THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Chương I: NGUYÊN HÀM 1.1 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1.1.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Định nghĩa nguyên hàm : a) Định nghĩa : Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) K F '( x) f ( x) với x �K b) Nhận xét : Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K F ( x ) C , C �� họ tất nguyên hàm f ( x) K Kí hiệu f ( x )dx F ( x ) C � * Chú ý: Biểu thức f ( x)dx vi phân nguyên hàm F ( x) ( với F ( x) nguyên hàm f ( x) ), dF ( x) F '( x)dx f ( x) dx 2) Tính chất bản: f '( x)dx f ( x) C +)Tính chất 1: � kf ( x) dx k � f ( x) dx +)Tính chất 2: � ( k số khác 0) [f ( x) �g ( x)]dx � f ( x)dx �� g ( x)dx +)Tính chất 3: � 1.1.2 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN THƯỜNG DÙNG dx x C +) Nguyên hàm 1: � x 1 x dx C ( �1) +) Nguyên hàm 2: � 1 +) Nguyên hàm 3: �dx ln | x | C ( x �0) x 1 b dx ln | ax b | C , ( x � ) � ax b a a x x e dx e C +) Nguyên hàm 4: � e ax b dx eax b C (a �0) � a cos xdx sin x C +) Nguyên hàm 5: � cos( ax b)dx sin(ax b) C � a +) Nguyên hàm 6: (a �0) � cos dx tan x C x 1 dx tan(ax b) C (a �0) � cos (ax b) a sin xdx cos x C +) Nguyên hàm 7: � sin(ax b)dx cos(ax b) C � a (a �0) CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến +) Nguyên hàm 8: � sin dx cot x C x 1 dx cot(ax b) C (a �0) � sin (ax b) a tan xdx ln | cos x | C +) Nguyên hàm 9: � tan(ax b)dx ln | cos(ax b) | C (a �0) � a cot xdx ln | sin x | C +) Nguyên hàm 10: � cot(ax b)dx ln | sin(ax b) | C (a �0) � a ax a dx C ( a 0, a �1) +) Nguyên hàm 11: � ln a x 1.1.3 BÀI TOÁN MINH HOẠ Bài toán Chứng minh F ( x) ln | x x a | nguyên hàm f ( x) � x2 a ' Ta có: F '( x) ln | x x a | 1 Nên suy ra: F '( x) x2 a Hướng dẫn x x2 a ' x x2 a x x2 a x x2 a x x x2 a x a x a x2 a f ( x), x �� Vì vậy, F ( x) nguyên hàm f ( x) � Từ đó, ta có họ nguyên hàm tổng quát 1: Bài toán Chứng minh F ( x) f ( x) �x □ a dx ln | x x a | C xa ln với a nguyên hàm 2a x a , x ��a x a2 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn ' 2a �x a � � � x a Với x ��a , ta có: F '( x) �x a � 2a x a 2a x a xa xa 1 ( x a)( x a) x a , x ��a □ x a2 xa dx ln C , x ��a 2 � x a xa Vậy F ( x) với a nguyên hàm hàm số f ( x) Từ ta có họ nguyên hàm tổng quát 2: a sin x b cos x có họ nguyên hàm dạng c sin x d cos x F ( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C Bài toán Chứng minh f ( x) Hướng dẫn Ta có: F '( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C ' c cos x d sin x c sin x d cos x ( Ac Bd )sin x ( Bc Ad )cosx c sin x d cos x � ac bd A �Ac Bd a � � c2 d �� Ta đặt: � �Bc Ad b �B bc ad � c2 d Từ đó, ta có: F '( x) f ( x) A B Vậy F ( x) Ax B ln | c sin x d cos x | C họ nguyên hàm f ( x) Từ đó, ta có họ nguyên hàm tổng quát : a sin x b cos x dx Ax B ln | c sin x d cos x | C � c sin x d cos x ,với A a sin x b cos x □ c sin x d cos x ac bd bc ad ;B 2 c d c d2 Bài tốn 4.Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) x(1 x) 20 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1998) Hướng dẫn 20 Ta biến đổi : f ( x) x( x 1) ( x 1) 1 ( x 1) 20 ( x 1)21 ( x 1) 20 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: f ( x) dx � x(1 x) dx � � ( x 1) dx � ( x 1) dx � ( x 1) d ( x 1) � ( x 1) 20 21 20 21 20 d ( x 1) ( x 1) 22 ( x 1) 21 C 22 21 □ Từ đó, ta có tốn tìm họ ngun hàm tổng qt 4: Bài tốn tổng qt Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) x(1 x) n , n �� Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x ) x (1 x ) n ( x 1) 1 ( x 1) n ( x 1)2 n 1 ( x 1) n Từ đó, ta có: f ( x)dx � x(1 x ) dx � � ( x 1) dx � ( x 1) dx � ( x 1) d ( x 1) � ( x 1) 2n n 1 2n n 1 2n d ( x 1) ( x 1) n ( x 1) n 1 C 2n 2n □ Bài tốn 5.Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) x 2001 ( x 1)1002 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : x 2001 x 2000 x dx dx 1002 1000 � � ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 1000 � x2 � x � dx �2 � 2 �x � ( x 1) 1000 � x2 � � x2 � � � � d� � �x � �x � 1001 � x2 � � � C 2(1001) �x � □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có tốn tìm họ nguyên hàm tổng quát 5: Bài toán tổng quát Tìm họ nguyên hàm hàm số: x n 3 f ( x) ( x 1)n (n �* , n 2) Hướng dẫn Cách giải Đặt x tan t , t �( , ) 2 dt Vi phân hai vế ta có: dx (1 tan t )dt cos t Từ đó, ta có: x n 3 tan n 3 t f ( x ) dx dx (tan t 1) dt n n � � � ( x 1) (tan t 1) tan n 3 t tan n 3 t � dt � dt 2( n 1) n 1 ( ) (tan t 1) cost � sin n 3 t.cos tdt sin n t C 2n n 1 � x2 � � � C 2n �x � Cách giải Ta biến đổi: x n 3 x 2n4 x f ( x )dx �2 dx �2 dx n n2 � ( x 1) ( x 1) ( x 1) n2 � x2 � x � dx �2 � 2 �x � ( x 1) n2 � x2 � � x2 � � � � d � � �x � �x � n 1 � x2 � � � C 2( n 1) �x � ■ Bài tốn Tìm họ nguyên hàm hàm số: a) f ( x) x4 x x x2 x b) g ( x) ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: f ( x) x4 x2 x2 x x4 x x x2 x CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến ( x x 1)( x x 1) x2 x x2 x f ( x)dx � ( x x 1)dx � Vì vậy: x3 x x C ( Với C số) □ b) Ta có: x4 x2 ( dùng x x chia cho x x ) x x 1 ( x x 2)( x x 1) x2 x x2 x g ( x) dx � ( x x 2)dx � g ( x) Vậy: x3 x x C ( Với C số) Bài tốn 7.Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) □ x 3x x 3x ( Đề thi ĐH Y Dược TP HCM – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) A B C x 3x 3x2 3x x 1 x x 3x ( x 1) ( x 2) ( x 1) x 3x A( x 2) B ( x 1)( x 2) C ( x 1) 3A � �A � � �� C 1 Giải hệ phương trình: �9 9C � �B A 2B C � � Khi đó: Từ đó, ta có: dx f ( x)dx 3� � ( x 1) dx dx 2� � x 1 x2 ln | x 1| ln | x | C x 1 □ Bài tốn 8.Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) x x5 ( Đề thi ĐH Y Hà Nội – Năm 1997) CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) 1 x2 x2 x3 x5 x3 ( x 1) 1 3 x (1 x ) x 1 x2 x2 3 x x( x 1) 1 x 3 x x ( x 1) Từ đó, ta có: dx dx f ( x) � � � � x x (x x dx 1) 1 ln | x | ln( x 1) C 2x Bài tốn 9.Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) □ x x 3x Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) Từ đó, ta có: x ( x 1)( x 2) x� ( x 2) ( x 1) � � � 2 ( x 1)( x 2) x x x 1 x 2 x x f ( x )dx � dx � dx � x 1 x 2 2 d ( x 1) d ( x 2) �2 �x x 2 x 1 ln C x 2 Bài tốn 10.Tìm họ ngun hàm hàm số: □ f ( x) tan x 2x 1 2x 1 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1999) Hướng dẫn CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Ta có: f ( x) tan x 2x 2x 1 sin x 2x x 1 cos x (2 x 1) (2 x 1) sin x ( x x 1) cos x Từ đó, ta có �sin x � x x 1) �dx � sin x 1 � dx �2 x 1d (2 x 1) �2 x 1d (2 x 1) cos x 4 3 � 1� ln | cos x | � (2 x 1) (2 x 1) � C 6� � f ( x) dx � ( � � cos x � □ Bài tốn 11.Tìm họ ngun hàm hàm số: a ) f ( x) a) Ta có: sin x cos x sin x cos x b) g ( x ) cos x sin x cos x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1999) Hướng dẫn sin x cos x f ( x)dx � dx � sin x cos x d (sin x cos x) � sin x cos x ln | sin x cos x | C □ b) Ta có: cos x g ( x) dx � dx � sin x cos x cos x sin x � dx sin x cos x � (cos x sin x)dx sin x cos x C □ Bài tốn 12.Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) sin x.sin x tan x cot x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1997) Hướng dẫn Ta có: tan x cot x sin x cos2 x cos x sin x 10 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos(2 x x) cos x sin x sin x sin x.sin x f ( x) sin x sin x.sin 3x.sin x (cos5 x cos x)sin x (cos5 x sin x cos x sin x) (sin x sin x sin x sin x) Do đó: Vì vậy: f ( x)dx � (sin x sin x sin x sin x) dx � 1 1 cos9 x cos5 x cos3 cos x C 36 20 12 □ Bài tốn 13.Tìm họ ngun hàm hàm số: a ) f ( x) cos x cos x b) g ( x) cos x cos x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: f ( x) cos3 x cos x (cos3x 3cos x)cos3 x cos 3x cos x cos 3x 4 (1 cos6 x ) (cos4 x cos2 x) 8 Vì vậy: f ( x)dx � (1 cos6 x 3cos x 3cos x) dx � 1 3 x sin x sin x sin x C 48 32 16 b) Ta có: (1 cos2 x)cos2 x 1 cos2 x (1 cos4 x) g ( x) cos x cos x 11 □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: 1 f ( x )dx � cos2 xdx � (1 cos4 x)dx � 1 sin x x sin x C 4 16 □ Bài tốn 14 Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) sin x cos 3x cos x sin 3x ( Đề thi Học Viện Quan Hệ Quốc Tế – Khối A – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f ( x) sin x cos x cos x sin x 1 (3sin x sin x)cos3 x ( cos3 x 3cos x)sin x 4 1 sin x cos 3x sin x sin x sin x cos x 8 sin x 3 f ( x) dx � sin xdx cos4 x C Vì vậy: � 16 □ f ( x) tan x Bài tốn15 Tìm họ ngun hàm hàm số: ( Đề thi ĐH Thương Mại – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f ( x) tan x tan x(tan x 1) tan x(tan x 1) (tan x 1) Vì vậy: f ( x)dx � tan x(tan x 1)dx � (tan x 1)dx � dx � � tan xd (tan x) � d (tan x) � dx 2 2 tan x tan x x C □ Bài tốn 16 Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) sin x cos x ( Đề thi ĐH Bách Khoa Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 12 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến � � sin x cos x cos �x � � 4� � � � � 2� cos �x � � � 4� � � x � � 2.2sin � � �2 � Từ đó, ta có : dx �x � sin � � �2 � �x � d� � �2 � � 2 sin �x � � � �2 � 1 �x � cot � � C �2 � f ( x)dx � 2� □ Bài tốn17 Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) sin x 3sin x sin x 3sin x ( Đề thi ĐH Sư Phạm Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 3sin x sin x 3sin x 3(sin x sin x) sin x cos x sin x 2sin x cos x cos x(3sin x sin x) 2cos x(3sin x 3sin x 4sin x) 8cos 3x sin x Do đó: f ( x) Vì vậy, sin x sin x 3sin x sin x 3sin x 8cos x sin x 8cos x f ( x)dx � dx � 8cos x cos3x dx 8� cos 3x d (sin 3x) � 24 sin x 1 sin 3x ln C 48 sin 3x □ 13 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến f ( x) sin x Bài tốn 18 Tìm họ nguyên hàm hàm số: ( Đề thi ĐH Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : (1 cos2 x) 1� � � cos x (1 cos4 x ) � 4� � �3 � � cos x cos4 x � �2 � f ( x ) sin x (sin x) Vì vậy: �3 � f ( x )dx � dx � cos x cos4 x � � �2 � 1 x sin x sin x C 32 □ Bài tốn 19 Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) sin( x) cos x ( số) ( Đề thi ĐH Xây Dựng – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi : sin cosx sin x cos dx cos x cosx sin x sin � dx cos � dx cos x cos x d (sin x) d (cosx) sin � cos � sin x cos x sin x cos sin ln C sin x cos x f ( x) dx � � □ f ( x) Bài tốn 20 Tìm họ ngun hàm hàm số: sin xcos5 x ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) sin xcos x sin xcos5 x cos x cos3 x Từ đó, ta có: 14 cos8 x sin x cos3 x cos x tan x CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến dx f ( x)dx � � cos x tan x � tan x d (tan x) 4 tan x C □ Bài tốn 21 Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) (sin x cos x)(sin x cos x) ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi : (sin x cos x) (sin x cos x) 2sin xcos x sin 2 x (3 cos4 x) 6 (sin x cos x) (sin x) (cos x)3 (sin x cos x)(sin x cos x sin xcos x) 1 (3 cos4 x) sin 2 x 4 (5 3cos x) Từ đó, ta có: 1 f ( x ) (3 cos4 x) (5 3cos x) (15 14 cos x 3cos x) 32 �33 � � 14 cos x cos8 x � 32 �2 � Vì vậy: �33 � 14 cos x cos8 x � dx � �33 � � x sin x sin x � C 32 �2 16 � f ( x )dx � � 32 � �2 15 □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến 1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Định lí: f (u )du F (u ) C u u ( x) hàm có đạo hàm liên tục K Nếu � f (u ( x))u '( x) dx F (u ( x)) C � b) Hệ quả: Với u ax b, (a �0) , ta có: f (ax b) dx F ( ax b) C � a c) Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến u (u u ( x)) sau tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u ( x) 1.2.2 BÀI TỐN MINH HOẠ Bài tốn 1.Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) 10 x x 1 ( Đề thi Học Viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thông – Năm 1999) Hướng dẫn Ta dùng phương pháp đổi biến số: Đặt t 10 x � t10 x , ta có: 10t dt dx Vì vậy, ta có: (t 10 1) f ( x ) dx � � t 10t dt 10 � (t18 t ) dt 10 19 10 t t 19 �10 ( x 1)19 10 ( x 1)9 10 � � 19 � � � C � � Bài toán Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) □ 3sin x 8sin x cos x 5cos x ( Đề thi ĐH Nông Nghiệp I Hà Nội – Năm 1995) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) 3sin x 8sin x cos x 5cos x cos x tan x tan x 16 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Đặt t tan x , ta có: dt dx cos x Từ đó, ta có: dx c os x f ( x)dx � � tan x tan x dt �2 3t 8t dt � (t 1)(3t 5) Ta dùng cách đồng hệ số sau: Đặt � A � A B � � A(3t 5) B(t 1) � � (t 1)(3t 5) t 3t �B � Vì vậy, dt dt dt � � � (t 1)(3t 5) t 3t 1 ln | t 1| ln | 3t | C 2 tan x ln C tan x Bài tốn Tìm họ ngun hàm hàm số: f ( x) □ sin x sin x ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi: Đặt f ( x) sin x sin x sin x (sin x cos x) t x , ta có: dt dx sin x � � 2sin �x � � 4� Từ đó, ta có: � � sin � t � sin t cos t dt 4� � f ( x)dx � dt � sin t � sin t sin t cos t dt dt � cos t � sin t 17 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến d (cos t ) d (sin t ) � cos t �sin t � � cos �x � 2 � 4� ln C � � � � cos �x � 4sin �x � � 4� � 4� Bài tốn Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) □ cos x sin x cos x ( Đề thi Học Viện Ngân Hàng – Khôi D – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi: f ( x) cos x cos2 x sin x cos x 4sin �x � � � � 3� Đặt t x , ta có: dt dx Do đó, � � cos2 � t � cos2 x 3� � f ( x) 4sin t � � 4sin �x � � 3� 2 2 cos2t cos sin 2t sin 3 4sin t cos2t sin 2t 2 4sin t 1 sin t cos t 8sin t Vì vậy: dt cos tdt � sin tdt � � sin tdt cos tdt sin t � d (cost ) � � sin tdt cos tdt cos t � cos t 1 ln cos t sin t C 16 cos t f ( x )dx � sin tdt � 8sin t � 18 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến � � cos �x � 1 � � cos �x � sin �x � C ln � � � � 16 � � � 3� � 3� cos �x � � 3� Bài tốn 5.Tìm họ ngun hàm hàm số: □ x3 x f ( x) x x4 x2 Hướng dẫn Ta biến đổi : � � � � 1 � 1 � � � � x � x x x � � f ( x) � 1� � 1� x x4 x x3 x x � �x � x x3 � � x� � x� � � 1 � � x � � f ( x )dx � dx Từ đó, ta có: � � 1� � 1� �x � �x � � x� � x� � � 1 � dx Đặt t x , ta có: dt � x � x � dt (1 t t )dt f ( x)dx � Vì vậy, � t t � t (t 1) dt tdt dt d (t 1) �� t t2 1 � t �t 1 ln | t | ln | t 1| C x x x2 ln C ln C � 1� x 3x �x � � x� 19 □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến 1.3 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 1.3.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Cơng thức tính ngun hàm phần a) Định lí Nếu hai hàm số v v( x) u u ( x) có đạo hàm liên tục K u ( x)v '( x)dx u ( x)v( x) � u '( x)v( x)dx � b) Chú ý Vì v '( x)dx dv, u '( x)dx du , nên đẳng thức viết dạng udv uv � vdu � c) Nhận xét +) Hàm số dấu nguyên hàm thường hai loại hàm số khác +) Cần phải chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v, đồng thời tính vdu đơn giản nguyên hàm � udv nguyên hàm � 2) Các hàm số dùng phương pháp tính nguyên hàm phần thường gặp +) Dạng 1: P ( x)Q( x)dx , � Q( x) ln(ax b) � với P(x) đa thức � Q( x) log m (ax b) � � � ln(ax b) u� u Q ( x) � � log m (ax b) Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: � � dv P( x)dx � � dv P ( x )dx � � Q( x) e( ax b ) P ( x ) Q ( x ) dx +) Dạng 2: � , với P(x) đa thức � Q( x) m( ax b ) � u P ( x) � u P ( x) � � e( ax b ) dx Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: �dv � dv Q ( x ) dx � � � ( ax b ) m dx � � +) Dạng : P ( x)Q( x)dx , � Q( x) sin(ax b) � với P(x) đa thức � Q( x) cos(ax b) � u P ( x) � Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: �dv Q( x)dx u P ( x) � � sin( ax b) dx � � dv � � cos(ax b)dx � � � P ( x) e( ax b ) Q( x) sin(ax b) � P ( x)Q( x)dx , với � +) Dạng 4: � � Q( x) cos(ax b) P ( x) m( ax b ) � � 20 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến � � e( ax b ) u � ( ax b ) � u P ( x) m � � � Khi đó, ta đặt: � , nghĩa là: � sin(ax b)dx �dv Q( x)dx � � dv � � cos(ax b)dx � � +) Dạng 5: P ( x)Q( x)dx , � với P( x) x k Q( x) sin(ln x) � � Q( x) cos(ln x) (k ��) � � Q( x) sin(log m x) � Q( x) cos(log m x) � � � sin(ln x) � � cos(ln x) � u� u Q( x) � � sin(log m x) , k �� Khi đó, ta đặt: � , nghĩa : � � �dv P ( x)dx � � cos(log m x) � � k � �dv x dx 1.3.2 BÀI TOÁN MINH HOẠ P ( x)Q ( x )dx , với P(x) đa thức 1.3.2.1 Dạng 1: Tìm họ nguyên hàm : � Q( x ) ln(ax b) � � Q( x ) log m (ax b ) � Bài tốn 1.Tìm họ ngun hàm f ( x) ln( x 1) x2 Hướng dẫn Ta dùng phương pháp tính nguyên hàm phần: �u ln( x 1) � Đặt: � dx , ta có dv � � x dx � du � � x 1 � 1 � v � x Từ đó, ta được: ln( x 1) dx x2 ln( x 1) dx � x x( x 1) ln( x 1) � �1 � dx � � x �x x � ln( x 1) x ln C x x 1 �f ( x) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) x ln x 21 □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm phần � �u1 ln x Đặt � , �dv1 x dx ln x � du1 dx � � x ta � x4 � v1 � Từ đó, suy ra: x4 x ln xdx �f ( x)dx ln x � x4 ln x J x ln xdx Chúng ta tính: J � Ta dùng phương pháp nguyên hàm phần sau: �u2 ln x Đặt � , �dv2 x dx � du2 dx � � x ta � x � v2 � Ta suy ra: x4 ln x x C 16 x4 �x � f ( x)dx ln x � ln x x � C Vì vậy: � �4 16 � J 1.3.2.2 Dạng : Tìm họ nguyên hàm : P ( x)Q ( x )dx , � □ với P(x) đa thức ( ax b ) � Q( x) e � Q( x) m( ax b ) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) ( x 2)e2 x Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm phần �u x Đặt � , 2x �dv e dx �du dx � ta � x v e � � Từ đó, ta có: ( x 2)e �f ( x)dx � 2x dx 2x 2x e ( x 2) � e dx 2 xe x e x C □ 22 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) x 5e x Hướng dẫn Đặt t x Vi phân hai vế ta được: dt xdx 2 f ( x)dx � x 5e x dx Từ đó, ta có: � t t e dt 2� du 2tdt � u t2 � � � Dùng phương pháp nguyên hàm phần: Đặt � , ta có: v et dv et dt � � 1 f ( x)dx t 2et � tet dt t 2e t J Ta được: � 2 t te dt +) Tính J � Dùng phương pháp nguyên hàm phần: u1 t du1 dt � � , ta có: � t t v1 e �dv1 e dt � t t e dt tet et C Ta được: J te � Đặt � Vậy: t t x2 x2 f ( x ) dx t e e C x e e C � 2 □ P ( x)Q ( x )dx , với P(x) đa thức 1.3.2.3 Dạng : Tìm họ nguyên hàm : � Q( x) sin( ax b) � � Q( x) cos( ax b) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) (2 x 1)cos x Hướng dẫn Ta biến đổi: �1 cos2 x � �dx � (2 x 1)cos xdx � (2 x 1) � �f ( x)dx � � 1 (2 x 1) dx � xcos2xdx � cos2xdx � 2 J K L 1 J � (2 x 1) dx ( x x) C1 +)Tính 2 K � xcos2xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyên hàm phần: �du dx � � v sin x � � 1 K � xcos2xdx x sin x � sin xdx 2 ux � Đặt � , ta có: �dv cos2 xdx Ta được, 23 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến 1 x sin x cos2 x C2 L� cos2xdx sin x C3 +) Tính 1 Vậy: I J K L ( x x) x sin x cos2 x sin x C 2 4 x sin x f ( x) Bài tốn Tìm họ ngun hàm cos x □ Hướng dẫn Ta biến đổi: x sin x �f ( x)dx �cos x +) Tính: +) Tính: dx x sin x � dx � dx I1 I cos x cos x I1 � dx tan x C1 cos x x sin x I � dx cos x Ta dùng phương pháp nguyên hàm phần: ux � � Đặt : � sin x , ta có dv dx � cos x � du dx � � � v � � cos x Khi đó, I2 x dx x cos xdx � � cos x cos x cos x cos x x d (sin x) � cos x sin x x � 1 � � d (sin x) � � cos x �sin x sin x � x � sin x � � ln � C2 cos x � sin x � Vậy : I I1 I tan x x � sin x � � ln � C cos x � sin x � P ( x )Q( x )dx , với 1.3.2.4 Dạng 4: Tìm họ nguyên hàm : � Q( x) sin( ax b) � � Q( x) cos( ax b) � Bài tốn Tìm họ ngun hàm f ( x) e3 x sin x Hướng dẫn 24 □ � P ( x) e( ax b ) � P ( x) m( ax b ) � CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyên hàm phần: u sin x � Đặt � , ta có: dv e3 x dx � du cos xdx � � � 3x v e � � Ta được: 3x I � f ( x)dx � e3 x sin xdx e3 x sin x � e cos4 xdx 3 3x e3 x sin x � e cos4 xdx 3 e3 x sin x J 3 3x J � e cos4 xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyên hàm phần: u1 cos4 x � Đặt � , ta có: dv1 e3 x dx � �du1 4sin xdx � � 3x v1 e � � Từ đó, ta có : 3x J � e3 x cos4 xdx e3 x cos4 x � e sin4 xdx 3 e3 x cos4 x I 3 3 (e 1) I 3 Do đó, ta suy : � 34 � I e3 x sin x � (e 1) I � 3�3 � �I 2 � � 3x e sin x 4( e 1) � C � 25 � � Bài tốn Tìm họ nguyên hàm f ( x) e x cos xdx Hướng dẫn Ta biến đổi: x e (1 cos2x)dx 2� x x � e dx � e cos2xdx 2 1 ex J 2 x J � e cos2xdx I � f ( x)dx � e x cos xdx +) Tính 25 □ CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyên hàm phần: u cos2 x � Đặt � dv e x dx � �du 2sin xdx , ta có: � v ex � Từ đó, ta có : J � e x cos2xdx e x cos2x 2� e xsin2xdx e x cos2x K K � e sin2xdx +) Tính Dùng phương pháp nguyên hàm phần: x u1 sin2 x � , ta có: dv1 e x dx � Đặt � �du1 2cos2 xdx � v1 e x � Từ đó, ta có : K � e x sin2xdx e xsin2x � e x cos2xdx e x sin2x J Suy ra: J e x cos2x K e x cos2x 2e x sin2x J � J e x cos2x 2e xsin2x � J (e x cos2x 2e x sin2x ) C x x Vậy : I e (e cos2x 2e xsin2x) C □ 10 P ( x)Q ( x )dx , với P ( x) x k (k ��) 1.3.2.5.Dạng :Tìm họ nguyên hàm : � Q( x) sin(ln x) � � Q( x) cos(ln x ) � � Q( x) sin(log m x ) � Q( x) cos(log m x ) � Bài tốn Tìm họ nguyên hàm f ( x) cos(ln x) Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm phần: � u cos(ln x) du sin(ln x)dx � � x Đặt � , ta có: � dv dx � � vx � Từ đó, ta có : I � f ( x)dx � cos(ln x)dx x cos(ln x) � sin(ln x)dx x cos(ln x) J J � sin(ln x)dx +) Tính Dùng phương pháp nguyên hàm phần: 26 CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths Cù Văn Luyến � u1 sin(ln x) du1 cos(ln x) dx � � x Đặt � , ta có: � �dv1 dx � v1 x � Suy ra: J � sin(ln x)dx x sin(ln x) � cos(ln x)dx x sin(ln x) I Vì vậy: I x cos(ln x) J x cos(ln x) x sin(ln x ) I � I x cos(ln x) x sin(ln x) C � I x cos(ln x) x sin(ln x) C □ 27
Ngày đăng: 06/04/2019, 16:17
Xem thêm: