Giới hạn - hàm số ( ôn thi học kỳ II)

Bài 1:Giới hạn -Một số định lý về giới hạn 0 lim ( ) x x f x a = ; 0 lim ( ) x x g x b = : 0 lim( ( ) ( )) x x f x g x a b = 0 lim ( ). ( ) . x x f x g x a b = 0 ( ) lim ( ) x x f x a g x b = nếu: 0 lim ( ) x x g x b = 0 -Một số giới hạn đặc biệt: 0 sin lim 1 x x x = 0 1 lim(1 ) x x e x + = 0 1 lim 1 x x e x = 0 ln(1 ) lim 1 x x x + = -Ngoài ra ta còn chú ý đến giới hạn 0/0,để giải loại này ta có các phơng pháp nh sau: +Phân tích thành nhân tử +Nhân liên hợp +Thêm bớt hạng tử -Ta xét một số ví dụ cụ thể : Ví dụ 1: I= 3 2 2 3 4 4 3 lim 3 x x x x x x + Giải: Ta sử dụng phân tích thành nhân tử nh sau: I= 2 3 ( 3).( 1) lim ( 3). x x x x x x + = 2 3 ( 1) 7 lim 3 x x x x + = Ví dụ 2: I= 2 0 1 1 lim x x x + Ví dụ 3: I= 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x + Giải: Rõ ràng để liên hợp là rất khó khăn,nên ta dùng phơng pháp thêm bớt hạng tử nh sau: I= 3 2 2 2 1 1 5 2 7 2 lim lim 1 1 x x x x x x + 5 24 = Và từ đó có thể liên hợp để tính tổng giới hạn . *Phơng pháp trên đuợc gọi là phơng pháp tách bộ phận kép.Nhiều khi ta phải thêm vào một biểu thức chứ không phải là số hạng. Ví dụ 4: I= 3 2 0 2 1 1 lim 1 sin x x x x + + = Ví dụ 5: I= 3 0 2 1 8 13 lim 12 x x x x + = Ví dụ 6: I= 0 lim ax bx x e e a b x = (a,b 0) 1 Ví dụ 7: I= 1 lim . x x x e x + ữ Ví dụ 8: Xét hàm số: ( )y f x x= = Tính giới hạn sau: 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h + ( 0x ) -Ngoài các giới hạn cơ bản trên ta còn có giới hạn phải và trái : + 0 lim ( ) x x f x + :Giới hạn phải + 0 lim ( ) x x f x :Giới hạn trái -Hàm số có giới hạn tại 0 x thì hai giới hạn này bằng nhau. Ví dụ 9: Cho ln , 0 ( ) , 0 x x x y f x a x > = = Tìm a để tồn tại 0 lim ( ) x f x (a=0) Ví dụ 10 (Đại học GTVT-94) a) Cho f(x)=x(x-1)(x-2)(x-1994). Tính I= 0 ( 0) (0) lim x f x f x + b) Cho 2 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = Tìm I= 0 ( 0) (0) lim x f x f x + . Ví dụ 11: Cho 2000 x y = ; 20 logy x= .Tính 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h + . (Đại học Y) Ví dụ: 12: Cho hàm số: 2 2 3 ( ) 3 1 x x f x x + = Tính f(-3). Bài 2:Đạo hàm 1-Đạo hàm tại một điểm: -Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) 0 ( ; )x a b .Đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x Nếu tồn tại là giớii hạn sau: 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x = 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x + = 0 0 '( ) lim x y f x x = Với 0 x 0 ( ) ( )y f x f x = 0 x x x = Ví dụ 1: Cho f(x)=x(x-1).(x-2)(x-2008). 2 a.Tính f(0) b.Tính f(1004). Ví dụ 2: 2 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = Tính f(0). 2-Đạo hàm một bên: *) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) '( ) lim lim x x x x f x x f x x f x f x f x x x y x + + + + + = Đợc gọi là đạo hàm phải tại 0 x Tơng tự với đạo hàm tráI tại 0 x *)Từ đó hàm số có đạo hàm tại 0 x nếu nó có đạo hàm tráI và phảI tại đó. Ví dụ 3:Cho hàm số ( ) 1 x f x x = + .Tính f(0). 3-Đạo hàm trên khoảng,đoạn,tính liên tục. *) Ta nói y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. *) f(x) có đạo hàm tại 0 x f(x) liên tục tại 0 x .Điều ngợc lại không đúng. *) Nh vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại 0 x thì trớc hết nó phải liên tục tại 0 x . Ví dụ 4: Cho hàm số 2 ( ). , 0 ( ) 1, 0 bx x a e x f x ax bx x + < = + + Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại 0. Giải:-Ta cần tìm a,b mà thoả mãn: +Hàm số liên tục tại 0 +Đạo hàm trái và phải tại 0 là bằng nhau Ví dụ 5: Cho hàm số 2 2 , 1 ( ) , 1 x a x f x x bx x + = + < Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x=-1 4-ý nghĩa hình học của đạo hàm: - Giả sử y=f(x) có đồ thị (C) .Điểm 0 0 0 ( ; )M x y thuộc (C).Khi đó tiếp tuyến tại 0 0 0 ( ; )M x y sẽ có phơng trình nh sau: 0 0 0 '( ).( )y y f x x x = -Điều này có thể thấy trên đồ thị (hv): 3 Ví dụ 6: Cho hàm số y=x 3 .Viết phơng trình tiếp tuyến tại a. M(-1;-1). b. Điểm có hoành độ x=3. Bài tập tổng hợp: Bài 1:Tính đậo hàm của các hàm số sau tại x=0. a. 2 2 ln , 0 ( ) 2 4 0, 0 x x x x f x x > = = b. ln , 0 ( ) 0, 0 x x x f x x > = = . Bài 2:Cho hàm số .cos .sin ; 0 ( ) 1; 0 a x b x x f x ax b x + = + + > Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại 0. Bài 3:Cho hàm số 96 96 ln(1 ) ; 0 ( ) 0; 0 x x f x x x + = = a.Tính f(0) b. 96 '( 1)f e Bài 3:các công thức tính đạo hàm. 1.Đạo hàm các hàm số sơ cấp: *)Các công thức: ' 0y c y= = ' 1y x y= = . 'y ax y a= = 1 'y x y x = = ( ; 0R x > ) 2 1 1 'y y x x = = 1 ' 2 y x y x = = ' x x y e y e= = ' .ln x x y a y a a= = 1 ln 'y x y x = = 1 log ' ln a y x y x a = = sin ' cosy x y x= = cos ' siny x y x= = x y 0 x 0 y 0 0 0 ( ; )M x y M O -Rõ ràng tiếp tuyến tại M chính là vị trí giới hạn của cát tuyến ,và hệ số góc của tiếp tuyến tại là 4 2 1 tan ' cos y x y x = = 2 1 cot ' sin y x y x = = *)Đạo hàm của tổng tích hiệu thơng: [ ] ( ) ( ) ' '( ) '( )u x v x u x v x = [ ] ( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )u x v x u x v x u x v x= + ' 2 ( ) '( ). ( ) ( ). '( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x = Ví dụ 1:Tính các đạo hàm cấp một: a. 2 ( 1).(2 3)y x x= + b. 2 ( 1)( 1).(2 1)y x x x= + + c. tan .(1 sin )y x x= + d. 3 5 7 8 x y x = e. 2 2 5 4 9 2 3 8 x x y x x = + f. sin cos sin cos x x y x x = + g. 2 4 (1 3 ).lny x x x= + . 2.Đạo hàm hàm số hợp: Với: [ ] ( )y f g x= .Đặt g(x)=u khi đó y=f(u). *)Ta có công thức tính đạo hàm nh sau: Ví dụ 2: ( ) 2 2 1y x= + Đặt: 2 1u x= + ' 2 x u x= Hàm số trở thành y=u 2 ' 2 u y u= . Do đó: 2 ' 2 .2 4 .( 1)y x u x x= = + Ví dụ 3: Cho hàm số y=tan(x 2 +2x+2). Đặt u= x 2 +2x+2 ' 2 2 x u x= + Hàm số trở thành y=tanu 2 1 ' cos u y u = Do đó: 2 2 2 1 2 2 ' (2 2). cos cos ( 2 2) x y x u x x + = + = + + Ví dụ 4: Cho hàm số 2 1y x x= + 2 2 1 ' 2. 1 x y x x = + Ví dụ 5:Tính các đạo hàm cấp 1 a. ( ) 4 2 2 1y x= + b. 2 ( 5). 3y x x= + c. 2 9 x y x = d. 2 sin 2y x= e. 2 3 sin( 3 ) cos 2y x x x= + f. 4 tany x= Ví dụ 6: Tính các đạo hàm cấp 1: a. sin(cos ) cos(sin )y x x= + b. 2 ln( 1 )y x x= + + c. 2 1y x x x= + + d. 2 2 .ln 1y x x= + 5 ' ' . ' x u y u f = Ví dụ 7:Tính các đạo hàm sau a. 2 .ln( 1 )y x x x= + + - 2 1 x+ b. 2 3 ln(ln (ln ))y x= c. 1 cot . 2 x x y e = + ữ d. 3 32 8 4. cot coty x x= + e. 2 1 ln tan 2 2sin x y x = f. 2 2 1 ln 1 x x y x x + = ữ + + Bài 4:ứng dụng đơn giản của đạo hàm. 1-Dùng đạo hàm để tính giới hạn: - Ta có ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 0/0.Đó là dựa vào biểu thức 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x = Ví dụ 1:Tính giới hạn: I= 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x + Giải:Đặt 3 2 ( ) 5 7f x x x= + (1) 0f = Khi đó I= 1 ( ) (1) 1 lim . 1 1 x f x f x x + = '(1) 2 f = 5 24 . -Rõ ràng ta thắy phơng pháp đạo hàm này hiệu quả hơn nhiều so với phơng pháp thêm bớt hạng tử và sau đó là nhân liên hợp. Ví dụ 2: a. I= 3 2 0 2 1 1 lim sin x x x x + + (=1) b. I= 0 1 2 1 sin lim 3 4 2 x x x x x + + + (=0) Ví dụ 3: a.I= 3 2 0 tan 1 lim 2sin 1 x x x (=1/3) b. I= 2 0 1 lim 1 1 x x e x x + Ví dụ 4: a.I= 0 2 1 lim cos 1 x x e x x + b. I= sin 2 sin 0 lim sin x x x e e x Ví dụ 5: I= 3 3 2 3 0 1 1 lim x x x x x + + + 2-Vận dụng xét chiều biến thiên của hàm số: - Ta dựa vào định lý sau: +y=f(x) đồng biến trên (a;b) '( ) 0f x ( ; )x a b +y=f(x) nghịch biến trên (a;b) '( ) 0 ( ; )f x x a b +y=f(x) có f(x)=0 với mọi ( ; )x a b thì y=const. +Hàm số đồng biến trên khoảng và liên tục trên đoạn thì đồng biến trên đoạn. - Nh vậy để xét chiều biến thiên của hàm số ta có thể xét dấu của đạo hàm. - Quá trình xét dấu đợc đa vào bảng ta gọi là bảng bién thiên của hàm số. Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số 3 2 ( ) 3 1y f x x x= = + 6 Giải: Ta có y=3x 2 -6x=0 0 2 x x = = Bảng xét dấu của đạo hàm x 0 2 + y + 0 - 0 + y Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( ) ;0 và ( ) 2;+ hàm số nghịch biến trên (0;2) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số 2 2 1 x y x + = + Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 6 2 2 mx x y x + = + nghịch biến trên ( ) 1;+ . Ví dụ 4: Tìm m để hàm số 2 2 2 3 2 x mx m y x m + = đồng biến trên ( ) 1;+ . Ví dụ 5: Tìm m để hàm số 3 2 3 ( 1) 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên (- Bài 5:cực trị. 1-Định nghĩa cực trị: *)Lân cận điểm 0 x là khoảng 0 0 ( ; )x x + 0 > có thể bé tuỳ ý. *)Điểm 0 x là điểm cực đại nếu 0 ( ) ( )f x f x< với { } 0 0 0 ( ; ) /x x x x + . *)Điểm 0 x là điểm cực tiểu nếu 0 ( ) ( )f x f x> với { } 0 0 0 ( ; ) /x x x x + Khi đó giá trị 0 ( )f x gọi là giá trị cực trị. Điểm M( 0 x ; 0 ( )f x ) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số. 2-Định lý: - Cho hàm số y=f(x) xác định trên một lân cận chứa điểm 0 x : *) 0 x điểm cực đại nếu f(x) đồng biến trên : 0 0 ( ; )x x f(x) nghịch biến trên: 0 0 ( ; )x x + . *) 0 x điểm cực tiểu nếu f(x) nghịch biến trên : 0 0 ( ; )x x f(x) đồng biến trên: 0 0 ( ; )x x + . -Nói cách khác khi qua điểm 0 x đạo hàm đổi dấu +Nếu đổi từ + sang thì đó là điểm cực đại. +Nếu đổi từ - sang + thì đó là điểm cực tiểu. - Nh vậy bài toán cực trị có thể quay về bài toán xét chiều biến thiên của hàm số.Khi lập đợc bảng bién thiên thì ta có thể kết luận đợc cực trị. 7 . các giới hạn cơ bản trên ta còn có giới hạn phải và trái : + 0 lim ( ) x x f x + :Giới hạn phải + 0 lim ( ) x x f x :Giới hạn trái -Hàm số có giới hạn. Bài 1 :Giới hạn -Một số định lý về giới hạn 0 lim ( ) x x f x a = ; 0 lim ( ) x x g x b = : 0 lim( ( ) ( )) x x f x g x a b = 0 lim ( ). ( ) . x