Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng b Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (6,0 điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. b) Chứng minh rằng: 3 sinx cosx x > ữ , với x (0; ) 2 . Bài 2. (6,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 y x 1 x= + b) Giải hệ: x y sinx e sin y sin 2y cos2y sin x cos x 1 x, y 0; 4 = = + ữ Bài 3. (2,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1. 8 + + = Bài 4. (5,5 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x y 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 + y 2 2x 4y + 4 = 0 và đờng thẳng có phơng trình: x y 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ thuộc đ- ờng thẳng kẻ hai tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (C) (T 1 , T 2 là tiếp điểm) . Chứng minh rằng: đờng thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên . -----------Hết ----------- Họ và tên thí sinh: SBD: Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B1 Đề chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B ---------------------------------------------- Bài Nội dung Biểu điểm Bài 1: 6,0 a. (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). 3,0 ĐK: x 0; Đặt t = x , t 0. 0,5 (1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t 2 + 3 - m = 0 <=> m = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + (2) 0,5 Xét f(t) = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + , t 0 ; f / (t) = 2 2 2 t 2t (t t 1) + . 0,5 f / (t) = 0 <=> t 0 t 2 = = 0,5 Bảng biến thiên t 0 2 + 0,5 f / (t) 0 + f(t) 3 2 5 3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0. 0,25 <=> 5 m 3 3 . 0,25 b. 3 sinx cosx x > ữ (1). 3,0 (1) <=> tgx.sin 2 x - x 3 > 0. Xét f(x) = tgx.sin 2 x - x 3 ; x (0; ) 2 . 0,25 f / (x) = tg 2 x + 2sin 2 x - 3x 2 . f // (x) = 2tgx. 2 1 cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3 2sin x cos x + 2sin2x - 6x. f /// (x) = 4 2 2 6 2cos x 6sin x.cos x 4cos2x 6 cos x + + 0,25 0,25 0,25 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B2 = 2 2 2 4 2cos x 6sin x 8cos x 10 cos x + + = 6 4 2 4 8cos x 10cos x 4cos x 6 cos x + = 2 2 2 4 2(cos x 1) (4cos x 3) 0 cos x + > ; x (0; ) 2 . 0,5 => f // (x) đồng biến trên (0; ) 2 => f // (x) > f // (0) = 0 , x (0; ) 2 . 0,5 => f / (x) đồng biến trên (0; ) 2 => f / (x) > f / (0) = 0 , x (0; ) 2 . 0,5 => f(x) đồng biến trên (0; ) 2 => f(x) > f(0) = 0 , x (0; ) 2 . 0,5 Bài 2. 6,0 a. 3,0 ĐK: - 1 x 1. 0,5 Xét hàm số y = x + 2 1 x trên đoạn [-1; 1], ta có: y / = 1 - 2 x 1 x = 2 2 1 x x 1 x . 0,5 y / không xác định tại x = 1 0,25 y / = 0 <=> 2 1 x x = 0,25 <=> 2 2 x 0 1 x 2 1 x x <=> = = 0,5 Khi đó y(-1) = - 1 ; y( 1 ) 2 2 = ; y(1) = 1. 0,5 Vậy max y = 2 khi x = 1 2 min y = - 1 khi x = - 1. 0,25 0,25 b. 3,0 x y sinx e (1) sin y cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2) x, y 0; (3) 4 = + = + ữ Ta có (1) <=> / x y sin x sin y (1 ) e e = 0,5 Xét f(t) = t sin t e , t 0; 4 ữ 0,25 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B3 f / (t) = t 2t t t 2.cos(t ) e (cos t sin t) cos t sin t 4 0 , t (0; ) 4 e e e + = = > . 0,25 => f(t) đồng biến trên 0; 4 ữ . Khi đó từ (1 / ) => x = y. 0,5 Thay vào (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1 <=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0 <=> 2sin 2 x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 <=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0 <=> (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0 0,5 <=> sinx = 1 2 (do sinx + cosx > 0 x (0; ) 4 ) 0,25 <=> x k2 6 5 x k2 6 = + = + 0,25 Do x (0; ) 4 nên x = 6 . 0,25 Vậy hệ có nghiệm: ; 6 6 ữ 0,25 Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1 8 + + = (1) 2,5 Ta có (1) <=> 2 (3x 9x 160 800) k2 8 + + = , k Z <=> 2 9x 160 800+ + = 3x - 16k 0,5 <=> 2 169x 800 (3x 16k) 2 3x - 16k 0 9x + + = <=> 2 16k x (1) 3 8k 25 x (2) 3k 5 = + 0,5 Ta có (2) <=> 9x = 24k - 40 - 25 3k 5+ 0,5 Do k và x nguyên nên 3k + 5 là ớc của 25 Suy ra 3k + 5 {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25} 0,5 Giải ra ta đợc x = - 7 ; x = - 31. 0,5 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B4 Bài 4. 5,5 a. Gọi C(a; b) 2,5 S = 1 2 CH.AB (1). Ta có: AB = 2 0,25 Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 do đó: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 = = . <=> a b 8 a b 2 = = 0,25 0,25 0,25 Toạ độ G( a 5 b 5 ; 3 3 + ) Ta có: G <=> 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + = <=> 3a - b = 4. 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 = = = = => C(-2; -10) 0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + => r = 2S 3 2p 2 65 89 = + + . 0,25 TH 2 : a b 2 a 1 3a b 4 b 1 = = = = => C(1; -1) 0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2+ => r = 3 2 5 2+ . 0,25 b 3,0 Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1. d(I, ) = 2 2 1 2 1 2 R 1 ( 1) = > + => nằm ngoài (C) => từ M luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C). (học sinh phải vẽ hình) 0,5 Ta có: MT 1 IT 1 , MT 2 IT 2 => T 1 , T 2 thuộc đờng tròn (C), đờng kính MI => T 1 T 2 là trục đẳng phơng của (C) và (C). 0,5 Do M nên M(m + 1; m) => trung điểm của IM là K( m 2 m 2 ; 2 2 + + ) 0,25 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B I M T 2 T 1 5 Phơng trình đờng tròn (C) là: (x - 2 2 2 2 m 2 m 2 m (m 2) ) (y ) 2 2 4 + + + + = <=> x 2 + y 2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0 0,5 => phơng trình đờng thẳng T 1 T 2 là: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0 0,5 Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà T 1 T 2 luôn đi qua. Ta có: mx 0 + (m - 2) y 0 - 3m + 3 = 0 m R. <=> 0 0 0 0 0 3 x x y 3 0 2 2y 3 0 3 y 2 = + = <=> + = = 0,5 => đờng thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định A( 3 3 ; 2 2 ). 0,25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B6 . Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng b Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (6,0 điểm) a). SBD: Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B1 Đề chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm