ma traän A = 7 4 1 6 2 5 8 −2 −2 −5 . Tính A2010, bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3. Caâu 2 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0 2x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 0 3x1 + x2 − 5x3 − 8x4 = 0 5x1 + 3x2 − 7x3 − 1 2x4 = 0 Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø A = 2 1 −1 1 3 4 −1 1 0 . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 ,2, 1 ) , ( 1 ,1 ,2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 0,1 , 1 ) , ( 1 , 0, 1 ) ; ( 1 , 1 ,1 ) } laø A = 2 1 −1 3 2 4 4 3 9 . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf. Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 =ma traän A = 7 4 1 6 2 5 8 −2 −2 −5 . Tính A2010, bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3. Caâu 2 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0 2x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 0 3x1 + x2 − 5x3 − 8x4 = 0 5x1 + 3x2 − 7x3 − 1 2x4 = 0 Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø A = 2 1 −1 1 3 4 −1 1 0 . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 ,2, 1 ) , ( 1 ,1 ,2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 0,1 , 1 ) , ( 1 , 0, 1 ) ; ( 1 , 1 ,1 ) } laø A = 2 1 −1 3 2 4 4 3 9 . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf. Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 =ma traän A = 7 4 1 6 2 5 8 −2 −2 −5 . Tính A2010, bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3. Caâu 2 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0 2x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 0 3x1 + x2 − 5x3 − 8x4 = 0 5x1 + 3x2 − 7x3 − 1 2x4 = 0 Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø A = 2 1 −1 1 3 4 −1 1 0 . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 ,2, 1 ) , ( 1 ,1 ,2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : IR3 −→ IR3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 0,1 , 1 ) , ( 1 , 0, 1 ) ; ( 1 , 1 ,1 ) } laø A = 2 1 −1 3 2 4 4 3 9 . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf. Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 =
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tìm tất nghiệm phương trình z + i = Câu : Trong không gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 + x3 = }, G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + x2 + x3 = } Tìm chiều sở F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính sở −2 E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } vaø F = {( , −1 ) , ( , ) } A = Tìm f ( , , ) Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( , , ) = ( , ) ; f ( , , ) = ( , ) ; f( , , ) = ( , −1 ) Tìm sở E chiều Ker f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( , ) = ( −5 , −1 ) ; f( , ) = ( , ) Tìm tất trò riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 thoả ∀( x1 , x2 ) ∈ IR2 : f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , x1 − x2 ) Tìm ma trận AE,E f cặp sở E, E, với E = {( , −1 ) , ( , ) } Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc cho x = ( , , , ) không gian H = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 + x4 = & x1 + x2 − x3 + x4 = } Tìm hình chiếu vuông góc prH x từ x xuống không gian H Câu : Tìm ma trận đối xứng thực A cấp (không ma trận chéo), cho A có ba trò riêng ,4 ,5 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút √ i2007 ( − + i) Caâu : Tìm argument số phức z = ( + i) 18 Câu : Tìm ma trận X thoả X · 1 −1 −1 = 1 22 −1 −2 Caâu : Trong IR3 cho hai khoâng gian F = {( , , ) ; ( , , ) } vaø G = {( , , ) ; ( −1 , , ) } Tìm sở chiều không gian F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , , −1 ) ; f ( , , ) = ( , , ) ; f ( , , ) = ( −1 , , ) Tìm f ( x) Câu : Trực chuẩn hoá sở E = {( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) } IR3 Câu : Cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 − x2 − x3 = & x1 + x2 + x3 = } vaø G =< ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , m) > Tìm m để F trực giao với G Câu : Tìm m để λ = giá trò riêng ma trận A = −2 m −5 3 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR −→ IR có ma trận sở tắc A = −3 −5 −3 −6 Tìm sở (nếu có) IR3 để ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Giải phương trình z + z + z − z − = , bieát z = −2 + i nghiệm Câu : Tính đònh thức ma trận A100 , biết A = −3 Câu : Tìm m để r( A) = , bieát A = 4 −1 m −1 Câu : Trong P2 [x], cho không gian F = {p( x) | p( ) = } tích vô hướng ( p, q) = Tìm m để véctơ f ( x) = x − x + m thuộc không gian F p( x) q( x) dx ⊥ Caâu : Trong IR4 cho khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = & x1 +3 x2 −x3 −3 x4 = } véctơ x = ( , , , ) Tìm hình chiếu vuông góc x xuống F Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t ma E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = Tìm ma trận B f sở tắc trận của f sở −1 −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm m để x = ( m, −1 , ) véctơ riêng f Câu : Đưa dạng toàn phương sau tắc BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi: f( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút −1 + i Câu : Tính z = √ ( − i) 17 Câu : Trong IR3 , với tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , cho khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = } Tìm m để véctơ x = ( , , m) ∈ F ⊥ −3 Caâu : Tìm m để A khả nghòch, biết A = −1 m Câu : Trong P2 [x], cho hai không gian F =< x + , x2 − > vaø G =< x2 + , x + > Tìm chiều sở F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm ma trận B f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f IR3 E = ( , , ) ; ( , , ) , ( , , ) laø A = : −→ −1 I R3 , biết ma trận f sở Tìm sở chiều Kerf Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , ) ; f ( , ) = ( , ) Tìm sở B IR2 cho ma trận f B ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân sinh ( , , ) ; ( , , ) vaø f ( , , ) = ( , , ) Tìm trò riêng sở không gian riêng Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Giải phương trình z + z − = C Câu : Tính A2 − I, với I ma trận đơn vò cấp vaø A = 1 −1 Câu : Trong không gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , ) , ( , −2 , ) > Tìm chiều sở ( F ∩ G) ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR 3, E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } laø A = Câu : Chéo hóa ma trận A = 2 biết matrận ánh xạ tuyến tính sở −1 Tìm sở chiều Im f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x2 − x3 ) Tìm ma trận A f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 + x1 x2 + x22 dạng tắc biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi Câu : Tìm m để λ = giá trò riêng ma trận A = −2 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh m −5 Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút −3 Câu : Tìm m để det( A) =2 với A = 5 −1 m Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = & x1 +x2 +2 x3 −3 x4 = & x1 +3 x2 +5 x3 −7 x4 = } Tìm số chiều sở F ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = Tìm sở số chiều Imf ma trận của f sở −1 −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm ma trận f sở tắc Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x21 + x23 − x1 x2 + x1 x3 − x2 x3 tắc BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi ( biết ma trận dạng toàn phương có trò riêng laø , , −4 ) Câu : Cho ma trận A = −4 −1 −3 −1 −1 Tìm trò riêng ma trận ( A) 10 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( x) = f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , x1 + x2 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Câu : Chứng tỏ λ trò riêng ma trận A cấp n, λk trò riêng Ak , với ∀k ∈ N Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính z = √ −i Câu : Giả i hệ phương trình: z x + y − x + y + z x + y x + y − z + + + + t=0 t=0 t=0 t=0 Câu : Trong IR3 cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , −2 ) > Tìm sở chiều F + G Câu : Trong P2 [x] với tích vô hướng ( p, q) = p( x) q( x) dx, cho khoâng gian F = {p( x) |p( ) = & p( ) = } Tìm sở chiều F ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + x3 , x1 − x2 , x1 + x2 − x3 ) Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f cặp sở E = {( , , ) , ( , , , ( , , ) }; F = {( , −1 ) , ( , ) } Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở −1 E = {( , , ) , ( , , , ( , , ) }; F = {( , ) , ( , ) } laø A = Tìm sở chiều Kerf Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( , ) = ( , ) ; f ( , −1 ) = ( , −6 ) Tìm sở E (nếu có) IR2 cho ma trận f E ma trận chéo D Tìm D Câu : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 biết f có ba trò riêng −2 , , ba véc tơ riêng ( , , ) , ( , , −1 ) , ( , , ) Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính: I = ( −1 + i) 25 √ ( − i ) 15 Caâu : Trong khoâng gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + x2 − x3 = } Tìm chiều sở F + G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính sở −2 E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } vaø F = {( , ) , ( , ) } laø A = Tìm f ( , , ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết f( , , ) = ( , ) ; f( , , ) = ( , −1 ) ; f( , , ) = ( , ) Tìm sở chiều Ker f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , −1 ) ; f( , −1 ) = ( , −3 ) Tìm tất trò riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 , x1 − x2 + x3 , x2 + x3 ) Tìm ma trận AE,E f cặp sở E, E, với E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f làphép đối xứng qua mặt phẳng x + y − z = hệ trục toạ độ Đề Các Oxyz Tìm tất véctơ riêng f −2 véctơ x = Câu : Cho ma trận A = m+5 −3 −1 Với giá trò m x véctơ riêng A 3 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tìm m để ma trận sau khả nghòch A = −3 −1 0 2 m Câu : Trong không gian IR3 với tích vô hướng tắc cho hai không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +x2 +x3 = ; x1 +3 x2 − x3 = } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +2 x2 − x3 = } Tìm chiều sở ( F + G) ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR 3, E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } A = Tìm sở chiều Ker f biết matrận ánh xạ tuyến tính sở −1 −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( , , ) = ( , , ) ; f ( , , ) = ( , , −1 ) ; f( , , ) = ( , , ) Tìm f ( x) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 − x3 , −4 x1 + x2 + x3 ; −2 x1 + x2 + x3 ) Tìm tất véctơ riêng f ứng với trò riêng λ1 = x1 x Caâu : Giải hệ phương trình x1 x1 + x2 + x2 + x2 + x2 + x3 + x3 + x3 + x3 − x4 − x4 − x4 − x4 = = = = −2 Câu : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát x1 = ( , ) ; x2 = ( , ) véctơ riêng tương ứng với trò riêng λ1 = ; λ2 = Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( x) = ( x1 + x2 , −3 x1 − x2 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính det( A) 100 , với I ma trận đơn vò cấp A = −2 −1 Caâu : Trong không gian IR3 với tích vô hướng tắc cho hai không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , ) , ( , −2 , ) > Tìm chiều sở ( F ∩ G) ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR 3 , biết ma trậ n ánh xạ tuyến tính sở 2 −2 −1 E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } laø A = −1 1 Tìm m để véctơ ( , , m) véctơ riêng f Câu : Tìm x x x x chieàu + y + y + y + y vaø + + + + z + t z − t z − t z − t sở = = = = trực chuẩn không gian nghiệm hệ 0 0 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , ) ; f( , −1 ) = ( , −1 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 − x2 + x3 , x1 − x2 + x3 ) Tìm ma trận A f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } −1 −2 = A Câu : Cho ma trận vuông cấp A = Tìm ma trận B cho B 2010 1 Caâu : Chứng minh A ma trận vuông cấp n khả nghòch λ = không trò riêng A Giả sử λ0 trò riêng ma trận A, chứng tỏ trò riêng A−1 λ0 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Cho ma trận A = −2 Câu : Tìm chiều x1 + x + x + x1 + Câu : Cho nh xạ A= −1 vaø x2 x2 x2 x2 − − − − tuyến −1 −2 cô x3 x3 x3 x3 Tính A2010 , biết A có hai trò riêng −5 sở TRỰC − x4 − x4 − x4 − x4 CHUẨN không gian nghiệm hệ phương trình = = = = 3 tính f : IR −→ IR , biết ma trận f sở tắc Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = ma trận củ a f sở −1 Tìm sở số chiều kerf Câu : ChoA ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = Chứng tỏ A chéo hoá A ma trận không Câu : Tìm m để ma trận A = −2 −2 có ba trò riêng dương (có thể trùng nhau) m Câu : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình x2 +2 xy+5 y −2 Nhận dạng vẽ đường cong ( C) √ √ x+4 y = Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể m −2 −1 −4 −1 D = Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 1ñ) A = P DP ; P = −1 1 1 0 2010 2010 2010 −1 −1 2010 ; D A = P D P , tính P = = 2010 −1 −1 −3 0 Câu (1.5đ) Tìm sở tùy ý không gian nghiệm: E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) Dùng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , ) } Chuaån hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) } 0 } Câu (1.5đ) Có nhiều cách làm Ma trận chuyển sở từ tắc sang E laø: P = 1 1 1 −1 −2 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở E B = P −1 AP = −2 −3 −9 −2 T Câu 4(1.5đ) Giả sử x ∈Kerf ; [x]E = ( x1 , x2 , x3 ) Khiđó f ( x) = ⇔ [f( x) ]E = ⇔ A · [x]E = α −1 x1 x2 = ⇔ [x]E = −1 α ⇔ ⇔ x = ( −1 α, α, −4 α) x3 α Dim( Kerf ) = , sở: ( , −7 , ) Câu (1.5đ) Vì A10 = nên A có trò riêng λ = (theo tính chất, λ0 TR A, 10 −1 λ10 , D ma trận nên A = TR A A chéo hóa ⇔ A = P · D · P Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực có ba trò riêng dương, suy dạng toàn phương tương ứng xác đònh dương ( hay ma trận cho xác đònh dương) Theo Sylvester, A xác đònh dương đònh thức dương ⇔ δ1 = > , δ2 = > , δ3 = det( A) = m − > ⇔ m > Câu 7(1.0đ) Xét dạng toàn phương x21 + x1 x2 + x22 có ma trận A = Chéo hóa trực 1 −1 ma trận chéo D = giao ma trận A ma trận trực giao P = √ 1 1 −1 Đường cong ( C) có ptrình hệ trục Ouv với hai véctơ sở √ , √ , √ , √ laø: 2 2 ( u + 61 ) + ( v + 34 ) = 11 Đây đường cong ellipse Hệ trục Ouv thu từ hệ Oxy cách 12 o quay góc ngược chiều kim đồng hồ ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : a/ Cho ma trận A = −3 −4 a/ Chéo hoá ma trận A b/ Áp dụng, tìm ma trận B cho B 20 = A Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A = Tìm ma trận f sở tắc Câu : Cho ma trận A = −3 ma traän A −2 Câu : Tìm m để vectơ X = ( , , m) Caâu : Tìm m để ma trận A = −2 ma trận củ a f sở −1 −3 Tìm trò riêng, sở không gian riêng T −5 véctơ riêng ma trận A = −3 −3 m −4 3 −2 −4 coù hai trò riêng dương trò riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép quay hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều kim đồng hồ góc o Tìm ánh xạ tuyến tính f Giải thích rõ Câu : Cho A ma trận vuông cấp n Chứng tỏ A khả nghòch λ = KHÔNG trò riêng A Khi A khả nghòch chứng tỏ λ trò riêng A, trò riêng A−1 λ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP −1 ; P = D= −1 −1 20 20 −1 Ta coù A = √ P · D · P Giả sử B = Q · D1 · Q , ta coù B = Q · D1 · Q = A Choïn Q = P vaø 20 √ D1 = Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1 20 Câu (1.5đ) Có nhiều cách làm Gọi ma trận chuyể n sở từ E sang tắc làP Khi ma 1 trận chuyển sở từ tắc sang E laø : P −1 = 1 Ma trận ánh xạ tuyến tính −6 sở tắc B = P −1 AP = −9 −1 Câu (1.5đ) Giả sử λ0 trò riêng cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 Khi A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 Lập ptrình đặc trưng, tìm TR A: λ1 = , λ2 = , Cơ sở Eλ1 : {( −1 , , ) T , ( −1 , , ) T }, cuûa Eλ2 : {( , −3 , ) T } TR cuûa A6 : δ1 = , δ2 = , Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 , , ) T , ( −1 , ,1 ) T }, cuû a Eδ2 : {( , −3 , ) T } −5 3 2 Caâu (1.5đ) x VTR A ⇔ A · x = λ · x ⇔ −3 = λ · ⇔ m = −3 m m Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x1 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − 1 ) x23 Ma traän A có TR dương, TR âm ⇔ m < 1 Câu (1.5đ) f : IR2 −→ IR2 f xác đònh hoàn toàn biết ảnh sở IR2 Chọn sở tắc E = {( , ) , ( , ) } √ √ √ √ Khi f ( , ) = ( 21 , −2 ) ,f ( , ) = ( 23 , 12 ) f ( x, y) = ( x2 + y , −x2 + y2 ) Câu (1.0đ) A khả nghòch ⇔ det( A) = ⇔ λ = không TR A Giả sử λ0 TR cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = ) → đpcm ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc, cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = & x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = & x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = } Tìm chiều sở TRỰC CHUẨN F Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế a f sở t ma trận củ −1 −2 E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = −3 −3 Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = Tìm sở số chiều Imf ma trận củ a f sở −4 Câu : Cho A B hai ma trận đồng dạng Chứng tỏ A chéo hoá B chéo hoá Câu : Tìm m để ma trận A = −1 −1 m có trò riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + x3 , −2 x1 + x2 + x3 , x1 − x2 + x3 ) Tìm m để véctơ x = ( , , m) véctơ riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép đối xứng hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng x−3 y = Tìm tất trò riêng sở không gian riêng f Giải thích rõ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm Câu 1(1.5đ) Tìm sở tùy ý cuûa F : E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) } Dùng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , Chuẩn hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) } 1 Caâu 2(1.5đ) Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P · D · P −1 , P = D = Cơ sở cần tìm B = {( , , 1 ) , ( , , ) , ( , , 1 ) } Ma trận f B D VTR A, phải đổi sang sở tắc!! )} 0 0 Các cột P Câu 3(1.5ñ) Dim(Imf ) = r( A) = ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( , , ) , f ( , , ) , f ( , , ) >= =< ( , , ) , ( , , ) , ( −2 , −4 , −2 ) > Cơ sở Im( f ) {( , , ) , ( , , ) ( −2 , −4 , −2 ) } Caùch khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( A) = , nên Im( f ) IR3 sở Im( f ) sở tắc IR3 Câu 4(1.0đ) A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 · A · Q Giả sử A chéo hóa ⇔ A = P · D · P −1 −1 Khi B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →ñpcm Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x21 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − ) x22 A có TR aâm ⇔ m < Caâu (1.5đ) x VTR f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( , , m) = λ · ( , , m) ⇔ ( −2 + m, −2 + m, m) = ( λ, λ, λm) ⇔ m = ∨ m = Câu (1.5đ).f : IR2 −→ IR2 VTR véctơ qua phép biến đổi có ảnh phương với véctơ ban đầu Các véctơ phương với véctơ phương a = ( , ) đường thẳng tất VTR tương ứng với TR λ1 = ; véctơ phương với véctơ pháp tuyến n = ( , −3 ) đường thẳng tất VTR tương ứng với λ2 = −1 Vì f axtt không gian chiều nên không VTR khác Kluận: Cơ sở Eλ1 : ( , ) cuûa Eλ2 : ( , −3 ) ...Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính. .. Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính. .. Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính