ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH ĐỒNG THÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2011-2012 LỚP 12 THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH ĐỒNG THÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2011- 2012 Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/11/2011 Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Điểm của toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1: Giám khảo 2: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 9 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1 . (5 điểm) Cho hàm số )1(log1 2 )( 3 2 ++++ = + xxx xf xx 1.1 Hãy tính giá trị gần đúng của ( )( )( ) 5 1 . fffS = Cách giải Kết quả .Nhập hàm )1(log1 2 )( 3 2 ++++ = + xxx xf xx .Sử dụng CALC nhập 1 = x .Thực hiện liên tiếp các phép gán và tính giá trị hàm Af → )1( BAf → )( CBf → )( DCf → )( .Khi đó S = )(Df 491,8941147 1.2 Hãy tính giá trị gần đúng của )10( )2()1( /// fffP +++= với )( / xf là đạo hàm của hàm số )(xf . Cách giải Kết quả .Sử dụng truy hồi BA →→ 0,0 .Nhập :1 += AA ByBA xxx dx d y xx += ++++ = + :, )1(log1 2 3 2 .Thực hiện phím = đến khi 10 = A 995222,1008 ≈ P Bài 2. (5 điểm) 1.1 Cách giải Kết quả 1.2 Cách giải Kết quả Bài 3. (5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình 027cos6cos34cos213cos4cos 23 =−++++ xxxxx Cách giải Kết quả Thay thế xxx xxxxx cos3cos43cos 1cos8cos81)1cos2(212cos24cos 3 24222 −= +−=−−=−= Đặt 1,cos ≤= txt Khi đó ta có phương trình 7075563476,0 0)13898)(2( 026326258 23 234 ≈⇔ =−+++⇔ =−+++ t tttt tttt Suy ra '''0 82,485744 ±≈ x • Có thể dùng SOLVE để giải 0'''0 360.495744 kx +±≈ Bài 4. (5 điểm).Giải phương trình Cách giải Kết quả .Nhập vào biểu thức .Sử dụng phím SHIFT SOLVE .Nhập vào các giá trị đầu : .Ta được các nghiệm x tương ứng Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số )( n u Cách giải Kết quả Bài 6. (5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E): 1 4 2 2 =+ y x . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E) biết rằng CA=CB và gó 0 90 = ∧ ACB . Cách giải Kết quả .Giả sử .Vì CA=CB nên );( 00 yxB − .Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh C ⇒ H(x 0 ; 0) .HA=HB =→= = =+−⇔ −=−⇔−=⇔ 5 4 )( 5 6 )(2 012165 )2(242 00 0 0 2 0 0 2 000 ythx lx xx xxxy Vậy − 5 4 ; 5 6 ; 5 4 ; 5 6 BA hoặc − 5 4 ; 5 6 ; 5 4 ; 5 6 BA − 5 4 ; 5 6 ; 5 4 ; 5 6 BA hoặc − 5 4 ; 5 6 ; 5 4 ; 5 6 BA Bài 7. (5 điểm) Giải hệ phương trình: =+++ = ++ 0log)1(loglog 7812525 2011 1 22 40441212011 24 5 3313 yxx y xx Cách giải Kết quả .Điều kiện 0, > yx .Biến đổi hệ phương trình, ta được =+ = ++ yxx yxx 2011 2 2011 35)3313(2 log)1(log 55 24 += =++ ⇔ xxy yxx 3 24 356626 .Khi đó ta có 063562356 234 =+−+− xxxx 0)316236)(2( 23 =−+−−⇔ xxxx Chú ý: Hs có thể giải phương trình bằng nhiều cách 27 10 ; 3 1 8 5 ; 2 1 ( ) 10;2 ( ) 30;3 Bài 8. (5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh cma 25,3 = . Tính gần đúng diện tích phần chung của 4 hình tròn có tâm lần lượt là các điểm A, B, C, D và có cùng bán kính là a (phần tô trên hình vẽ). Cách giải Kết quả Ta có MCD ∆ đều suy ra : 4 3 2 a S MDC = ∆ .Diện tích hình quạt : 6 2 a S DCM π = ∇ .Diện tích hình cung : ∩ MC S = 4 3 6 22 aa − π .Diện tích phần tô đậm −= −−−= −−= ∩ ∆∇ 124 3 4 3 6 2 4 3 4 2 4 1 2 2222 πππ a aaaa SSSS MC MDCACD .Vậy diện tích cần tìm bằng 32873748,33 3 14 2 ≈ −+=− π aSS ABCD 32873748,3 ≈ S Bài 9. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, mặt bên SAD là tam giác đều và vuông góc với (ABCD). Biết cmCDcmADAB 12,6;48,12 === . Tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC). Cách giải Kết quả Gọi 48,12 = a và 12,6 = b . .Thể tích hình chóp S.ABC : 24 3 . 3 1 3 . a SSHV ABCABCS == ∆ .Diện tích tam giác SAC : 2 22 22 1 −+= ∆ a baaS SAC .Khoảng cách từ B đến (SAC) bằng ( ) 22 3 2 22 3 432 3 22 1 . 24 3 .3 3 )(, ba a a baa a S V SACBd SAC SABC + = −+ == ∆ 76533562,67 = d cm Bài 10. (5 điểm) Tìm số dư trong các phép chia sau 1234567890987654321 chia cho 207207 Cách giải Kết quả Ta cắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số rồi tìm số dư của phép chia 123456789 cho 207207 được: 123456789 – 207207 x 595 = 168624 Viết liên tiếp sau số dư đó các số tiếp theo ở số bị chia (kể từ trái)tối đa đủ 9 chữ số: 168624098 – 207207 x 813 = 164807 164807765 – 207207 x 795 = 78200 782004321 – 207207 x 3774 = 5103 Số dư: 5103