Giới hạn hàm số ôn thi đại học

Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 - Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. ðịnh nghĩa: 1.1. Gi ới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa ñiểm 0 x . Ta nói rằng hàm số f(x) xác ñịnh trên K (có th ể trừ ñiểm 0 x ) có giới hạn là L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số n (x ) bất kì, n 0 x K \ {x } ∈ và n 0 x x → , ta có: n f(x ) L → . Ta kí hiệu: 0 x x lim f(x) L → = hay f(x) L → khi 0 x x → . 1.2.Gi ới hạn một bên: * Cho hàm s ố ( ) y f x = xác ñịnh trên 0 ( ; ) x b .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( ) y f x = khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy 0 ( ) : n n x x x b < < mà 0 n x x → thì ta có: ( ) n f x L → . Kí hi ệu: 0 lim ( ) x x f x L + → = . * Cho hàm s ố ( ) y f x = xác ñịnh trên 0 ( ; ) a x .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số ( ) y f x = khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy 0 ( ) : n n x a x x < < mà 0 n x x → thì ta có: ( ) n f x L → . Kí hi ệu: 0 lim ( ) x x f x L − → = . Chú ý: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L + − → → → = ⇔ = = . 1.3. Gi ới hạn tại vô cực * Ta nói hàm s ố ( ) y f x = xác ñịnh trên ( ; ) a +∞ có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số ( ) : n n x x a > và n x → +∞ thì ( ) n f x L → . Kí hiệu: lim ( ) x f x L →+∞ = . * Ta nói hàm s ố ( ) y f x = xác ñịnh trên ( ; ) b −∞ có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số ( ) : n n x x b < và n x → −∞ thì ( ) n f x L → . Kí hiệu: lim ( ) x f x L →−∞ = . 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm s ố ( ) y f x = có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy số 0 ( ) : n n x x x → thì ( ) n f x → +∞ . Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x → = +∞ . * T ương tự ta cũng có ñịnh nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta c ũng có ñịnh nghĩa như trên khi ta thay 0 x bởi −∞ hoặc +∞ . 2. Các ñịnh lí về giới hạn ðịnh lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về 0 L ≠ ) khi 0 x x → (hay ; x x → +∞ → −∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn ñó khi 0 x x → (hay ; x x → +∞ → −∞ ) . Chú ý: ðịnh lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực ðịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp) Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 - Cho ba hàm số ( ), ( ), ( ) f x g x h x xác ñịnh trên K chứa ñiểm 0 x (có thể các hàm ñó không xác ñịnh t ại 0 x ). Nếu ( ) ( ) ( ) g x f x h x x K ≤ ≤ ∀ ∈ và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x g x h x L → → = = thì 0 lim ( ) x x f x L → = . 