Tư tưởng song ánh trong một số bài toán đếm

Một trong những vấn đề đầu tiên của việc nghiên cứu tổ hợp là đếm xem có bao nhiêu cấu hình được tạo ra với các quy tắc đã nêu? Để đếm được chính xác ta phải phân biệt được các cấu hình dựa vào các quy luật xây dựng chúng. Vì thế có thể xem bài toán đếm là những bài toán luyện tập đầu tiên để con người làm quen với tư duy tổ hợp, điều này giải thích vì sao một số bài toán đếm đã được đưa vào phổ thông từ những năm mới đi học. Bài toán đếm rất phong phú từ dạng phát biểu cho đến cách giải. Độ khó của chúng cũng được trải rất rộng, có những công thức được tìm ra qua một vài suy luận đơn giản nhưng cũng có những công thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài hàng thế kỉ. Có những bài toán đếm gặp rất nhiều khó khăn, bế tắc nếu như giải bằng phương pháp trực tiếp, trong khi giải bằng phương pháp gián tiếp lại trở nên rõ ràng, đơn giản. Một phương pháp giải khá hiệu quả đối với lớp bài tập này đó chính là áp dụng nguyên lí song ánh.

Tên thành viên Nguyễn Quỳnh Anh Nguyễn Thị Phương Anh Nguyễn Minh Đức B Nguyễn Huy Hoàng A Nguyễn Khánh Ly Nguyễn Hải Minh Lê Minh Hồng Ngơ Bích Ngọc Nguyễn Anh Thư LỜI MỞ ĐẦU Một vấn đề việc nghiên cứu tổ hợp đếm xem có cấu hình tạo với quy tắc nêu? Để đếm xác ta phải phân biệt cấu hình dựa vào quy luật xây dựng chúng Vì xem toán đếm toán luyện tập để người làm quen với tư tổ hợp, điều giải thích số tốn đếm đưa vào phổ thơng từ năm học Bài toán đếm phong phú từ dạng phát biểu cách giải Độ khó chúng trải rộng, có cơng thức tìm qua vài suy luận đơn giản có cơng thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài hàng kỉ Có tốn đếm gặp nhiều khó khăn, bế tắc giải phương pháp trực tiếp, giải phương pháp gián tiếp lại trở nên rõ ràng, đơn giản Một phương pháp giải hiệu lớp tập áp dụng nguyên lí song ánh I Kiến thức Các khái niệm - Một ánh xạ 𝑓: X →Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x ∈ X phần tử xác định y ∈ Y, kí hiệu 𝑓(x) - Ta bảo ánh xạ 𝑓: X →Y song ánh hay ánh xạ đối từ X lên Y, với y ∈ Y có x ∈ X cho y = 𝑓(x) Nguyên lí song ánh - Nguyên lí song ánh: Cho A B hai tập hữu hạn khác rỗng 𝑓: A →B ánh xạ Khi đó, 𝑓 song ánh |𝐴| = |𝐵| - Phương pháp song ánh dựa vào ý tưởng đơn giản: Nếu tồn song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B |𝐴| = |𝐵| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm dễ đếm - Cho hai tập A B có n phần tử, số lượng song ánh 𝑓: A →B n! II Ứng dụng Bài toán mở đầu: Nguyên lí song ánh nghe đơn giản vận dụng khơng đơn giản chút Sẽ có câu hỏi: Tìm B đâu ra? Xây dựng song ánh nào? Tại B đếm dễ mà A lại khó? Ta tốn chia kẹo Euler: “ Có cách chia n viên kẹo cho k người? ” TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM Phân tích lời giải: ❑ Với k ≥ 1; n, k ∈ N Giả sử n kẹo xếp thành hàng ngang, chúng có n-1 khoảng trống Đặt cách k-1 vạch vào k-1 n-1 khoảng trống, ta cách chia n kẹo 𝑘−1 thành k phần gán cho k người Vậy số cách chia 𝐶𝑛−1 Nhận xét: - Kỹ thuật tạo vách ngăn kỹ thuật thường sử dụng toán phân chia phần tử từ tập hợp - Đặc điểm nhận biết: Yêu cầu toán đưa việc xếp hai hay nhiều phần tử không đứng cạnh ❑ Với k ≥ 0; n, k ∈ N Chúng ta phát biểu lại toán dạng khác: “ Cho n, k ∈ N Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình: 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑘 = n (1)” Xét ánh xạ 𝑓: A →B cho tương ứng (𝑥1 ; 𝑥2 ;…; 𝑥𝑘 ) ∈ A với (𝑦1 ; 𝑦2 ;…; 𝑦𝑘 ) ∈ B cho 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + ≥ 1, ∀𝑖 = 1, 𝑘 Khi đó, phương trình (1) trở thành 𝑦1 + 𝑦2 + … + 𝑦𝑘 = n + k với y ≥ Dễ dàng chứng minh 𝑓 song ánh Bằng cách tương tự trường hợp ta 𝑘−1 tìm |𝐴| = |𝐵| = 𝐶𝑛+𝑘−1 Lưu ý: Từ toán trên, ta thu tính chất cho phương trình: 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑘 = n (n, k ∈ N) * Tính chất 1: 𝑘−1 Với k ≥ số nghiệm ngun dương phương trình 𝐶𝑛−1 * Tính chất 2: 𝑘−1 Với k ≥ số nghiệm nguyên khơng âm phương trình 𝐶𝑛+𝑘−1 Mở rộng: Dưới toán chia kẹo Euler mức độ tổng quát hơn: Có cách chia n viên kẹo cho k người cho người có m viên kẹo? ( Bạn đọc tự chứng minh ) ⟹ Có thể nói tốn chia kẹo Euler ứng dụng trực tiếp phương pháp song ánh, quan trọng việc giải toán tổ hợp Sau đây, ta áp dụng tính chất rút từ tốn vào dạng tập tổng quát thường gặp Bài tốn 1: Có n vật giống hệt m hộp phân biệt (n≥ m; n, m ∈ 𝑁 ∗ ) a) Hỏi có cách phân phối hết n vật vào m hộp cho? TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM b) Hỏi có cách phân phối hết n vật vào m hộp cho cho hộp có vật? Phân tích lời giải: Đánh số hộp theo thứ tự từ đến m Giả sử ta phân phối hết n vật vào m hộp cho Gọi 𝑥𝑖 số vật phân phối cho hộp thứ i, với i = 1, 𝑚 a) Số cách phân phối thỏa mãn số nghiêm ngun khơng âm phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑚−1 … + 𝑥𝑚 = n 𝐶𝑚+𝑛−1 (cách) (theo tính chất 2) b) Số cách phân phối thỏa mãn hộp có vật số nghiệm nguyên dương hệ phương trình: { 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑚 = n 𝑥1 ≥ 1, ∀𝑖 = 1, 𝑚 𝑚−1 Kết cần tìm 𝐶𝑛−1 (theo tính chất 1) Bài tốn 2: Có n người xếp thành hàng dọc (n ≥ 1) Hỏi có cách chọn k người cho số khơng có hai người đứng liên tiếp hàng? Phân tích lời giải: ❖ Cách (kỹ thuật tạo vách ngăn) Lấy k phần tử ra, lại n – k phần tử Tính đầu tổng cộng có n – k + khoảng trống (giữa phần tử) Mỗi cách lấy k khoảng từ khoảng này, tương ứng chọn k phần tử thỏa mãn yêu cầu nêu 𝑘 Số cách cần tìm 𝐶𝑛−𝑘+1 ❖ Cách (nguyên lí ánh xạ) Ta đánh số n người số thứ tự 1,2,3,…,n Một cách chọn thích hợp số ≤ 𝑎1 < 𝑎2 ( tức ≥ 2) Vậy ta cần tìm số phần tử tập A = {(𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 )|1 ≤ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑘 ≤ n, 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ≥ 2, ∀𝑖 = 1; 𝑛 − 1} Xét ánh xạ 𝑓(𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ) = (𝑏1, 𝑏2 , … , 𝑏𝑘 ) với 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖 – i + rõ ràng ta có 1) 𝑏1 = 𝑎1 > 2) 𝑏𝑖+1 - 𝑏𝑖 = (𝑎𝑖+1 – (i+1) + 1) – (𝑎𝑖 – i + 1) = 𝑎𝑖+1 - 𝑎𝑖 – > 3) 𝑏𝑘 = 𝑎𝑘 – k +1 ≤ n – k + Suy (𝑏1, 𝑏2 , … , 𝑏𝑘 ) = (𝑎1 , 𝑎2 -1, 𝑎3 -2,…, 𝑎𝑘 -k+1) phần tử tập B B = {(𝑏1, 𝑏2 , … , 𝑏𝑘 )|1 ≤ 𝑏1 < 𝑏2 < ⋯ < 𝑏𝑘 ≤ n − k + } TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM Ta chứng minh song ánh Với hai (𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 ), (𝑎′1 ; 𝑎′2 ; 𝑎′3 ; … ; 𝑎′𝑘 ) ∈ A khác nghĩa chúng khác vị trí đó, giả sử vị trí thứ I, tức 𝑎1 ≠ 𝑎′𝑖 ⇒ 𝑎𝑖 – i + ≠ 𝑎′𝑖 – i + Hay hai (𝑎1 ; 𝑎2 -1; 𝑎3 -2;…; 𝑎𝑘 -k+1); (𝑎′1; 𝑎′2 -1; 𝑎′3 -2;…; 𝑎′𝑘 -k+1) khác Suy 𝑓 đơn ánh Với (𝑎1 ; 𝑎2 -1; 𝑎3 -2;…; 𝑎𝑘 -k+1) ∈ B rõ ràng cho (𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 ) ∈ A hay 𝑓 toàn ánh 𝑘 Vậy 𝑓 song ánh ⇒ |𝐴| = |𝐵| = 𝐶𝑛−𝑘+1 Nhận xét: Câu hỏi đặt ta lại nghĩ đến việc thiết lập mối quan hệ 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖 – i + 1? Bởi theo giả thiết, ta cần chọn 𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 số không liên tiếp, hay 𝑎1 < 𝑎2 -1 < < 𝑎3 -2 < …< 𝑎𝑘 - k + Từ đây, ta thiết lập song ánh hợp lý Mở rộng: Bài tốn phát biểu dạng hình học tổ hợp sau: Bài toán 2’: Trên đường thẳng cho điểm 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 tương ứng với số 1;2;…;n Có cách tơ màu k điểm n điểm cho khơng có điểm liên tiếp tô * Hướng dẫn: Đánh số điểm 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 tương ứng với 1;2;…;n Cách tô màu thỏa mãn đề cách chọn k số từ n số cho khơng có số liên tiếp chọn Theo toán 𝑘 kết 𝐶𝑛−𝑘+1 Bài tốn 3: Có n người xếp thành vòng tròn Có cách chọn k người cho khơng có hai người kề chọn? Phân tích lời giải: ❖ Cách 1: Bài tốn giải kết toán phương pháp “cắt đường tròn” Giả sử n người đánh số 1;2;…;n Ta xét trường hợp sau: 1) Người số chọn Khi người số số n không chọn Như ta phải chọn thêm k – người từ đến n – cho khơng có người kề chọn Vì n – khồng kề nên coi n – người xếp theo hàng dọc Theo kết 𝑘−1 𝑘−1 toán trên, số cách chọn 𝐶𝑛−3−(𝑘−1)−1 = 𝐶𝑛−𝑘−1 2) Người số khơng chọn Khi ta cần chọn k người từ số đến n cho người kề chọn Vì n khơng kề nên coi n – người xếp 𝑘 thành hàng dọc Theo kết toán trên, số cách chọn 𝐶𝑛−𝑘 TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM Vậy đáp số tốn là: (𝑛−𝑘−1)! (𝑛−𝑘)! (𝑛−𝑘−1)! 𝑛 𝑘 𝑘−1 𝑘−1 𝐶𝑛−𝑘−1 + 𝐶 𝑛−𝑘 = (𝑘−1)!(𝑛−2𝑘)! + 𝑘!(𝑛−2𝑘)! = 𝑘!(𝑛−2𝑘)! (k + n – k) = 𝑘 𝐶𝑛−𝑘−1 Nhận xét: Câu hỏi đặt toán ta lại áp dụng trực tiếp cách chọn Lí n phần tử xếp thành vòng tròn, ta thay đổi góc quay có vị trí có cách chọn giống nhau, lựa chọn bị lặp Do đó, ta cần cố định phần tử chọn từ (n – 1) phần tử lại ❖ Cách 2: Chọn người có n cách Coi người vị trí thứ Tiếp tục chọn k-1 người, ta kí hiệu k-1 người 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘−1 Khơng tính tổng qt, giả sử ≤ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑘−1 ≤ 𝑛 − Để k-1 người người kề ⇒ ≤ 𝑎1 < 𝑎2 − < ⋯ < 𝑎𝑘−1 − 𝑘 + ≤ ≤𝑛−𝑘+1 Từ suy số cách chọn 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘−1 số cách chọn k-1 số nguyên phân biệt không liên 𝑘−1 tiếp từ đế𝑛 𝑛 − 𝑘 + ⇒ 𝑐ó 𝐶𝑛−𝑘−1 𝑐á𝑐ℎ Cần ý rằng, vai trò k người nên số cách cần tìm là: 𝑛 𝑘−1 𝐶 𝑘 𝑛−𝑘−1 Nhận xét: Rõ ràng lời giải ngắn gọn nhiều Bởi ta tiếp tận toán theo hướng khác, để ý thấy phần tử phần tử đặc biệt Việc ưu tiên phần tử đặc biệt trước tư nên phát triển giải toán đếm Mở rộng: Bài tốn phát biểu dạng hình học tổ hợp sau: Bài toán 3.1: Trên đường tròn cho điểm 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 theo chiều kim đồng hồ Có cách tơ màu k điểm n điểm cho khơng có hai điểm liên tiếp tô * Hướng dẫn Xét điểm 𝐴1 Nếu 𝐴1 tơ màu hai điểm 𝐴2 ; 𝐴𝑛 không tô Suy số cách thỏa mãn số cách tô k – điểm số n – điểm 𝐴3 ; 𝐴4 ;…; 𝐴𝑛−1 cho khơng có hai 𝑘−1 điểm liên tiếp tô Kết 𝐶𝑛−𝑘−1 Nếu 𝐴1 khơng tơ màu số cách thỏa mãn số cách tô k điểm số điểm 𝑘 𝐴2 ;𝐴3 ;…; 𝐴𝑛 cho khơng có điểm liên tiếp tô Kết 𝐶𝑛−𝑘 𝑘−1 𝑘 Vậy tổng số cách 𝐶𝑛−𝑘−1 + 𝐶𝑛−𝑘 Bài toán 3.2: Cho đa giác lồi 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 với đỉnh đánh theo chiều kim đồng hồ Có cách tơ màu k đỉnh n đỉnh cho khơng có đỉnh liên tiếp tơ (Bài có cách giải tương tự toán 3.1) TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM * Những tư tưởng toán đặt cho vấn đề ứng dụng vào thực tế: Tìm số cách chặt k n cho hai liền kề bị chặt Bài tốn 4: Cho n, k ∈ N* < k ≤ n Hỏi có tất cách chọn k số đôi khác từ n số nguyên dương cho k số chọn ra, khơng có hai số hai số nguyên liên tiếp Phân tích lời giải: Gọi A = {(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 )|𝑎𝑖 ∈ {1; 2; … ; 𝑛}, |𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 | ∉ {0; 1} ∀𝑖 ≠ 𝑗 ∈ {1; 2; … ; 𝑘}} Khơng tính tổng qt với (𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 ) ∈ A, ta giả sử 𝑎1 < 𝑎2 m (ở không quan tâm thứ tự chọn số này) * Hướng dẫn: Cần tìm số phần tử tập A = {(𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 )|𝑎𝑖 < 𝑎𝑖+1 − 𝑚, ≤ 𝑎𝑖 ≤ n} Xét tập B = {(𝑏1; 𝑏2 ; … ; 𝑏𝑘 )|𝑏𝑖 < 𝑏𝑖+1 ; ≤ 𝑏𝑖 ≤ n − (k − 1)m} Thiết lập ánh xạ 𝑓: A →B (𝑎1; 𝑎2 ; … ; 𝑎𝑘 ) → (𝑎1; 𝑎2 − 𝑚; 𝑎3 − 2𝑚; … ; 𝑎𝑘 - (k - 1) m) Ta dễ dàng chứng minh song ánh 𝑘 ⇒ |𝐴| = |𝐵| = số cách chọn k số từ n – (k – 1)m số mà không quan tâm thứ tự 𝐶𝑛−(𝑘−1)𝑚 Tương tự có sơ tốn khác có cách phát biểu tốn 4’ Bài toán 4’.1: Trên đường thẳng cho điểm 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 Có cách tơ màu k điểm n điểm cho điểm liên tiếp tơ có nhiều m điểm không tô TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM Bài tốn 4’.2: Trên đường tròn cho điểm 𝐴1 ; 𝐴2 ;…; 𝐴𝑛 theo chiều kim đồng hồ Có cách tơ màu k điểm n điểm cho điểm liên tiếp tơ có nhiều m điểm khơng tơ Bài tốn 4’.3: Cho số ngun dương n, k, p với k ≥ k(p + 1) ≤ n Cho n điểm phân biệt nằm đường tròn, tơ tất n điểm màu xanh, đỏ (mỗi điểm màu) cho có k điểm tơ màu xanh cung tròn mà hai đầu mút hai điểm xanh liên tiếp (tính theo chiều kim đồng hồ) ln có p điểm đỏ Hỏi có cách tô khác nhau? (Hai cách tô khác có điểm tơ màu khác hai cách tơ đó) (Các tốn 4’.1, toán 4’.2, toán 4’.3 giải tư tưởng vận dụng toán 4’ Bạn đọc tự chứng minh) Bài toán 5: Cho nhóm gồm gái, kí hiệu 𝐺1 ,𝐺2, 𝐺3, 𝐺4, 𝐺5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1) 2) 3) 4) Mỗi ghế có người ngồi Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải 𝐺1 ,𝐺2, 𝐺3, 𝐺4, 𝐺5 Giữa 𝐺1 𝐺2 có chàng trai Giữa 𝐺4 𝐺5 có chàng trai Hỏi có cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) Phân tích lời giải: ❖ Cách (bài toán chia kẹo Euler): Đánh số thứ tự ghế từ trái sang phải 1,2,…,17 Gọi 𝑥1 số chàng trai xếp bên trái 𝐺1 , 𝑥2 số chàng trai 𝐺1 𝐺2 , 𝑥3 số chàng trai 𝐺2 𝐺3 , 𝑥4 số chàng trai 𝐺3 𝐺4 , 𝑥5 số chàng trai 𝐺4 𝐺5 , 𝑥6 số chàng trai xếp bên phải 𝐺5 Khi số (𝑥1 ; 𝑥2 ; …; 𝑥6 ) hồn tồn xác định vị trí gái theo giả thiết ta có: 1) 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥6 = 12 2) ≤ 𝑥2 3) ≤ 𝑥 ≤ Để đưa biến không âm, ta đổi biến 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦5 = 𝑥5 − Từ 𝑥1 + 𝑦2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑦5 + 𝑥6 = với ẩn khơng âm có thêm điều kiện 𝑦5 ≤ Tiếp theo, sử dụng tính chất dạng ≤ 𝑥1 + 𝑦2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = - 𝑦5 ≤ ta số cách phân ghế cho cô gái là: 5−1 5−1 5−1 5−1 4 𝐶8+5−1 + 𝐶7+5−1 + 𝐶6+5−1 + 𝐶5+5−1 = 𝐶12 + 𝐶11 + 𝐶10 + 𝐶94 = 1161 Vì có 12 chàng trai hốn đổi vị trí 12 ghế dành cho họ nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 12!1161 TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM ❖ Cách 2: Cũng đánh số thứ tự ghế từ trái sang phải 1;2;…;17 Gọi 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , 𝑔4 , 𝑔5 vị trí chỗ ngồi cô gái 𝐺1 ,𝐺2, 𝐺3, 𝐺4, 𝐺5 tương ứng Khi ta có ≤ 𝑔1 < 𝑔2 < 𝑔3 < 𝑔4 < 𝑔5 ≤ 17 Ngoài ta có: < 𝑔2 − 𝑔1 < 𝑔5 − 𝑔4 < Đặt A = {(𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , 𝑔4 , 𝑔5 )|1 ≤ 𝑔1 < 𝑔2 < 𝑔3 < 𝑔4 < 𝑔5 ≤ 17,3 < 𝑔2 −𝑔1 , < 𝑔5 − 𝑔4 < 6} ta cần tìm |𝐴| Đặt B = {(𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , 𝑔4 , 𝑔5 )|1 ≤ 𝑔1 < 𝑔2 < 𝑔3 < 𝑔4 < 𝑔5 ≤ 17,3 < 𝑔2 −𝑔1 , < 𝑔5 − 𝑔4 } Đặt C = {(𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , 𝑔4 , 𝑔5 )|1 ≤ 𝑔1 < 𝑔2 < 𝑔3 < 𝑔4 < 𝑔5 ≤ 17,3 < 𝑔2 −𝑔1 , ≤ 𝑔5 − 𝑔4 } Thì rõ ràng ta có A = B ∖ C (với C ⊂ B) ⇒ |𝐴| = |𝐵| - |𝐶| Để tính |𝐵| ta đặt D = {(ℎ1 , ℎ2 , ℎ3, ℎ4 , ℎ5 )|1 ≤ ℎ1 < ℎ2 < ℎ3 < ℎ4 < ℎ5 ≤ 13} Và xét ánh xạ 𝑓: B →D, 𝑓(𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , 𝑔4 , 𝑔5 ) → (𝑔1 , 𝑔2 − 3, 𝑔3 − 3, 𝑔4 − 3, 𝑔5 − 4) dễ dàng kiểm chứng 𝑓 song ánh Nhưng |𝐷| số cách chọn phần tử từ 13 phần tử nên ta có |𝐷| = 𝐶13 Vậy |𝐵| = |𝐷| = 𝐶13 Một cách hoàn toàn tương tự, ta tính |𝐶| = 𝐶95 Vậy số cách xếp chỗ cho cô gái 𝐶13 - 𝐶95 = 1161 Vì có 12 chàng trai hốn đổi vị trí cho nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 1161.12! Nhận xét: - Ngồi phương pháp trình bày trên, trình bày theo lối hàm sinh, đa thức Chẳng hạn số cách xếp cô gái thỏa mãn yêu cầu đề hệ số 𝑥 khai triển (1 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ )5((1 + x + 𝑥 + 𝑥 ) - Một sai lầm phổ biến gặp quên nhân 12! - Trong lời giải, nên chứng minh chặt chẽ 𝑓 (trong lời giải 2) ánh xạ, sau chứng minh song ánh Bây giờ, quay lại tản mạn chút toán chia kẹo Euler Ta thử đặt câu hỏi: Liệu có cách chia tối ưu cách chia mà đề cập hay không? Cách chia xã hội chủ nghĩa chia Còn thừa bốc thăm Với cách chia chênh lệch khơng q viên kẹo Và có cách chia Có vẻ cơng thiếu đa dạng TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM Euler nghĩ cách chia độc đáo Vẫn công (về mặt hội) lại tạo khác biệt lớn Đó đặc tính tư chủ nghĩa Ông yêu cầu làm k-1 kẹo giả (có hình dạng y hệt có màu khác biệt) Tất n + k - viên kẹo bỏ vào túi kín Người thứ bắt đầu bốc kẹo, viên Khi bốc trúng kẹo giả ngưng Lúc đến lượt người thứ hai bốc, đến lúc kẹo giả ngưng người thứ k-1 Người thứ k khơng phải bốc cả, hưởng tất viên kẹo lại sau người thứ k-1 dừng bốc Rất thú vị dù bốc trước bốc sau mà cuối hội người ngang Người có tồn số kẹo, khơng có viên kẹo Ai may mắn đươc nhiều hơn, may mắn Chú ý cách chia kẹo Euler gợi ý cho ta xây dựng song ánh từ tập hợp nghiệm nguyên khơng âm phương trình 𝑥1 + … +𝑥𝑘 = n (chính số cách chia n viên kẹo cho k người) vào tập hợp xâu nhị phân độ dài n + k - có k - bit 0… Sau bit cuối (thứ k - ) 𝑥𝑘 bit Rõ ràng song ánh Do số xâu nhị phân độ dài n+k-1 có k-1 bit số cách chọn k - chỗ n – k + chỗ nên ta có đáp số toán 𝑘−1 chia kẹo Euler 𝐶𝑛+𝑘−1 Phải cách chia không áp dụng đươc cho việc tìm nghiệm nguyên dương phương trình 𝑥1 + … +𝑥𝑘 = n? Không hẳn vậy, trường hợp ta cần thiết lập song ánh 𝑓: A →B cho tương ứng (𝑥1 ,𝑥2 ,…,𝑥𝑘 ) ∈ A với(𝑦1 ,𝑦2 ,…,𝑦𝑘 ) ∈ B cho 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 − ≥ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑘 Nhận xét: - Kỹ thuật hệ nhị phân kĩ thuật thường sử dụng toán phân chia phần tử từ tập hợp - Đặc điểm nhận biết: Yêu cầu toán đưa việc xếp hay nhiều phần tử (có thể đứng cạnh khơng) - Cần phân biệt với kĩ thuật tạo vách ngăn: Có thể hiểu đơn giản, ta cần chia kẹo để người có kẹo ăn, ta sử dụng kĩ thuật tạo vách ngăn Để chia cách ngẫu nhiên (khơng quan tâm đến việc có khơng kẹo khơng) ta sử dụng kỹ thuật hệ nhị phân Bài tốn 6: Một rạp chiếu phim có 15 máy điều hòa gắn vị trí khác Để điều hòa khơng khí thời điểm phải có máy điều hòa hoạt động Hỏi có cách vận hành máy điều hòa để khơng khí rạp ln điều hòa Phân tích lời giải: Ta gọi điều hòa 𝐻1 , 𝐻2 , … , 𝐻15 Tại thời điểm điều hòa 𝐻1 bật, ta mã hóa số tắt ta mã hóa số Khi cách vận hành 15 máy tương ứng với dãy nhị phân có độ dài 15 Cách vận hành thỏa mãn yêu cầu toán tương ứng với dãy nhị phân độ dài 15, có thành phần Có dãy nhị phân độ dài 15 mà tất phần tử Do kết cần tìm 215 – = 32767 cách TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM Nhận xét: Trong nhiều tốn thực tiễn ta gặp hai khả toán hai quan hệ trái ngược như: “bật” “tắt”; “đóng” “mở”; “thuộc” “khơng thuộc”; “được” “không được”;… Khi gặp quan hệ ta nghĩ đến việc đưa tốn tốn liên quan đến dãy nhị phân Ngồi quan hệ trái ngược nhau, nhiều tốn xuất mối quan hệ đại lượng phân biệt có vai trò bình đẳng, ví dụ tập sau Bài tốn 7: Cho hình chữ nhật m × n (m < n) với đỉnh bên trái A, bên phải B Có cách từ A đến B trường hợp sau: a) Chỉ lên qua phải b) Chỉ lên qua phải không chạm vào đường AC (không kể điểm A) c) Chỉ lên qua phải khơng qua điểm I (là giao dòng i cột j) Phân tích lời giải: a) Một đường xem gồm (m + n) đoạn (mỗi đoạn cạnh ô vuông) Tại đoạn lấy hai giá trị lên (ta mã hóa 1) hay sang phải (ta mã hóa 0) Số đoạn lên n số đoạn sang phải m Bài tốn dẫn đến việc tìm xem có dãy nhị phân có độ dài (m + n) có n thành phần có giá trị 𝑛 Kết cần tìm 𝐶𝑚+𝑛 b) Đi từ A đến B mà không chạm AC, nghĩa bước đầu phải qua D Số bước từ A đến B không chạm AC số cách từ D đến B mà không chạm AC số cách từ D đến B trừ số cách từ D đến B mà chạm vào AC Mỗi cách từ D đến B mà chạm vào AC, giả sử chạm điểm M N (như hình vẽ) ta lấy đối xứng qua đường AC đoạn đường từ D đến N, cách từ E đến B, tổng quát ta lấy đối xứng đường từ D đến điểm chạm AC cuối Dễ thấy song ánh từ tập cách từ D đến B mà chạm AC với tập cách từ E đến B Theo ý a, ta số cách từ D đến B 𝑚 𝑚−1 𝐶𝑚+𝑛−1 , số cách từ E đến B 𝐶𝑚+𝑛−1 TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 10 𝑛−𝑚 𝑚 𝑚−1 𝑛 Vậy kết 𝐶𝑚+𝑛−1 - 𝐶𝑚+𝑛−1 = 𝑛+𝑚 𝐶𝑚+𝑛 c) Số cách không qua I số cách từ A đến B trừ số cách qua I Số cách qua I 𝑖 𝑚−𝑖 số cách từ A đến I nhân với số cách từ I đến B (quy tắc nhân) = 𝐶𝑖+𝑗 𝐶𝑚+𝑛−(𝑖+𝑗) 𝑖 𝑚−𝑖 𝑛 Vậy kết 𝐶𝑚+𝑛 − 𝐶𝑖+𝑗 𝐶𝑚+𝑛−(𝑖+𝑗) Nhận xét: Trong toán này, quan tâm tới hướng thời điểm có hai khả lên sang ngang Từ đó, quy ước mã hóa để đưa dãy nhị phân Lưu ý: Bài tốn sở phương pháp quỹ đạo có nhiều ứng dụng việc giải toán tổ hợp, rời rạc Bài toán 8: Trong bầu cử, ứng cử viên A a phiếu bầu, ứng cử viên B b phiếu bầu (a>b) Cử tri bỏ phiếu người Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B số phiếu bầu? Phân tích lời giải: Xếp hình chữ nhật b×a hình vẽ (có b hàng a cột) Mỗi cách xếp việc bỏ phiếu cách từ M đến N (nếu bỏ cho A qua phải, bỏ cho B lên trên) Cách xếp để lúc A thắng cách từ M đén N mà không chạm MP (không kề điểm M) 𝑎−𝑏 𝑎−1 𝑎 𝑎 Theo toán kết là: 𝐶𝑎+𝑏−1 - 𝐶𝑎+𝑏−1 = 𝑎+𝑏 𝐶𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 Tuy nhiên cần hốn vị cử tri để có kết a!b! 𝑎+𝑏 𝐶𝑎+𝑏 Mở rộng: Bài toán 8’: Trong bầu cử ứng cử viên A nhận m phiếu bầu ứng cử viên B nhận n phiếu bầu với m ≥ kn Hỏi có cách xếp thứ tự phiếu bầu để ứng cử viên A nhận số phiếu bầu nhiều k lần ứng cử viên B toàn trình kiểm phiếu (Bạn đọc tự chứng minh) Bài tốn 9: Trong cửa hàng kem có loại kem que: kem xoài, kem socola kem sữa Một cậu bé muốn mua que kem Biết que kem tên giống hệt có số lượng đáp ứng đủ lựa chọn cậu bé Hỏi cậu bé có cách lựa chọn biết thứ tự chọn loại kem không quan trọng? TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM 11 Phân tích lời giải: Một sựu lựa chọn: a kem xoài, b kem socola c kem sữa, kí hiệu ba (a,b,c) a,b,c số ngun khơng âm thỏa mãn a + b + c = Với ba (a,b,c) vậy, ta đặt tương ứng với dãy nhị phân theo quy tắc sau: viết liên tiếp từ trái sang phải: a số 1, số 0, b số 1, số c số 111 … 10111 ⏟ ⏟ …10⏟ 111 … 𝑎 𝑏 𝑐 Như ba (a,b,c) tương ưng với dãy nhị phân độ dài (tức gồm kí tự) có kí tự kí tự Ta thiết lập song ánh tập hợp lựa chọn với tập hợp dãy nhị phân độ dài có kí tự kí tự Mặt khác, dãy nhị phân độ dài có kí tự kí tự tương ứng với cách chọn vị trí vị trí để ghi số (6 vị trí lại ghi số 1) Thành thử có 𝐶82 = 28 dãy nhị phân độ dài với kí tự kí tự Do số lựa chọn 28 Lưu ý: Có tốn ta khơng thiết mã hóa số số mà ta mã hóa số khác Bài tốn 10: Để xem buổi biểu diễn xiếc, người phải mua vé vào giá USD Mỗi khán giả phép mua vé Mọi người đến mua vé đứng xếp thành hàng dọc trước cửa bán vé Mỗi người mang tờ USD tờ USD Người bán vé quên khơng mang tiền Giả sử có n người mang tờ USD m người mang tờ USD (m≤ n) Tìm số cách xếp hàng cho người có tờ USD nhận vé, người có tờ USD đến lượt nhận vé tờ USD trả lại Phân tích lời giải: • • • Mã hóa người có tờ USD số 1, người có tờ USD số Mỗi cách xếp hàng tương ứng với vectơ có (m + n) thành phần, n thành phần 1, m thành phần Thành phần thứ i tương ứng với người xếp 𝑚 hàng vị trí thứ i Số vectơ 𝐶𝑚+𝑛 Một vectơ gọi tốt tương ứng với cách xếp hàng thỏa mãn yêu cầu tốn Các vectơ lại gọi vectơ xấu Chúng ta đếm xem có vectơ xấu cách xây dựng song ánh từ tập A vectơ xấu đến tập B vectơ có (m + n +1) thành phần Mỗi véctơ B có tính chất: (i): Có m thành phần 2, (n+1) thành phần (ii): Thành phần đứng vị trí 𝑚−1 Ta có: |𝐵| = 𝐶𝑚+𝑛 TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 12 • Cách xây dựng song ánh sau: Giả sử v vectơ xấu, tức từ thành phần đến hết thành phần thứ (i - 1) tương ứng với việc mua vé diễn suôn sẻ Đến thành phần thứ i tương ứng với người thứ i mua vé người bán vé tiền trả lại, vị trí i lúc ta gọi vị trí xấu Như vậy, từ thành phần tới hết thành phần thứ (i - 1) có số lượng thành phần số lượng thành phần Xây dựng véctơ v’ cách thực bước: - Bước 1: Thêm thành phần vào trước thành phần v Khi đó, vị trí xấu thành phần thứ (i + 1) - Bước 2: Từ vị trí vectơ bước tới hết vị trí thứ (i + 1), thay giá trị giá trị Các thành phần từ vị trí thứ (i + 2) trở giữ nguyên giá trị cũ • Sau bước ta thu vectơ v’ thuộc tập B Xét vectơ v’ thuộc tập B Giả sử j số tự nhiên bé thỏa mãn: từ vị trí đến hết vị trí thứ j, số thành phần số thành phần Thao tác ngược lại trên, từ vị trí đến hết vị trí thứ j ta thay thay Các vị trí lại giữ nguyên cũ Bỏ số thành phần ta vectơ xấu thuộc A Vậy có song ánh từ A tới B nên vectơ tốt là: 𝑚 𝑚−1 𝐶𝑚+𝑛 − 𝐶𝑚+𝑛 Đây kết cần tìm tốn Mở rộng: Có thể thêm giả thiết có q người xếp hàng sẵn, người họ có tờ USD Lúc này, kết toán trở thành 𝑚 𝑛+1 𝐶𝑚+𝑛−𝑞 − 𝐶𝑚+𝑛−𝑞 ( Bạn đọc tự chứng minh ) III Bài tập đề nghị Một cửa hàng kem có bán ba loại kem: kem xoài, kem socola kem sữa Một nhóm có người vào ăn kem gọi cốc kem a) Hỏi họ có lựa chọn? b) Họ có tất lựa chọn ba loại kem có mặt? Cho tập hợp A = {1; 2; 3; …; 18} Có cách chọn năm số tập A cho hiệu hai số năm số khơng nhỏ 2? Một học sinh muốn lọt vào đội tuyển thi toán phải vượt qua kì thi đạt 17 điểm, khơng có kì thi bị điểm Hỏi có cách tiến hành kì thi để em học sinh chắn lọt vào đội tuyển? (Hai cách tiến hành xem khác có kì thi đạt điểm số nguyên từ đến 5) TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 13 Có 12 hộp khác đánh số từu đến 12 viên bi giống Hỏi có cách xếp viên bi vào 12 hộp cho tổng số viên bi hộp số 1, 2, chẵn, tổng viên bi hộp 4, 5, lẻ? Xét tập hợp X gồm n số tự nhiên liên tiếp Ta gọi tập X gồm p số tự nhiên liên tiếp “p- khối” Có cách lấy m “p- khối” từ x cho m khối đơi khơng giao nhau? Có m+n người đứng quanh quầy vé, n người có tiền 5.000 m người có tiền 10.000 Đầu tiên quầy khơng có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có cách xếp m+n người thành hàng để không người phải chờ tiền trả lại (m ≤ n) Cho n, k , m  N * thỏa mãn điều kiện m   k  n Hỏi có tất chỉnh hợp chập k ( a1 , a2 , , ak ) n số nguyên dương mà chỉnh hợp ( a1 , a2 , , ak ) thỏa mãn hai điều kiện: i) Tồn hai số i  j  {1, 2, , k} cho i  j  a j ii) Tồn i  {1, 2, , k} cho − i không chia hết cho m IV Tổng kết Bài toán đếm nói tốn cổ xưa nhất: đếm số súc vật chuồng, đếm số học sinh lớp, đếm số quân đoàn quân Để đếm, có lẽ cho kết quả, nhiên kết hay khơng? Nếu kết có nhiều cách đếm khác nhau, ví dụ 36 có người đếm 1x36, có người lại đếm 6x6, cách hồn tồn khác Dù có nhiều cách đếm song ánh ln giải pháp hiệu Trong chuyên đề này, đã: Giới thiệu cho bạn song ánh nguyên lí song ánh giải toán đếm, toán chia kẹo Euler – ứng dụng trực tiếp phương pháp *Lưu ý: cần sử dụng nguyên lí song ánh cách linh hoạt tùy tốn, phân tích kiện đề để tìm cách thiết lập song ánh cho hợp lí, giúp cho việc đếm phần tử trở nên dễ dàng Giới thiệu đưa cách phân biệt hai phương pháp dễ gây nhầm lẫn, thường sử dụng toán đếm : kĩ thuật tạo vách ngăn kĩ thuật hệ nhị phân *Lưu ý: Khi sử dụng cần thận trọng, tránh nhầm lẫn phân tích yêu cầu toán dẫn đến việc lựa chọn sai hướng giải Kĩ thuật tạo vách ngăn Kĩ thuật hệ nhị phân Sử dụng toán phân chia phần tử từ tập hợp Yêu cầu toán đưa việc xếp hai hay Yêu cầu toán đưa việc xếp hai hay nhiều phần tử không đứng cạnh nhiều phần tử cạnh không (chia người có kẹo ăn) (chia cách hoàn toàn ngẫu nhiên) Đưa cách phát biểu khác cho toán kèm theo hướng dẫn cụ thể để bạn đọc không bỡ ngỡ làm Bởi vì, từ đơn giản, phát biểu TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẾM 14 theo ngơn ngữ thực tế lại thấy không dễ dàng chút nào, từ gây nên cảm giác khó khăn việc giải tốn Sau q trình đầu tư nghiêm túc tâm huyết, chuyên đề hoàn thành thành công đạt hiệu định: Chuyên đề tài liệu tham khảo, truyền đạt cách gần gũi, dễ hiểu nhất, giúp người có nhu cầu tìm hiểu tốn đếm trình học tập nghiên cứu Từ tập sáng tạo toán mới, cách phát biểu thực tế hơn, dễ hiểu Giúp thân thành viên nhóm thực có tư sâu sắc hơn, rõ ràng toán đếm Mong qua chuyên đề này, bạn đọc có thêm nhiều kĩ hữu ích, phần củng cố khả vận dụng vào toán tổ hợp rời rạc, đặc biệt số kinh nghiệm mà đúc rút trình thực chuyên đề: Đối với toán mà việc đếm hướng có lợi phức tạp, nghĩ tới việc sử dụng phần bù (như Bài toán 7) Đối với toán mà hai biến cố, ln có bên lợi số lượng ta nên áp dụng tốn đường lưới nguyên (Bài toán 7, 8) Bạn phải để ý tới khả trường hợp bạn xét có tồn lặp, điều mà nhiều người mắc phải giải toán tổ hợp đếm (Bài toán 3, xếp người vòng tròn) Mặc dù việc thiết lập song ánh chuyên đề phức tạp, với ví dụ kinh điển này, người đọc nắm bắt cách sử dụng ánh xạ để giải tập (Bài toán 2, 4, 5) Khi gặp toán xuất cụm từ sau: chia (phân phối, rải, ); không kề nhau; khơng liên tiếp; lưới; việc bạn nên làm sử dụng tốn chia kẹo Euler Để tìm cách giải, đặc biệt toán tổ hợp rời rạc, phải thay đổi nhiều lần quan điểm cách nhìn tốn Thoạt đầu, quan niệm tốn không đầy đủ, nhiên sau thu số kết hay sửa nắm cách giải, quan niệm khác Chính vậy, cần phải giải tốn theo bốn bước (ở lấy ví dụ toán chia kẹo Euler): ✓ Bước 1: Hiểu toán, thấy rõ cần tìm ? Giả thiết tốn gì? ! Có n kẹo giống chia cho m em bé ? Yêu cầu tốn gì? ! Đếm xem có cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu toán? ✓ Bước 2: Nắm mối quan hệ yếu tố khác toán, chưa biết với biết để tìm thấy ý cách giải, để vạch chương trình (dự kiến) ? Theo em, tốn có đối tượng chính? ! Có hai đối tượng em bé kẹo ? Điều có gợi ý cho em ý tưởng khơng? TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 15 ! Em đưa toán toán liên quan đến dãy nhị phân ? Vậy em phải quy ước đối tượng 0, đối tượng 1? ! Em nghĩ hai đối tượng đối tượng đối tượng Ví dụ, em quy ước em bé số 0, kẹo số ? Làm để có cách chia kẹo tương ứng với dãy nhị phân đó? ! Em phải xếp số thành hàng ? Vậy ý tưởng em gì? ! Nếu em bé kẹo em viết: Nếu em bé nhận k kẹo em viết: 011 k Em viết liên tiếp từ em thứ tới em thứ m để tạo thành dãy nhị phân có m số n số ? Em minh họa ý rõ ví dụ cụ thể? ! Ví dụ cách chia kẹo giống cho em bé với em thứ kẹo, em thứ khơng nhận kẹo em thứ nhận kẹo Em viết 0111001111 ? Tốt lắm! Vậy toán ban đầu em biết cách giải? ! Mỗi cách chia kẹo tương ứng với dãy nhị phân có độ dài m+n, có m thành phần 0, n thành phần ln có thành phần đứng đầu dãy Do kết cần tìm là: Cnm+−m1−1 ✓ Bước 3: Thực chương trình đề (giải tốn) ✓ Bước 4: Nhìn lại cách giải thu lần nữa, nghiên cứu phân tích Chuyên đề chuẩn bị chu đáo, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để chuyên đề chúng tơi hồn thiện Trân trọng! TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 16 Tài Liệu Tham Khảo Tủ sách Toán học tuổi trẻ, Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT thi ĐH-CĐ mơn toán, Tập 2, NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Mạnh Sang, Báo cáo sáng kiến phương pháp đếm nâng cao, Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong ( Nam Định ) Trường THPT Chuyên Thái Nguyên, Sử dụng dãy nhị phân số toán đếm, Mã TO04, Chuyên đề trại hè hùng vương năm 2015 Nguyễn Chiến Thắng, Sử dụng ánh xạ toán tổ hợp Nguyễn Thị Ngọc Ánh, Xung quanh tốn chia kẹo Euler, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 424 ( T10/2012 ) Huỳnh Kim Linh, Chuyên đề toán chia kẹo Euler Trần Nam Dũng, Phương pháp song ánh, Nguồn: https://www.facebook.com/notes/tran-nam-dung/phuong-phap-song-anh /1294802933877560/ G Polya, Giải toán ?, NXB Giáo Dục ... cách giải tư ng tự toán 3.1) TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM * Những tư tưởng toán đặt cho vấn đề ứng dụng vào thực tế: Tìm số cách chặt k n cho hai liền kề bị chặt Bài tốn 4: Cho n,... đạt điểm số nguyên từ đến 5) TƯ TƯỞNG SONG ÁNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM 13 Có 12 hộp khác ánh số từu đến 12 viên bi giống Hỏi có cách xếp viên bi vào 12 hộp cho tổng số viên bi hộp số 1, 2,... thấy song ánh từ tập cách từ D đến B mà chạm AC với tập cách từ E đến B Theo ý a, ta số cách từ D đến B