Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
1,16 MB
Nội dung
CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Chương I: NGUYÊNHÀM 1.1 NGUYÊNHÀM CƠ BẢN 1.1.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Định nghĩa nguyênhàm : a) Định nghĩa : Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyênhàm f ( x) K F '( x) f ( x) với x �K b) Nhận xét : Nếu F ( x) nguyênhàmhàm số f ( x) K F ( x ) C , C �� họ tất nguyênhàm f ( x) K Kí hiệu f ( x )dx F ( x ) C � * Chú ý: Biểu thức f ( x)dx vi phân nguyênhàm F ( x) ( với F ( x) nguyênhàm f ( x) ), dF ( x) F '( x)dx f ( x) dx 2) Tính chất bản: f '( x)dx f ( x) C +)Tính chất 1: � kf ( x) dx k � f ( x) dx +)Tính chất 2: � ( k số khác 0) [f ( x) �g ( x)]dx � f ( x)dx �� g ( x)dx +)Tính chất 3: � 1.1.2 NGUYÊNHÀM CƠ BẢN THƯỜNG DÙNG dx x C +) Nguyênhàm 1: � x 1 x dx C ( �1) +) Nguyênhàm 2: � 1 +) Nguyênhàm 3: �dx ln | x | C ( x �0) x 1 b dx ln | ax b | C , ( x � ) � ax b a a x x e dx e C +) Nguyênhàm 4: � e ax b dx eax b C (a �0) � a cos xdx sin x C +) Nguyênhàm 5: � cos( ax b)dx sin(ax b) C � a +) Nguyênhàm 6: (a �0) � cos dx tan x C x 1 dx tan(ax b) C (a �0) � cos (ax b) a sin xdx cos x C +) Nguyênhàm 7: � sin(ax b)dx cos(ax b) C � a (a �0) CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến +) Nguyênhàm 8: � sin dx cot x C x 1 dx cot(ax b) C (a �0) � sin (ax b) a tan xdx ln | cos x | C +) Nguyênhàm 9: � tan(ax b)dx ln | cos(ax b) | C (a �0) � a cot xdx ln | sin x | C +) Nguyênhàm 10: � cot(ax b)dx ln | sin(ax b) | C (a �0) � a ax a dx C ( a 0, a �1) +) Nguyênhàm 11: � ln a x 1.1.3 BÀI TOÁN MINH HOẠ Bài toán Chứng minh F ( x) ln | x x a | nguyênhàm f ( x) � x2 a ' Ta có: F '( x) ln | x x a | 1 Nên suy ra: F '( x) x2 a Hướng dẫn x x2 a ' x x2 a x x2 a x x2 a x x x2 a x a x a x2 a f ( x), x �� Vì vậy, F ( x) nguyênhàm f ( x) � Từ đó, ta có họ nguyênhàm tổng quát 1: Bài toán Chứng minh F ( x) f ( x) �x □ a dx ln | x x a | C xa ln với a nguyênhàm 2a x a , x ��a x a2 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn ' 2a �x a � � � x a Với x ��a , ta có: F '( x) �x a � 2a x a 2a x a xa xa 1 ( x a)( x a) x a , x ��a □ x a2 xa dx ln C , x ��a 2 � x a xa Vậy F ( x) với a nguyênhàmhàm số f ( x) Từ ta có họ nguyênhàm tổng quát 2: a sin x b cos x có họ nguyênhàm dạng c sin x d cos x F ( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C Bài toán Chứng minh f ( x) Hướng dẫn Ta có: F '( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C ' c cos x d sin x c sin x d cos x ( Ac Bd )sin x ( Bc Ad )cosx c sin x d cos x � ac bd A �Ac Bd a � � c2 d �� Ta đặt: � �Bc Ad b �B bc ad � c2 d Từ đó, ta có: F '( x) f ( x) A B Vậy F ( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C họ nguyênhàm f ( x) Từ đó, ta có họ nguyênhàm tổng quát : a sin x b cos x dx Ax B ln | c sin x d cos x | C � c sin x d cos x ,với A a sin x b cos x □ c sin x d cos x ac bd bc ad ;B 2 c d c d2 Bài tốn 4.Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) x(1 x) 20 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1998) Hướng dẫn 20 Ta biến đổi : f ( x) x( x 1) ( x 1) 1 ( x 1) 20 ( x 1)21 ( x 1) 20 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: f ( x) dx � x(1 x) dx � � ( x 1) dx � ( x 1) dx � ( x 1) d ( x 1) � ( x 1) 20 21 20 21 20 d ( x 1) ( x 1) 22 ( x 1) 21 C 22 21 □ Từ đó, ta có tốn tìm họ ngun hàm tổng qt 4: Bài tốn tổng qt Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) x(1 x) n , n �� Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x ) x (1 x ) n ( x 1) 1 ( x 1) n ( x 1)2 n 1 ( x 1) n Từ đó, ta có: f ( x)dx � x(1 x ) dx � � ( x 1) dx � ( x 1) dx � ( x 1) d ( x 1) � ( x 1) 2n n 1 2n n 1 2n d ( x 1) ( x 1) n ( x 1) n 1 C 2n 2n □ Bài tốn 5.Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) x 2001 ( x 1)1002 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : x 2001 x 2000 x dx dx 1002 1000 � � ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 1000 � x2 � x � dx �2 � 2 �x � ( x 1) 1000 � x2 � � x2 � � � � d� � �x � �x � 1001 � x2 � � � C 2(1001) �x � □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có tốn tìm họ nguyênhàm tổng quát 5: Bài toán tổng quát Tìm họ nguyênhàmhàm số: x n 3 f ( x) ( x 1)n (n �* , n 2) Hướng dẫn Cách giải Đặt x tan t , t �( , ) 2 dt Vi phân hai vế ta có: dx (1 tan t )dt cos t Từ đó, ta có: x n 3 tan n 3 t f ( x ) dx dx (tan t 1) dt n n � � � ( x 1) (tan t 1) tan n 3 t tan n 3 t � dt � dt 2( n 1) n 1 ( ) (tan t 1) cost � sin n 3 t.cos tdt sin n t C 2n n 1 � x2 � � � C 2n �x � Cách giải Ta biến đổi: x n 3 x 2n4 x f ( x )dx �2 dx �2 dx n n2 � ( x 1) ( x 1) ( x 1) n2 � x2 � x � dx �2 � 2 �x � ( x 1) n2 � x2 � � x2 � � � � d � � �x � �x � n 1 � x2 � � � C 2( n 1) �x � ■ Bài tốn Tìm họ nguyênhàmhàm số: a) f ( x) x4 x x x2 x b) g ( x) ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: f ( x) x4 x2 x2 x x4 x x x2 x CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến ( x x 1)( x x 1) x2 x x2 x f ( x)dx � ( x x 1)dx � Vì vậy: x3 x x C ( Với C số) □ b) Ta có: x4 x2 ( dùng x x chia cho x x ) x x 1 ( x x 2)( x x 1) x2 x x2 x g ( x) dx � ( x x 2)dx � g ( x) Vậy: x3 x x C ( Với C số) Bài tốn 7.Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) □ x 3x x 3x ( Đề thi ĐH Y Dược TP HCM – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) A B C x 3x 3x2 3x x 1 x x 3x ( x 1) ( x 2) ( x 1) x 3x A( x 2) B ( x 1)( x 2) C ( x 1) 3A � �A � � �� C 1 Giải hệ phương trình: �9 9C � �B A 2B C � � Khi đó: Từ đó, ta có: dx f ( x)dx 3� � ( x 1) dx dx 2� � x 1 x2 ln | x 1| ln | x | C x 1 □ Bài tốn 8.Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) x x5 ( Đề thi ĐH Y Hà Nội – Năm 1997) CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) 1 x2 x2 x3 x5 x3 ( x 1) 1 3 x (1 x ) x 1 x2 x2 3 x x( x 1) 1 x 3 x x ( x 1) Từ đó, ta có: dx dx f ( x) � � � � x x (x x dx 1) 1 ln | x | ln( x 1) C 2x Bài tốn 9.Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) □ x x 3x Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) Từ đó, ta có: x ( x 1)( x 2) x� ( x 2) ( x 1) � � � 2 ( x 1)( x 2) x x x 1 x 2 x x f ( x )dx � dx � dx � x 1 x 2 2 d ( x 1) d ( x 2) �2 �x x 2 x 1 ln C x 2 Bài tốn 10.Tìm họ ngun hàmhàm số: □ f ( x) tan x 2x 1 2x 1 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1999) Hướng dẫn CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Ta có: f ( x) tan x 2x 2x 1 sin x 2x x 1 cos x (2 x 1) (2 x 1) sin x ( x x 1) cos x Từ đó, ta có �sin x � x x 1) �dx � sin x 1 � dx �2 x 1d (2 x 1) �2 x 1d (2 x 1) cos x 4 3 � 1� ln | cos x | � (2 x 1) (2 x 1) � C 6� � f ( x) dx � ( � � cos x � □ Bài tốn 11.Tìm họ ngun hàmhàm số: a ) f ( x) a) Ta có: sin x cos x sin x cos x b) g ( x ) cos x sin x cos x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1999) Hướng dẫn sin x cos x f ( x)dx � dx � sin x cos x d (sin x cos x) � sin x cos x ln | sin x cos x | C □ b) Ta có: cos x g ( x) dx � dx � sin x cos x cos x sin x � dx sin x cos x � (cos x sin x)dx sin x cos x C □ Bài tốn 12.Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) sin x.sin x tan x cot x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1997) Hướng dẫn Ta có: tan x cot x sin x cos2 x cos x sin x 10 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos(2 x x) cos x sin x sin x sin x.sin x f ( x) sin x sin x.sin 3x.sin x (cos5 x cos x)sin x (cos5 x sin x cos x sin x) (sin x sin x sin x sin x) Do đó: Vì vậy: f ( x)dx � (sin x sin x sin x sin x) dx � 1 1 cos9 x cos5 x cos3 cos x C 36 20 12 □ Bài tốn 13.Tìm họ ngun hàmhàm số: a ) f ( x) cos x cos x b) g ( x) cos x cos x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: f ( x) cos3 x cos x (cos3x 3cos x)cos3 x cos 3x cos x cos 3x 4 (1 cos6 x ) (cos4 x cos2 x) 8 Vì vậy: f ( x)dx � (1 cos6 x 3cos x 3cos x) dx � 1 3 x sin x sin x sin x C 48 32 16 b) Ta có: (1 cos2 x)cos2 x 1 cos2 x (1 cos4 x) g ( x) cos x cos x 11 □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: 1 f ( x )dx � cos2 xdx � (1 cos4 x)dx � 1 sin x x sin x C 4 16 □ Bài tốn 14 Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) sin x cos 3x cos x sin 3x ( Đề thi Học Viện Quan Hệ Quốc Tế – Khối A – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f ( x) sin x cos x cos x sin x 1 (3sin x sin x)cos3 x ( cos3 x 3cos x)sin x 4 1 sin x cos 3x sin x sin x sin x cos x 8 sin x 3 f ( x) dx � sin xdx cos4 x C Vì vậy: � 16 □ f ( x) tan x Bài tốn15 Tìm họ ngun hàmhàm số: ( Đề thi ĐH Thương Mại – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f ( x) tan x tan x(tan x 1) tan x(tan x 1) (tan x 1) Vì vậy: f ( x)dx � tan x(tan x 1)dx � (tan x 1)dx � dx � � tan xd (tan x) � d (tan x) � dx 2 2 tan x tan x x C □ Bài tốn 16 Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) sin x cos x ( Đề thi ĐH Bách Khoa Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 12 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến � � sin x cos x cos �x � � 4� � � � � 2� cos �x � � � 4� � � x � � 2.2sin � � �2 � Từ đó, ta có : dx �x � sin � � �2 � �x � d� � �2 � � 2 sin �x � � � �2 � 1 �x � cot � � C �2 � f ( x)dx � 2� □ Bài tốn17 Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) sin x 3sin x sin x 3sin x ( Đề thi ĐH Sư Phạm Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 3sin x sin x 3sin x 3(sin x sin x) sin x cos x sin x 2sin x cos x cos x(3sin x sin x) 2cos x(3sin x 3sin x 4sin x) 8cos 3x sin x Do đó: f ( x) Vì vậy, sin x sin x 3sin x sin x 3sin x 8cos x sin x 8cos x f ( x)dx � dx � 8cos x cos3x dx 8� cos 3x d (sin 3x) � 24 sin x 1 sin 3x ln C 48 sin 3x □ 13 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến f ( x) sin x Bài tốn 18 Tìm họ nguyênhàmhàm số: ( Đề thi ĐH Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : (1 cos2 x) 1� � � cos x (1 cos4 x ) � 4� � �3 � � cos x cos4 x � �2 � f ( x ) sin x (sin x) Vì vậy: �3 � f ( x )dx � dx � cos x cos4 x � � �2 � 1 x sin x sin x C 32 □ Bài tốn 19 Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) sin( x) cos x ( số) ( Đề thi ĐH Xây Dựng – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi : sin cosx sin x cos dx cos x cosx sin x sin � dx cos � dx cos x cos x d (sin x) d (cosx) sin � cos � sin x cos x sin x cos sin ln C sin x cos x f ( x) dx � � □ f ( x) Bài tốn 20 Tìm họ ngun hàmhàm số: sin xcos5 x ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) sin xcos x sin xcos5 x cos x cos3 x Từ đó, ta có: 14 cos8 x sin x cos3 x cos x tan x CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến dx f ( x)dx � � cos x tan x � tan x d (tan x) 4 tan x C □ Bài tốn 21 Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) (sin x cos x)(sin x cos x) ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi : (sin x cos x) (sin x cos x) 2sin xcos x sin 2 x (3 cos4 x) 6 (sin x cos x) (sin x) (cos x)3 (sin x cos x)(sin x cos x sin xcos x) 1 (3 cos4 x) sin 2 x 4 (5 3cos x) Từ đó, ta có: 1 f ( x ) (3 cos4 x) (5 3cos x) (15 14 cos x 3cos x) 32 �33 � � 14 cos x cos8 x � 32 �2 � Vì vậy: �33 � 14 cos x cos8 x � dx � �33 � � x sin x sin x � C 32 �2 16 � f ( x )dx � � 32 � �2 15 □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến 1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Định lí: f (u )du F (u ) C u u ( x) hàm có đạo hàm liên tục K Nếu � f (u ( x))u '( x) dx F (u ( x)) C � b) Hệ quả: Với u ax b, (a �0) , ta có: f (ax b) dx F ( ax b) C � a c) Chú ý: Nếu tính nguyênhàm theo biến u (u u ( x)) sau tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u ( x) 1.2.2 BÀI TỐN MINH HOẠ Bài tốn 1.Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) 10 x x 1 ( Đề thi Học Viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thông – Năm 1999) Hướng dẫn Ta dùng phương pháp đổi biến số: Đặt t 10 x � t10 x , ta có: 10t dt dx Vì vậy, ta có: (t 10 1) f ( x ) dx � � t 10t dt 10 � (t18 t ) dt 10 19 10 t t 19 �10 ( x 1)19 10 ( x 1)9 10 � � 19 � � � C � � Bài toán Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) □ 3sin x 8sin x cos x 5cos x ( Đề thi ĐH Nông Nghiệp I Hà Nội – Năm 1995) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) 3sin x 8sin x cos x 5cos x cos x tan x tan x 16 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Đặt t tan x , ta có: dt dx cos x Từ đó, ta có: dx c os x f ( x)dx � � tan x tan x dt �2 3t 8t dt � (t 1)(3t 5) Ta dùng cách đồng hệ số sau: Đặt � A � A B � � A(3t 5) B(t 1) � � (t 1)(3t 5) t 3t �B � Vì vậy, dt dt dt � � � (t 1)(3t 5) t 3t 1 ln | t 1| ln | 3t | C 2 tan x ln C tan x Bài tốn Tìm họ ngun hàmhàm số: f ( x) □ sin x sin x ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi: Đặt f ( x) sin x sin x sin x (sin x cos x) t x , ta có: dt dx sin x � � 2sin �x � � 4� Từ đó, ta có: � � sin � t � sin t cos t dt 4� � f ( x)dx � dt � sin t � sin t sin t cos t dt dt � cos t � sin t 17 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến d (cos t ) d (sin t ) � cos t �sin t � � cos �x � 2 � 4� ln C � � � � cos �x � 4sin �x � � 4� � 4� Bài tốn Tìm họ nguyênhàmhàm số: f ( x) □ cos x sin x cos x ( Đề thi Học Viện Ngân Hàng – Khôi D – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) cos x cos2 x sin x cos x 4sin �x � � � � 3� Đặt t x , ta có: dt dx Do đó, � � cos2 � t � cos2 x 3� � f ( x) 4sin t � � 4sin �x � � 3� 2 2 cos2t cos sin 2t sin 3 4sin t cos2t sin 2t 2 4sin t 1 sin t cos t 8sin t Vì vậy: dt cos tdt � sin tdt � � sin tdt cos tdt sin t � d (cost ) � � sin tdt cos tdt cos t � cos t 1 ln cos t sin t C 16 cos t f ( x )dx � sin tdt � 8sin t � 18 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến � � cos �x � 1 � � cos �x � sin �x � C ln � � � � 16 � � � 3� � 3� cos �x � � 3� Bài tốn 5.Tìm họ ngun hàmhàm số: □ x3 x f ( x) x x4 x2 Hướng dẫn Ta biến đổi : � � � � 1 � 1 � � � � x � x x x � � f ( x) � 1� � 1� x x4 x x3 x x � �x � x x3 � � x� � x� � � 1 � � x � � f ( x )dx � dx Từ đó, ta có: � � 1� � 1� �x � �x � � x� � x� � � 1 � dx Đặt t x , ta có: dt � x � x � dt (1 t t )dt f ( x)dx � Vì vậy, � t t � t (t 1) dt tdt dt d (t 1) �� t t2 1 � t �t 1 ln | t | ln | t 1| C x x x2 ln C ln C � 1� x 3x �x � � x� 19 □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến 1.3 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊNHÀM TỪNG PHẦN 1.3.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Cơng thức tính ngun hàm phần a) Định lí Nếu hai hàm số v v( x) u u ( x) có đạo hàm liên tục K u ( x)v '( x)dx u ( x)v( x) � u '( x)v( x)dx � b) Chú ý Vì v '( x)dx dv, u '( x)dx du , nên đẳng thức viết dạng udv uv � vdu � c) Nhận xét +) Hàm số dấu nguyênhàm thường hai loại hàm số khác +) Cần phải chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v, đồng thời tính vdu đơn giản nguyênhàm � udv nguyênhàm � 2) Các hàm số dùng phương pháp tính nguyênhàm phần thường gặp +) Dạng 1: P ( x)Q( x)dx , � Q( x) ln(ax b) � với P(x) đa thức � Q( x) log m (ax b) � � � ln(ax b) u� u Q ( x) � � log m (ax b) Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: � � dv P( x)dx � � dv P ( x )dx � � Q( x) e( ax b ) P ( x ) Q ( x ) dx +) Dạng 2: � , với P(x) đa thức � Q( x) m( ax b ) � u P ( x) � u P ( x) � � e( ax b ) dx Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: �dv � dv Q ( x ) dx � � � ( ax b ) m dx � � +) Dạng : P ( x)Q( x)dx , � Q( x) sin(ax b) � với P(x) đa thức � Q( x) cos(ax b) � u P ( x) � Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: �dv Q( x)dx u P ( x) � � sin( ax b) dx � � dv � � cos(ax b)dx � � � P ( x) e( ax b ) Q( x) sin(ax b) � P ( x)Q( x)dx , với � +) Dạng 4: � � Q( x) cos(ax b) P ( x) m( ax b ) � � 20 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến � � e( ax b ) u � ( ax b ) � u P ( x) m � � � Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: � sin(ax b)dx �dv Q( x)dx � � dv � � cos(ax b)dx � � +) Dạng 5: P ( x)Q( x)dx , � với P( x) x k Q( x) sin(ln x) � � Q( x) cos(ln x) (k ��) � � Q( x) sin(log m x) � Q( x) cos(log m x) � � � sin(ln x) � � cos(ln x) � u� u Q( x) � � sin(log m x) , k �� Khi đó, ta đặt: � , nghĩa : � � �dv P ( x)dx � � cos(log m x) � � k � �dv x dx 1.3.2 BÀI TOÁN MINH HOẠ P ( x)Q ( x )dx , với P(x) đa thức 1.3.2.1 Dạng 1: Tìm họ nguyênhàm : � Q( x ) ln(ax b) � � Q( x ) log m (ax b ) � Bài tốn 1.Tìm họ ngun hàm f ( x) ln( x 1) x2 Hướng dẫn Ta dùng phương pháp tính nguyênhàm phần: �u ln( x 1) � Đặt: � dx , ta có dv � � x dx � du � � x 1 � 1 � v � x Từ đó, ta được: ln( x 1) dx x2 ln( x 1) dx � x x( x 1) ln( x 1) � �1 � dx � � x �x x � ln( x 1) x ln C x x 1 �f ( x) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) x ln x 21 □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyênhàm phần � �u1 ln x Đặt � , �dv1 x dx ln x � du1 dx � � x ta � x4 � v1 � Từ đó, suy ra: x4 x ln xdx �f ( x)dx ln x � x4 ln x J x ln xdx Chúng ta tính: J � Ta dùng phương pháp nguyênhàm phần sau: �u2 ln x Đặt � , �dv2 x dx � du2 dx � � x ta � x � v2 � Ta suy ra: x4 ln x x C 16 x4 �x � f ( x)dx ln x � ln x x � C Vì vậy: � �4 16 � J 1.3.2.2 Dạng : Tìm họ nguyênhàm : P ( x)Q ( x )dx , � □ với P(x) đa thức ( ax b ) � Q( x) e � Q( x) m( ax b ) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) ( x 2)e2 x Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyênhàm phần �u x Đặt � , 2x �dv e dx �du dx � ta � x v e � � Từ đó, ta có: ( x 2)e �f ( x)dx � 2x dx 2x 2x e ( x 2) � e dx 2 xe x e x C □ 22 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) x 5e x Hướng dẫn Đặt t x Vi phân hai vế ta được: dt xdx 2 f ( x)dx � x 5e x dx Từ đó, ta có: � t t e dt 2� du 2tdt � u t2 � � � Dùng phương pháp nguyênhàm phần: Đặt � , ta có: v et dv et dt � � 1 f ( x)dx t 2et � tet dt t 2e t J Ta được: � 2 t te dt +) Tính J � Dùng phương pháp nguyênhàm phần: u1 t du1 dt � � , ta có: � t t v1 e �dv1 e dt � t t e dt tet et C Ta được: J te � Đặt � Vậy: t t x2 x2 f ( x ) dx t e e C x e e C � 2 □ P ( x)Q ( x )dx , với P(x) đa thức 1.3.2.3 Dạng : Tìm họ nguyênhàm : � Q( x) sin( ax b) � � Q( x) cos( ax b) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) (2 x 1)cos x Hướng dẫn Ta biến đổi: �1 cos2 x � �dx � (2 x 1)cos xdx � (2 x 1) � �f ( x)dx � � 1 (2 x 1) dx � xcos2xdx � cos2xdx � 2 J K L 1 J � (2 x 1) dx ( x x) C1 +)Tính 2 K � xcos2xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyênhàm phần: �du dx � � v sin x � � 1 K � xcos2xdx x sin x � sin xdx 2 ux � Đặt � , ta có: �dv cos2 xdx Ta được, 23 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến 1 x sin x cos2 x C2 L� cos2xdx sin x C3 +) Tính 1 Vậy: I J K L ( x x) x sin x cos2 x sin x C 2 4 x sin x f ( x) Bài tốn Tìm họ ngun hàm cos x □ Hướng dẫn Ta biến đổi: x sin x �f ( x)dx �cos x +) Tính: +) Tính: dx x sin x � dx � dx I1 I cos x cos x I1 � dx tan x C1 cos x x sin x I � dx cos x Ta dùng phương pháp nguyênhàm phần: ux � � Đặt : � sin x , ta có dv dx � cos x � du dx � � � v � � cos x Khi đó, I2 x dx x cos xdx � � cos x cos x cos x cos x x d (sin x) � cos x sin x x � 1 � � d (sin x) � � cos x �sin x sin x � x � sin x � � ln � C2 cos x � sin x � Vậy : I I1 I tan x x � sin x � � ln � C cos x � sin x � P ( x )Q( x )dx , với 1.3.2.4 Dạng 4: Tìm họ nguyênhàm : � Q( x) sin( ax b) � � Q( x) cos( ax b) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) e3 x sin x Hướng dẫn 24 □ � P ( x) e( ax b ) � P ( x) m( ax b ) � CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyênhàm phần: u sin x � Đặt � , ta có: dv e3 x dx � du cos xdx � � � 3x v e � � Ta được: 3x I � f ( x)dx � e3 x sin xdx e3 x sin x � e cos4 xdx 3 3x e3 x sin x � e cos4 xdx 3 e3 x sin x J 3 3x J � e cos4 xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyênhàm phần: u1 cos4 x � Đặt � , ta có: dv1 e3 x dx � �du1 4sin xdx � � 3x v1 e � � Từ đó, ta có : 3x J � e3 x cos4 xdx e3 x cos4 x � e sin4 xdx 3 e3 x cos4 x I 3 3 (e 1) I 3 Do đó, ta suy : � 34 � I e3 x sin x � (e 1) I � 3�3 � �I 2 � � 3x e sin x 4( e 1) � C � 25 � � Bài tốn Tìm họ nguyênhàm f ( x) e x cos xdx Hướng dẫn Ta biến đổi: x e (1 cos2x)dx 2� x x � e dx � e cos2xdx 2 1 ex J 2 x J � e cos2xdx I � f ( x)dx � e x cos xdx +) Tính 25 □ CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyênhàm phần: u cos2 x � Đặt � dv e x dx � �du 2sin xdx , ta có: � v ex � Từ đó, ta có : J � e x cos2xdx e x cos2x 2� e xsin2xdx e x cos2x K K � e sin2xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyênhàm phần: x u1 sin2 x � , ta có: dv1 e x dx � Đặt � �du1 2cos2 xdx � v1 e x � Từ đó, ta có : K � e x sin2xdx e xsin2x � e x cos2xdx e x sin2x J Suy ra: J e x cos2x K e x cos2x 2e x sin2x J � J e x cos2x 2e xsin2x � J (e x cos2x 2e x sin2x ) C x x Vậy : I e (e cos2x 2e xsin2x) C □ 10 P ( x)Q ( x )dx , với P ( x) x k (k ��) 1.3.2.5.Dạng :Tìm họ nguyênhàm : � Q( x) sin(ln x) � � Q( x) cos(ln x ) � � Q( x) sin(log m x ) � Q( x) cos(log m x ) � Bài tốn Tìm họ nguyênhàm f ( x) cos(ln x) Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyênhàm phần: � u cos(ln x) du sin(ln x)dx � � x Đặt � , ta có: � dv dx � � vx � Từ đó, ta có : I � f ( x)dx � cos(ln x)dx x cos(ln x) � sin(ln x)dx x cos(ln x) J J � sin(ln x)dx +) Tính Dùng phương pháp nguyênhàm phần: 26 CHƯƠNG I: NGUYÊNHÀM Ths Cù Văn Luyến � u1 sin(ln x) du1 cos(ln x) dx � � x Đặt � , ta có: � �dv1 dx � v1 x � Suy ra: J � sin(ln x)dx x sin(ln x) � cos(ln x)dx x sin(ln x) I Vì vậy: I x cos(ln x) J x cos(ln x) x sin(ln x ) I � I x cos(ln x) x sin(ln x) C � I x cos(ln x) x sin(ln x) C □ 27