3. M ột số gới hạn ñặc biệt * 2 ( ) lim k x x x →+∞ →−∞ = +∞ ; 2 1 ( ) lim ( ) k x x x + →+∞ →−∞ = +∞ −∞ * 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( 0) ( ) x x x x k f x k f x → → = +∞ −∞ ⇔ = ≠ * 0 0 sin lim lim 1 sin x x x x x x → → = = , từ ñây suy ra 0 0 tan lim lim 1 tan x x x x x x → → = = . * 1 0 1 lim (1 ) lim (1 ) x x x x x e x → →±∞ + = + = 0 0 ln(1 ) 1 lim lim 1 x x x x e x x → → + − ⇒ = = Chú ý : Ta th ường sử dụng các giới hạn ñặc biệt trên ñể tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. CÁC D ẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP D ạng 1: Tìm 0 lim ( ) x x f x → biết ( ) f x xác ñịnh tại 0 x . Phương pháp: * Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng 0 ( ) f x * Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Ví d ụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau: 2 1 1 1 1) lim 1 x x x A x → − + = + 2 6 2 tan 1 2) A lim sin 1 x x x → + = + π 2 3 0 ln ( 2) 1 3) lim 3 1 x x x A x → + − + = + Giải: 1) Ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 2 x x x A x → − + − + = = = + + . 2) 2 6 2 tan 1 2 tan 1 4 3 6 6 lim sin 1 9 sin 1 6 x x A x → + + + = = = + + π π π . 3) 2 2 3 0 ln ( 2) 1 lim ln 2 1 3 1 x x x A x → + − + = = + + . Ví d ụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn ñó? Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 3 - 1) 2 2 12 2 khi 1 ( ) 2 3 2 khi 1 x x x f x x x x   + +   <  =  +   + ≥    khi 1 x → . 2) 2 2 2 3 1 khi 0 ( ) 3 2 khi 0 x x x f x x x x   + + ≥   =   − + + <    khi 0 x → . Giải: 1) Ta có: 1 1 lim ( ) lim (3 2) 5 x x f x x + + → → = + = . 2 2 1 1 1 1 12 2 lim ( ) lim 5 lim ( ) lim ( ) 5 2 x x x x x x f x f x f x x − − + − → → → → + + = = ⇒ = = + . V ậy 1 5 lim ( ) 3 x f x → = . 2) Ta có: 2 0 0 lim ( ) lim (2 3 1) 1 x x f x x x + + → → = + + = . 2 0 0 0 0 lim ( ) lim ( 3 2) 2 lim ( ) lim ( ) x x x x f x x x f x f x − − + − → → → → = − + + = ⇒ ≠ . Vậy hàm số ( ) f x không có giới hạn khi 0 x → . Ví d ụ 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi 2 x → 2 2 1 khi 2 ( ) 2 1 khi 2 x ax x f x x x x   + + >   =   − + ≤    . Giải: Ta có: 2 2 2 lim ( ) lim ( 2) 2 6 x x f x x ax a + + → → = + + = + . 2 2 2 lim ( ) lim (2 1) 7 x x f x x x − − → → = − + = . Yêu c ầu bài toán 2 2 1 lim ( ) lim ( ) 2 6 7 2 x x f x f x a a + − → → ⇔ = ⇔ + = ⇔ = . V ậy 1 2 a = là giá trị cần tìm. Bài t ập: Bài 1: Tìm các gi ới hạn sau 1) 1 2 2 1 lim 4 x x B x x →− + = + + 2) 2 2 6 sin 2x 3 cos lim tan x x B x → − = π 3) 2 2 2 3 3 1 3 2 ln(2 1) 2 lim x x x x x B e + → − − + − = 4) 4 3 1 3 1 2 lim 3 1 2 x x B x → + − = + − Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn ñó ? Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 4 - 1) 2 3 5 1 1 ( ) 3 2 1 x x khi x f x x khi x   − + ≥   =   − + <    khi 1 x → . 2) 3 8 2 ( ) 2 2 1 2 x khi x f x x x khi x   −   >  =  −   + ≤    khi 2 x → . Bài 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi 0 x → . 3 2 3 2 2 5 3 2 1 0 ( ) ln( 2) 0 x x ax x a khi x f x e x x khi x −   + + + ≥    =    + + + <    . D ạng 2: Tìm 0 ( ) lim ( ) x x f x A g x → = trong ñó 0 0 ( ) ( ) 0 f x g x = = . Dạng này ta gọi là dạng vô ñịnh 0 0 . ðể khử dạng vô ñịnh này ta sử dụng ñịnh lí Bơzu cho ña thức: ðịnh lí: Nếu ña thức ( ) f x có nghiệm 0 x x = thì ta có : 0 1 ( ) ( ) ( ) f x x x f x = − . *Nếu ( ) f x và ( ) g x là các ña thức thì ta phân tích 0 1 ( ) ( ) ( ) f x x x f x = − và 0 1 ( ) ( ) ( ) g x x x g x = − . Khi ñó 0 1 1 ( ) lim ( ) x x f x A g x → = , nếu giới hạn này có dạng 0 0 thì ta tiếp tục quá trình như trên. Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2 ( ) x+c f x ax b = + có hai nghiệm 1 2 , x x thì ta luôn có sự phân tích 2 1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x + + = − − . * Nếu ( ) f x và ( ) g x là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp ñể chuyển về các ña thức, rồi phân tích các ña thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. ( )( ) a b a b a b − + = − 2. 3 3 3 3 3 2 2 ( )( ) a b a ab b a b ± + = − ∓ 3. 1 2 1 ( )( ) n n n n n n n n a b a a b b a b − − − − + + + = − * Nếu ( ) f x và ( ) g x là các hàm chứa căn thức không ñồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu ( ), ( ) n m f x g x c → thì ta phân tích: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) n m n m f x g x f x c g x c − = − − − . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không ñi ñến kết quả ta phải phân tích như sau: ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) n m n m f x g x f x v x g x v x − = − − − , trong ñó ( ) v x c → . * Một ñẳng thức cần lưu ý: 1 2 2 1 ( )( ) n n n n n n a b a b a a b ab b − − − − − = − + + + + . Ví d ụ 1: Tìm các gới hạn sau Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 5 - 1) 3 2 4 2 1 3 2 lim 4 3 x x x A x x → − + = − + 2) 3 4 5 0 (1 3 ) (1 4 ) lim x x x A x → + − − = 3) 4 2 6 3 2 5 4 lim 8 x x x A x → − + = − 4) 7 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim x x x x A x → + + + − = . Giải: 1) Ta có: 2 3 2 2 4 2 1 1 1 ( 1)( 2 2) 3 2 2 2 3 lim lim lim ( 1)( 3) 3 2 4 3 x x x x x x x x x x A x x x x x → → → − − − − + − − = = = = − − − − + 2) 3 4 6 0 0 (1 3 ) 1 (1 4 ) 1 lim lim x x x x A x x → → + − − − = − 2 2 0 0 3 [(1 3 ) (1 3 ) 1] 4 (2 4 )[(1 4 ) 1] lim lim x x x x x x x x x x → → + + + + − − − + = − 2 2 0 0 lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7 x x x x x x → → = + + + + + − − + = − 3) 2 2 4 2 6 3 3 3 2 2 ( 1)( 4) 5 4 lim lim 8 2 x x x x x x A x x → → − − − + = = − − 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2) lim lim 1 ( 2)( 2 4) 2 4 x x x x x x x x x x x x → → − − + − + = = = − + + + + . 4) 3 2 7 0 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 6 11 6 lim lim 6 x x x x x x x x A x x → → + + + − + + = = = . Ví d ụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1) 8 0 1 lim ( , *) 1 n m x x A m n x → − = ∈ − ℕ . 2) 9 0 1 1 lim ( *, 0) n x ax A n a x → + − = ∈ ≠ ℕ . Giải: 1) 1 2 8 1 2 0 ( 1)( 1) lim ( 1)( 1) n n m m x x x x x A x x x x − − − − → − + + + + = − + + + + 1 2 1 2 0 1 lim 1 n n m m x x x x n m x x x − − − − → + + + + = = + + + + . 2) Cách 1: Nhân liên h ợp 1 2 9 0 1 2 ( 1 1)( (1 ) (1 ) 1 1) lim ( (1 ) (1 ) 1 1) n n n n n n x n n n n n ax ax ax ax A x ax ax ax − − → − − + − + + + + + + + = + + + + + + + 0 1 2 lim (1 ) (1 ) 1 1 x n n n n n a a n ax ax ax → − − = = + + + + + + + . Cách 2: ðặt ẩn phụ Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 6 - ðặt 1 1 n n t t ax x a − = + ⇒ = và 0 1 x t → ⇔ → 9 1 1 1 1 1 lim lim 1 ( 1)( 1) n n n t t t t a A a a n t t t t t − → → − − ⇒ = = = − − + + + + . Ví d ụ 3: Tình các giới hạn sau 1) 10 0 1 1 lim 1 1 n m x ax A bx → + − = + − 2) 3 4 11 0 1 1 1 1 lim x x x x A x α β γ → + + + − = Giải: 1) Áp d ụng bài toán trên ta có: 10 0 0 1 1 lim . lim . 1 1 n m x x ax x a m am A x n b bn bx → → + − = = = + − . 2) Ta có: 3 4 1 1 1 1 x x x α β γ + + + − = 3 4 3 1 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1) x x x x x x α β γ α β α = + + + − + + + − + + − . 4 3 3 11 0 0 0 1 1 1 1 lim ( 1 1 ) lim 1 1 1 lim x x x x x A x x x x x x x γ β α β α α → → → + − + − = + + + + + − + 11 4 3 2 A γ β α = + + ( Áp dụng kết quả bài 9 A ). Ví d ụ 4: Tìm các giới hạn sau: 1) 12 2 1 2 1 lim 1 x x x A x → − − = − 2) 3 13 2 3 2 lim 3 2 2 x x x A x → + − = − − Giải: 1) 2 12 1 1 ( 1) 2 1 lim lim 0 ( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 ) x x x x x A x x x x x x x → → − − − − = = = − + − + + − + . 2) 3 13 3 2 2 3 (3 2 )( 3 2 2) lim 3( 2)( (3 2) 2 3 2 4) x x x x A x x x → + − − + = − + + + + 2 3 2 2 3 ( 2 1)( 3 2 2) lim 3( (3 2) 2 3 2 4) x x x x x x → − + + − + = + + + + . 13 1 A ⇒ = − . Ví d ụ 5: Tìm các giới hạn sau 1) 3 14 1 7 1 5 1 lim 1 x x x A x → + − − = − 2) 3 15 4 7 2 20 lim 9 2 x x x A x → + − + = + − . Giải: 1) 3 14 1 7 1 2 ( 5 1 2) lim 1 x x x A x → + − − − − = − 3 1 1 7 1 2 5 1 2 lim lim 1 1 x x x x I J x x → → + − − − = + = + − − . Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 7 - 3 1 2 3 7( 1) 7 lim 12 ( 1)( (7 1) 2 7 1 4) x x I x x x → − = = − − + − + . 1 1 5( 1) 5 5 lim lim 3 ( 1)( 5 1 1) 5 1 1 x x x J x x x → → − = = = − − + − + V ậy 14 9 4 A = . 2) Ta có: 3 3 15 4 4 7 7 2 3 20 3 2 20 7 7 lim lim 9 2 9 2 7 x x x x x x x x A x x x → → + − + − − + − + − − = = + − + − − mà: 7 7 2 3 1 1 lim lim 7 6 2 3 x x x x x → → + − = = − + + 3 3 3 2 7 7 20 3 1 1 lim lim 7 27 ( 20) 3 20 9 x x x x x x → → + − = = − + + + + . 4 4 4 4 3 2 7 7 9 2 1 1 lim lim 7 32 ( 9) 2( 9) 4 9 8 x x x x x x x → → + − = = − + + + + + + . V ậy 15 1 1 112 6 27 1 27 32 A − = = . Bài t ập: Tìm các gi ới hạn sau: 1) 2 5 3 2 2 5 2 lim 3 2 x x x B x x → − + = − − 2) 4 6 3 1 3 2 lim 2 3 x x x B x x → − + = + − 3) 7 2 3 2 3 lim 4 3 x x x B x x → + − = − + 4) 3 8 4 0 1 1 lim 2 1 1 x x B x → + − = + − 5) 3 9 4 7 4 1 2 lim 2 2 2 x x x B x → − − + = + − 6) 3 10 2 0 1 2 1 3x lim x x B x → + − + = 7) 11 2 1 ( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 1 lim 1 x x x x x B x → + + + + − = − . 8) 3 3 2 2 12 0 4 2 4 2 lim 2 2 x x x x x B x x → − + − + + = + − − . Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 8 - Dạng 3: Tìm ( ) lim ( ) x f x B g x →±∞ = , trong ñó ( ), ( ) f x g x → ∞ , dạng này ta còn gọi là dạng vô ñịnh ∞ ∞ . Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô ñịnh ở dãy số. Ta cần tìm cách ñưa về các giới hạn: * 2 ( ) lim k x x x →+∞ →−∞ = +∞ ; 2 1 ( ) lim ( ) k x x x + →+∞ →−∞ = +∞ −∞ . * ( ) lim 0 ( 0; 0) n x x k n k x →+∞ →−∞ = > ≠ . * 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( 0) ( ) x x x x k f x k f x → → = +∞ −∞ ⇔ = ≠ . Ví d ụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1) 2 16 2 3 5 1 lim 2 1 x x x A x x →+∞ + + = + + 2) 0 1 17 0 0 0 1 lim ( 0) n n n m x m m a x a x a A a b b x b x b − →+∞ − + + + = ≠ + + + . Giải: 1) Ta có: 2 2 2 16 2 2 2 5 1 5 1 (3 ) 3 3 lim lim 1 1 1 1 2 (2 ) 2 x x x x x x x A x x x x x →+∞ →+∞ + + + + = = = + + + + 2) Ta có: 1 1 0 1 17 1 1 0 1 ( ) lim ( ) n n n n n x m m m m m a a a x a x x x A b b b x b x x x − − →+∞ − − + + + + = + + + + * N ếu 1 1 0 1 0 17 1 1 0 0 1 lim n n n n x m m m m a a a a a x x x m n A b b b b b x x x − − →+∞ − − + + + + = ⇒ = = + + + + . * N ếu 1 1 0 1 17 1 1 0 1 lim 0 ( ) n n n n x m n m m m m a a a a x x x m n A b b b x b x x x − − →+∞ − − − + + + + > ⇒ = = + + + + ( Vì t ử 0 a → , mẫu 0 → ). * N ếu m n < Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 9 - 1 1 0 1 0 0 17 0 0 1 1 0 1 ( ) khi . 0 lim khi 0 n m n n n n x m m m m a a a x a a b x x x A a b b b b b x x x − − − →+∞ − − + + + +  +∞ >  ⇒ = =  −∞ <   + + + + . Ví d ụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1) 2 2 18 2 1 1 lim 2 2 x x x A x →+∞ + − + = + 2) 2 19 2 3 2 1 lim 1 1 x x x A x →−∞ − + + = + − . Giải: 1) Ta có: 2 2 18 1 1 | | 2 | | 1 lim 2 (2 ) x x x x x A x x →+∞ + − + = + 2 2 1 1 2 1 2 1 lim 2 2 2 x x x x →+∞ + − + − = = + . 2) 2 2 19 2 2 1 1 | | 3 | | lim 1 1 | | ( 1 ) | | x x x x x x A x x x →−∞ − + + = + − 2 2 2 2 1 1 3 lim 3 1 1 ( 1 ) | | x x x x x x →−∞ − − − + = = − + − . Ví d ụ 3:Tìm các giới hạn sau 1) 3 3 2 20 4 4 3 1 2 1 lim 4 2 x x x x A x →−∞ + − + + = + 2) 2 21 3 3 1 2 1 lim 2 2 1 x x x x A x →+∞ + − + = − + . Giải: 1) Ta có: 3 3 3 2 20 4 4 1 1 1 3 2 3 2 lim 2 2 4 x x x x x x A x x →−∞ + + + + + = = − − + . 2) 2 2 2 2 2 21 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 ( 1 ) ( 1 ) lim 2 1 2 1 ( 2 ) 2 x x x x x x x x x A x x x x x →+∞ + − + + − + = = = +∞ − + − + (do t ử → +∞ , mẫu 3 2 → ). Bài t ập: Tìm các gi ới hạn sau 1) 3 4 13 7 (2 1) ( 2) lim (3 2 ) x x x B x →+∞ + + = − 2) 2 14 2 4 3 4 2 lim 1 x x x x B x x x →−∞ − + − = + + − Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 - 3) 2 15 2 2 3 2 lim 5 1 x x x B x x →+∞ + + = − + 4) 4 6 16 3 4 ln(1 ) lim ln(1 ) x x x B x x →−∞ + + = + + D ạng 4 : Dạng vô ñịnh: ∞ − ∞ và 0. ∞ Phương pháp: Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng ∞ ∞ . Ví d ụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1) 2 22 lim ( 1 ) x A x x x →+∞ = − + − 2) 2 23 lim (2 4 1) x A x x x →−∞ = + − + Giải: 1) Ta có: 2 2 2 2 22 2 2 ( 1 )( 1 ) 1 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x A x x x x x x →+∞ →+∞ − + − − + + − + − = = − + + − + + 22 2 1 1 lim 2 1 x x A x x x →+∞ − + ⇒ = = − − + + . 2) 2 2 23 2 (2 4 1)(2 4 1) lim 2 4 1 x x x x x x x A x x x →−∞ − − + + − + = − − + 2 1 1 lim 4 2 4 1 x x x x x →−∞ + = = − − + . Ví d ụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1) 3 3 2 2 24 lim ( 3 2 ) x A x x x x →−∞ = − + − 2) 2 2 25 lim ( 2 2 ) x A x x x x x x →+∞ = + − + + . Giải: 1) Ta có: 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) x x x x x x x x x x − + − = − − + − + 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 ( 3 ) 3 2 x x x x x x x x x x x − − = + − + − + − − 24 2 3 3 3 2 lim lim 0 3 3 2 (1 ) 1 1 1 1 x x A x x x →−∞ →−∞ − − ⇒ = + = − + − + − − − . 2) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + − − + − + + = + + + + 2 2 2 2 1 2 2 2 x x x x x x x x x + − − = + + + + 2 2 2 2 ( 2 2 )( 2 1) x x x x x x x x x − = + + + + + + + [...]... 3x + 1 − 4x 2 + 2) x →+∞ x →−∞ 3 4) B20 = lim ( 8x 3 + 2x − 2x) x →+∞ 3 6) B22 = lim (x − 1 − x 3 ) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa x →−∞ - 11 - Gi i h n hàm s D ng vô ñ nh các hàm lư ng giác PP: Ta s d ng các công th c lư ng giác bi n ñ i v các d ng sau: sin x x tan x x * lim = lim = 1 , t ñây suy ra lim = lim = 1 x →0 x x → 0 sin x x →0 x x → 0 tan x sin u(x ) tan u(x ) * N u lim...Gi i h n hàm s ⇒ A25 = lim x →+∞ −2x 2 ( x 2 + 2x + 2 x 2 + x + x )( x 2 + 2x + x + 1) −2 A25 = lim x →+∞ ( 1+ 2 1 2 1 + 2 1 + + 1)( 1 + + 1 + ) x x x x =− 1 4 Ví d 3: Tìm gi i h n: A26 = lim [n (x + a1 )(x +... d ng k t qu bài A27 ta có: 2 sin2 A29 = lim x →0 1 − cos x x2 + lim cos x cos 2x x →0 1 − cos 3x x2 + lim cos x x →0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 1 − cos 2x x2 =3 - 12 - Gi i h n hàm s Ví d 3: Tìm các gi i h n sau: cos 2x − cos 3x tan2 2x 3) A32 = lim x → 0 x (sin 3x − sin 4x ) x → 0 1 − 3 cos 2x 1 − cos 2x 3x x →0 2 sin 2 1) A30 = lim 2) A31 = lim Gi i: 3x 2 = 0 3x 2 sin 2 sin... 2) Ta có: ∑ (−1)k k cos kx = k =1 k Mà lim x →0 1 − cos kx x2 2008 ∑ (−1)k +1(1 − k cos kx ) k =1 = 1 (∀k = 1, 2, , 2008) ⇒ A34 = 0 2 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 13 - Gi i h n hàm s Ví d 5: Tìm gi i h n x2 1) A35 = lim 1 + x sin 3x − cos 2x x →0 sin2 2x 2) A36 = lim x → 0 3 cos x − 4 cos x Gi i: 1 1) Ta có: A35 = lim 1 + x sin 3x − cos 2x x →0 x2 Mà: lim 1 + x sin 3x − cos 2x... = lim (sin x + 1 − sin x ) x x →+∞ x →0 Gi i: 1 1) Ta có: 0 ≤| x α sin |< x α Mà lim x α = 0 x x →0 Nên theo nguyên lí k p ⇒ A39 = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 14 - Gi i h n hàm s 2) Trư c h t ta có: sin x < x Ta có: ∀x > 0 x +1 − x x +1 + x cos |< 2 2 | sin x + 1 − sin x |=| 2sin 1 lim x +1 + x x →+∞ 1 x +1 + x Mà = 0 nên A40 = 0 Bài t p: Tìm các gi i h n sau 1 − 3 1 +... 2 π 1 − sin( cos x ) 2 5) B27 = lim sin(tan x ) x →0 7) B29 = lim m cos ax − m cos bx x →0 3 sin x + 2 cos x 6) B28 = lim sin2 x x →+∞ x +1 + x 3 2x2 + 1 − 3x2 + 1 8) B20 = lim 1 − cos x x →0 Gi i h n hàm s mũ và Lôgarít ln(1 + x ) ex − 1 = lim = 1 x x →0 x →0 x S d ng gi i h n ñ c bi t: lim T ñây ta có h qu : ln(1 + u(x )) eu(x ) − 1 = lim = 1 u(x ) x → x 0 u(x ) x →x 0 N u lim u(x ) = 0 thì lim x... 3 1 − 3x − 1 x → 0 2x + 1 − 1 x → 0 e 2x + 1 −1 − 1 2x + 1 − 1 = lim 3 e 1 − 3x −1 − 1 x → 0 3 1 − 3x −1 2x + 1 − 1 =1 x x →0 = 1 ; lim Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 15 - Gi i h n hàm s 3 1 − 3x − 1 = −1 Nên ⇒ A42 = 1 + 1 = 2 x x →0 và lim Ví d 2: Tìm các gi i h n sau ax − 1 x →0 x 1) A44 = lim ln | x | − ln(3 3x + 1 + 1) | x + 1 − 1 |] x x →0 2) A43 = lim Gi i: 1) ð t t = a... h n sau: (1 + x )α − 1 1) A46 = lim (α > 0) x x →0 Gi i: ( 1) Ta có: 1 + x α ) ax − xa 2) A47 = lim x →a x − a − 1 = eα ln(1 + x ) − 1 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 16 - Gi i h n hàm s (1 + x )α − 1 eα ln(1 + x ) − 1 α ln(1 + x ) eα ln(1 + x ) − 1 α ln(1 + x ) ⇒ = ⇒ A46 = lim =α x x x α ln(1 + x ) x → 0 α ln(1 + x ) (1 + u(x ))α − 1 =α u(x ) x →0 Chú ý : T ng quát ta có: N u...  và lim Mà lim x →0 4 3x + 1 −1 − 1 3x + 1 − 1 = 2 ln 2 ; lim x →0 3x + 1 − 1 x2 − x 3x + 1 − 1 1 3 lim =− 2 x x →0 x →0 x − 1 = lim Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 17 - Gi i h n hàm s 3x ) x2 − x 1 − cos 3x 9 x2 2 lim lim = lim = 0 ; lim =1 2 x → 0 3 2 x → 0 3x + 1 − 1 x → 0 ln(x 2 − x + 1) x → 0 3x + 1 − 1 ( x) 2 ⇒ A49 = −3 ln 2 sin2 ( ∞ Gi i h n 1 Phương pháp: D a vào các... 2 + x + 1 2 cot2 x 1) A53 = lim (1 + x ) x →0 Gi i: 1 x2 lim x2 2 2 2 1) Ta có: A53 = lim (1 + x 2 )x tan x = e x → 0 tan x = e x →0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa - 18 - Gi i h n hàm s 2) Ta có x2 − x + 1 x2 + x + 1 ⇒ A54 = lim (1 − x →0 =1− 2x 2x x2 + x + 1 − ) x +x +1 và 2x + 1 x 2 + x + 1 −2(2x + 1) ) = (− 3x 2x 3(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 −2(2x + 1) 2x 3(x 2 + x + 1) lim =e . th ường sử dụng các giới hạn ñặc biệt trên ñể tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. CÁC D ẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP . Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 - Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. ðịnh nghĩa: 1.1. Gi ới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa ñiểm 0 x . Ta nói rằng hàm. f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng 0 ( ) f x * Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).