hệ (I), ta phải trở về hệ (I) ( Do (II) chỉ là phương trình hệ quả ). Theo giả thiết, 2 số a và b không cùng bằng 0 nên ta có thể giả sử ( trường hợp cũng giải tương tự ) a 0 ≠ b 0≠ ( ) X y D x D II D y D . .  =   =   Ta có y a D ab a b 0 b b a a D ac a c 0 c c a ' ' ' ' ; ' ' ' ' . = − = ⇒ = = − = ⇒ = Bởi vậy, hệ (I) có thể viết thành ( ) ax by c a a ax by c a a ' '  + =   + =   Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax + by = c. ( ) y x D 0 x y trong D D D D : Hệ có nghiệm duy nhất ; ; đó x = ; y= ≠ x y x y D 0 0 D D 0 hoặc D : Hệ vô nghiệm. : Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c. • ≠ ≠ • = = 1) 2) D = 0: ( ) ( ) 2 2 2 2 ax by c a b 0 a x b y c a b 0 ' ' ' ' '  + = + ≠   + = + ≠   b) Thực hành giải và biện luận - Đònh thức: Biểu thức pq’ – p’q, với p, q, p’, q’ là những số thực, được gọi là một đònh thức cấp 2 và kí hiệu là p q p' q' (Chú ý cách tính p q p' q' = pq’ – qp’ Như vậy, các biểu thức D, D x , D y đều là những dònh thức cấp 2 x y D c c c cab bab a b a b b ' ' b' b , D , c c ' 'D a a ' ' ' c c'a' '' a = − = = − = = − = a x + b y = c a’ x + b’ y = c’ { a x + b y = c a’ x + b’ y = c’ Vận dụng: Giải hệ phương trình x y x 5 4 2 3 9 2y  − =  + = −  Giải: Ta có ( ) D 5 3 4 23 0 5 2 . . 34 -2 = = − − = ≠ ( ) ( ) x x D D 9 3 2 2 23 1 D 9 . . -2 ; suy ra x = 2 3 = = − − − = − = − − ( ) y y D D 5 2 4 9 46 2 5 D -9 . . ; suy ra 4 y = 2 = = − − = = { x y D c c c cab bab a b a b b ' ' b' b , D , c c ' 'D a a ' ' ' c c'a' '' a = − = = − = = − = (I) ( ) ( ) x y 1 2Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; ;⇒ = − SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU NHÓM 1: 2x 3y 13 7x 4y 2  − =  + =  NHÓM 2: 2x y 5 x 2y 7  + =  + =  NHÓM 3: 5x 4y 3 7x 9y 8  − =  − =  NHÓM 4 : 3x 2y 1 2 2x 3y 0  + = −   + =   ĐS (x; y)= (2; -3) ĐS (x; y)= (1; 3) ( ) 5 19 17 17 ĐS x;y ;   =  ÷   ( ) ( ) 3 2 2ĐS x;y ;= − [...]... Với m = 1, hệ có vô số nghiệm tính theo công thức  y = 2 − x *Cho hệ phương trình (I) { a x a’ x + + b y b’ y = = c c’ 1) CÁC ĐỊNH THỨC a b c b a c D = ab '− a ' b = , D x = cb '− c ' b = , D y = ac '− a ' c = a' b' c' b ' a' c' 2) BẢNG TÓM TẮT GIẢI VÀ BIỆN LUẬN: D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) ; trong đó Dy Dx x= ; y= D D D = 0 •D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 : Hệ vô nghiệm •D x = D y = 0 : Hệ có vô...1/ Cho Hệ phương trình 2 x + 3 y =4  − x + y = 2 A  C  2 8 (− ; − ) 5 5 2 8 ( ;− ) 5 5 B D 2 8 (− ; ) 5 5 2 8 (− ; ) 5 5 Có nghiệm là: HẾT GIỜ 55 60 5 50 10 15 45 40 20 35 30 25 Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình mx + y = m + 1   x + my = 2 Giải 1) Tính các đònh thức m 1 m +1 1 D= = m2 −1 Dx = = m... + 1) m+2 1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ;  m + 1 ( m + 1)   ÷ ÷  2)D = 0 ⇔ m = 1 ∪ m = −1 x + y = 2 − Nếu m=1 thì D = D x = D y = 0, hệ trở thành  x + y = 2 x + y = 2 x ∈ ¡ Ta có  ⇔x+y=2⇔ x + y = 2 y = 2 − x −Nếu m = -1 thì D = 0, nhưng D x = −2 ≠ 0 nên hệ vô nghiệm Kết luận m+2 1 Với m ≠ ±1, hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ;  m + 1 ( m + 1)  Với m = -1 , hệ vô nghiệm; ... TẮT GIẢI VÀ BIỆN LUẬN: D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) ; trong đó Dy Dx x= ; y= D D D = 0 •D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 : Hệ vô nghiệm •D x = D y = 0 : Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c . của cả 2 phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ Ví du ï: Giải các hệ phương trình sau:. THCS Kim Đồng 1 .Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất