BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH

GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: hhdinh19@gmail.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH GV: HUỲNH HỮU DINH TP HỒ CHÍ MINH 2/2011 GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: hhdinh19@gmail.com Chương SỐ XẤP XỈ, SAI SỐ 0.1 Số gần sai số Trong thực tế, muốn biết giá trị đại lượng người ta tiến hành đo đạc, tính tốn số phương pháp định Nhiều khơng thể nhận xác giá trị thật đại lượng cần biết mà nhận số gần (hoặc xấp xỉ) với giá trị thật Việc đánh giá độ xác giá trị xấp xỉ sai số phép đo phương pháp tính tốn cần thiết Điều dẫn tới việc đưa khái niệm số xấp xỉ sai số nhận Nội dung trình bày khái niệm Định nghĩa 0.1.1: Giả sử A số đúng, a số gần A (trong trường hợp A số vô tỷ số e hay số p số hữu tỷ với phần thập phân vơ hạn tuần hồn số ) Ta gọi hiệu số D a = A - a sai số xấp xỉ số gần a Khi đại lượng D = D a ; da = D ta lần A lượt gọi sai số tuyệt đối sai số tương đối a Rõ ràng ta có: a - D £ A £ a + D A = a ± D Nếu A số có hữu hạn chữ số lẽ đương nhiên ta cần a số có hữu hạn chữ số D có dạng với A Chẳng hạn, lấy A = p;a = 3,14 D = 0, 0015926 Định nghĩa 0.1.2: Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a số không nhỏ sai số tuyệt đối a Kí hiệu sai số tuyệt đối giới hạn D a thì: D a ³ D Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn khơng đơn trị Từ định nghĩa ta suy a - Da £ A £ a + Da Trong thực tế, người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn D a số nhỏ sai số tuyệt đối giới hạn, qui ước viết: A = a ± Da Định nghĩa 0.1.3: Sai số tương đối giới hạn số xấp xỉ a , kí hiệu da , số khơng nhỏ sai số tương đối giới hạn a GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: hhdinh19@gmail.com Có nghĩa là: da ³ da hay da ³ D A Từ da A ³ D Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, ta chọn D a = A da Nhưng thực tế ta khơng biết xác giá trị A a số xấp xỉ A nên người ta thường dùng công thức: D a = a da Từ ta có cơng thức A = a ( 1± da ) 0.2 Sai số làm tròn số Giả sử cho số A = smsm- s0, s- 1s- sm- n+1sm- n Chữ số thứ n A số sm- n+1 tính từ trái qua phải Kí hiệu a = smsm- s0, s- 1s- sm- n+1 số làm tròn đến chữ số thứ n từ số A Qui tắc làm tròn sau: Nếu sm- n > sm- n+1 = sm- n+1 + 1; Nếu sm- n < sm- n+1 = sm- n+1; Nếu sm- n = sm- n+1 = sm- n+1 + sm- n+1 số lẻ, sm- n+1 = sm- n+1 sm- n+1 số chẵn Từ qui tắc làm tròn ta thấy, sai số tuyệt đối giới hạn là: Da = 5.10m- n = 10m- n+1 0.3 Số chữ số đáng tin cậy Xét hai số A a mục Ta nói tất n chữ số a tin cậy, ta có: D = D a = A - a £ 5.10m- n = 10m- n+1 = D a Chẳng hạn a = 2,7183 số làm tròn đến năm chữ số số e nên ta có D = 0, 00001 < 0,00005 nên a có năm chữ số tin cậy với số cuối làm tròn n- 1 ổ1 ỗ ữ Vi s A v a nói mục 0.2, ta thấy da £ ữ , ú cú th ly: ố10ứ 2sm ỗ GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: hhdinh19@gmail.com n- 1 ỉ1 ÷ ç da £ ç è ø 2sm 10÷ (1) Theo cơng thức số a = 2,7183 có sai số tương đối giới hạn so với số e là: 5- da = ổ1 ỗ ữ ữ = 0,0025% ố10ứ 2 ỗ Vớ d Phi tớnh 29 với chữ số thập phân để có da = 0,1% Ta thấy phần nguyên số Do áp dụng (1) ta được: 101- n £ 0,001 Þ n ³ Ta chọn n = 4, nghĩa phải lấy bốn chữ số thập phân, 29 = 3,072 Đơi người ta nói số a có q chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy, hàm ý q chữ số phần thập phân đáng tin cậy Khi đương nhiên tất chữ số phần nguyên số a tin Giả sử số a có p chữ số phần nguyên Khi ta có: m = p - n = p + q Khi ta D a = 0,5.10- q 0.4 Sai số thực phép toán 0.4.1 Sai số phép cộng Xét tổng u = x1 + x2 + + xn với xi số gần với sai số tương ứng D xi Hiển nhiên ta phải có: D u = D x1 + D x2 + + D xn đó: D u £ D x1 + D x2 + + D xn Từ suy ra: D u = D x1 + D x2 + + D xn (2) Ta có qui tắc cộng số có sai số tuyệt đối khác sau: Giữ nguyên số hạng có số chữ số sau dấu phẩy nhất; Các số hạng khác làm tròn đến hai số sau dấu phẩy nhiều số hạng chọn bước Cộng tất số lại với làm tròn tổng, bớt chữ số thập phân Liên quan đến du , trường hợp xi dấu thấy: du £ max ( dx1, dx2, , dxn ) GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: hhdinh19@gmail.com Từ ta suy du = max ( dx1, dx2 , , dxn ) 0.4.2 Sai số phép trừ Về nguyên tắc đánh giá (2) cho phép trừ Tuy nhiên, xét riêng trường hợp để nhấn mạnh điều cần ý lập trình Xét hiệu số u = x1 - x2 Dễ dàng thấy rằng, D x1 D x2 dấu x1 » x2 du >> dx1, dx2 x1 - x2 0, i = 1, n Khi ta có ln u = ln x1 + ln x2 + + ln xn ỉ Dzư Dz Dz ÷ 1+