CD tu giac noi tiep

Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 MỤC LỤC Khái niệm tứ giác nội tiếp Định lý Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc  Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme 4 Ví dụ minh hoạ Phân loại tập A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (hai góc đối diện bù ) Nhận biết: Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: Thông hiểu: Vận dụng thấp: Vận dụng cao: C Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” Nhận biết: Thông hiểu: Vận dụng thấp: 10 Vận dụng cao: 10 Tài liệu sưu tầm, tổng hợp nguôn! CẢM ƠN "ANH" ĐÃ TẶNG EM TÀI LIỆU QUÝ! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 HƯỚNG DẪN GIẢI 12 A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 12 Nhận biết: 12 Thông hiểu 12 Vận dụng thấp 13 Vận dụng cao 15 B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm 16 Nhận biết: 16 Thông hiểu: 17 Vận dụng thấp: 18 Vận dụng cao: 20 C CM hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” 20 Nhận biết: 20 Thông hiểu: 21 Vận dụng thấp: 22 Vận dụng cao: 24 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Khái niệm tứ giác nội tiếp B * Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn A O C * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD D Hình Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A  C  1800 B  D  1800 Định lý * Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o * Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o tứ giác nội tiếp đường tròn Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc  Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn Ví dụ minh hoạ Bài 1: A Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp B ' C ' Giải: Cách 1: Phương pháp 2: B O C Gọi O trung điểm BC Xét BB’C có : BB'C  90 (GT) OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp  OB’ = OB = OC = r Ủng hộ word: 0986 915 960 (1) Xét BC’C có : BC'C  90 (GT) Tương tự  OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn Cách 2: Phương pháp 3: A Ta có: BB’  AC (GT)  BB'C  90 B' C' CC’  AB (GT)  BC'C  90  B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng  B’, C’ nằm đường tròn đường kính BC O C B Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường tròn đường kính BC Cách 3: (Phương pháp phương pháp 1) Ta có: BB’  AC (GT)  BB'A  90 CC’  AB (GT)  CC'A  90 Xét ABB AC C có ABB  AC C  900 BAC chung Vậy ABB AC C (g-g)  Xét ABC  ABC ta có AB ' AB AB ' AC '    AC ' AC AB AC AB ' AC '  BAC chung Vậy ABC  AB AC ABC (c-g-c)  AB 'C'  ABC Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc đỉnh B Vậy tứ giác BC ' B ' C nội tiếp (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp tứ giác BC ' B ' C có C ' BC  C ' B ' C  1800 nên tứ giác BC ' B ' C tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Phân loại tập A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (hai góc đối diện bù ) Nhận biết: Câu 1: Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường tròn? Chứng minh Câu 2: Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M MA.MD  MB.MC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Câu 3: Cho đường tròn  O; R  ,đường kính AB Dây BC  R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn Thơng hiểu Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 5: Cho khác A , BM cắt F tia Câu 6: Cho đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E ) đường tròn tâm O đường kính AB ,điểm M nửa đường tròn ( M B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM BE cắt Ax H ,cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Chứng minh: ABD  DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp Câu 7: Cho đường tròn  O; R  ; AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn  O; R  cắt đường thẳng AC , AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ACD CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Câu 8: Cho nửa đường tròn đường kính BC  R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường tròn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R  25 BH  10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Câu 9: Ủng hộ word: 0986 915 960 Cho đường tròn  O, R  đường kính AB Các tia AC , AD cắt Bx E F ( F nằm B E ) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Vận dụng cao Câu 10: Cho ABC cân A , I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh bốn điểm B, I , C , K thuộc đường tròn tâm O Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI ( K khác C I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O  M , tia BM cắt tia CI D Chứng minh: 1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ABD ~ MBC 3) AKDE tứ giác nội tiếp B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: Câu 13: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB  CD) có C  D  600 , CD  AD Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Câu 14: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Câu 15: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Chứng minh B, K , H , C nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Thông hiểu: Câu 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 17: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC , MI  AB, MK  AC  I  AB, K  AC  a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC  P  BC  Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Câu 18: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM  900 ( I M không trùng với đỉnh hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp: Câu 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn  O  D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 20: Cho hai đường tròn  O  (O) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường kính hai đường tròn  O  (O) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E ; đường thẳng AD cắt đường tròn  O  F ( E, F khác A ) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn Câu 21: Cho đường tròn  O  (O) cắt hai điểm A B phân biệt Đường thẳng OA cắt  O  , (O) điểm thứ hai C D Đường thẳng OA cắt  O  , (O) điểm thứ hai E E, F Chứng minh đường thẳng AB , CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 22: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua V vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp C Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” Nhận biết: Câu 23: Cho tam giác ABC , lấy điểm D thay đổinằm cạnh BC (D không trùng với B C ) Trên tia AD lấy điểm P cho D nằm A P đồng thời DA.DP DB.DC Đường tròn T qua hai điểm A, D cắt cạnh AB, AC F E Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp Câu 24: Từ điểm A nằm đường tròn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC ( I  AB, K  AC ) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 25: Cho đường tròn  O  có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn Thơng hiểu: Câu 26: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC ( I  AB, K  AC ) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC  P  BC  Chứng minh: MPK  MBC Câu 27: Cho đường tròn  O; R  có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB ( CD khơng qua tâm O ) Trên tia đối tia BA lấy điểm S ; SC cắt  O; R  điểm thứ hai M Gọi H giao điểm MA BC ; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 28: Cho đường tròn  O  có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB CMD c) Gọi I giao điểm AN CM , K giao điểm BN DM Chứng minh IMKN tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp: Câu 29: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM  900 ( I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Câu 30: Cho đường tròn  O  với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC  AB AC  BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến  O  D C cắt E Gọi P , Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD ; AD với CE 1) Chứng minh rằng: DE / / BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn Câu 31: Cho tam giác ABC có C  B  900 , đường cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh BAC  900 BAH  MAC b) Nếu BAH  MAC tam giác ABC có vng khơng, sao? Vận dụng cao: Câu 32: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường tròn đường kính AD , tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH , DCEH nội tiếp đường tròn 2) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 3) Năm điểm B, C, I , O, H thuộc đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 10 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 33: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM  900 ( I M khơng trùng với đỉnh hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp, từ suy : CK  BN Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  D  AC; E  AB  Kẽ đường kính O , đường cao BD , CE cắt H BK , Kẽ CP  BK  P  BK  a) Chứng minh BECD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EDPC tứ giác nội tiếp, từ suy ED  CP ( trích HK2-Sở Bắc Ninh 2016-2017) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 11 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 HƯỚNG DẪN GIẢI A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (hai góc đối diện bù ) Nhận biết: Câu 1: M Ta có hình chữ nhật hình thang cân có tổng hai góc đối diện bù nên chúng nội tiếp đường tròn B A Câu 2: Xét hai tam giác MAB , MCD Có AMB  CMD MA.MD  MB.MC  MA MC  hay MB MD C MAB MCD hay MCD  MAB  DAB  BCD  180o hay tứ giác ABCD nội tiếp D Câu 3: Ta có E trung điểm AC  OE  AC Mà Bx  AB  ABx  90o nên tứ giác OBME nội tiếp Thông hiểu C E Câu 4: F Tứ giác BEFI có: BIF  900 (gt) BEF  BEA  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF Câu 5: I B O D Ta có: AMB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  KMF  90o (vì hai góc kề bù) AEB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  KEF  90o (vì hai góc kề bù)  KEF  KMF  180o EFMK tứ giác nội tiếp Câu 6: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 12 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 1) ADB có ADB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) X E  ABD  BAD  90o (vì tổng ba góc tam giác 180o )(1) ABF có ABF  90o ( BF tiếp tuyến ) C F D  AFB  BAF  90o (vì tổng ba góc tam giác 180o ) (2) Từ (1) (2)  ABD  DFB O A B 2) Tứ giác ACDB nội tiếp  O   ABD  ACD  180o  ECD  ACD  180o  ( Vì hai góc kề bù)  ECD  DBA Theo ABD  DFB , ECD  DBA  ECD  DFB Mà EFD  DFB  180o ( Vì hai góc kề bù) nên  ECD  AEFD  180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp Câu 7: A a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật D O C b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy CAD  BCE  900 (1) Lại có CBE  E B F 1 sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD  sđ AD (góc nội 2 tiếp), mà BC  AD (do BC  AD )  CBE  ACD (2) Từ (1) (2) suy ACD CBE c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE  DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD  DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 13 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 8: a) Ta có BAC  90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) Tương tự có BDH  CEH  90o A Xét tứ giác ADHE có A  ADH  AEH  90o hay ADHE hình chữ nhật Từ DE  AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) E D B O1 H O C O2 hay AH  10.40  202  BH  10; CH  2.25 10  40  DE  20 b) Ta có: BAH = C (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH  ADE (1) (Vì ADHE hình chữ nhật) => C  ADE C  BDE  180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Câu 9: X E C D A O F B ABD  BFD (1) (cùng phụ với DBF ) Mặt khác A, B , C , D nằm đường tròn nên ECD  ABD (2) Từ (1) (2) ECD  BFD  ECD  EFD  180o hay CEFD tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 14 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao A Câu 10: Theo giả thiết ta có: B1 = B2 , B3 = B4 Mà B1 + B2 + B3 + B4 = 1800 B2  B3  900 I Tương tự C2 + C3 = 900 B H C Xét tứ giác BICK có B + C = 1800  bốn điểm B, I , C, K thuộc đường tròn tâm O đường kính IK O Câu 11: K Từ giả thiết suy CFH = 900 , HEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tứ giác AFHE có:  AFHE hình chữ nhật A=F=E= 90o 2) Vì AFHE hình chữ nhật  AFHE nội tiếp  AFE = AHE (góc nội tiếp chắn AE ) (1) Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng  ) (2) Từ (1) (2)  AFE = ABH mà CFE + AFE = 1800 D  CFE + ABH = 1800 Vậy tứ giác BEFC nội tiếp Câu 12: M I 1) Ta có: AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa K đường tròn)  AMD  900 Tứ giác ACMD có AMD  ACD  900 , suy ACMD nội tiếp đường tròn đường kính AD E A C B O 2) ABD MBC có: B chung BAD  BMC (do ACMD tứ giác nội tiếp) Suy ra: ABD ~ MBC (g – g) 3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC  BDC , lại có: BDC  CAK (cùng phụ với B ), suy ra: EDC  CAK Do AKDE tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 15 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: Câu 13: A B D C I  IC  AB  ICBA hình hành  BC  AI (1) Gọi I trung điểm CD , ta có   IC / / AB Tương tự AD  BI (2) ABCD hình thang có C  D  600 nên ABCD hình thang cân(3); mà Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD hay IA  IB  IC  ID hay bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Câu 14: A M B S O N D R C Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC,BD ; AC, BD phân giác góc A, B, C, D nên MAO  SAO  NCO  PDO  OM  ON  OP  OS hay bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 16 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 15: A H K B I C Gọi I trung điểm CB , CHB; CKB vuông H , K nên IC  IB  IK  IH hay B, K , H , C nằm đường tròn tâm I C Thông hiểu: Câu 16: E F Tứ giác BEFI có: BIF  90 (gt) A I B O BEF  BEA  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF D A K Câu 17: I a) Ta có: AIM  AKM  900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM B M H C P O b) Tứ giác CPMK có MPC  MKC  90 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 17 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 18: a)Tứ giác BIEM : IBM  IEM  900 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM K b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng) B c) EBI ECM có BE  CE , BEI  CEM ( I N M C IEM  BEC  900 ) E  EBI =ECM (g-c-g)  MC  IB  MB  IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA  = Suy IM song song với BN MN MC IB A D (định lí Thalet đảo)  BKE  IME  450 (2) Lại có BCE  450 (do ABCD hình vng) Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp: Câu 19: x N C M D E A I H O B Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO  MCO  900  AMCO tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO ADB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ADM  900 (1) Lại có: OA  OC  R ; MA  MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC  AEM  90 (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 18 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 20: F E d A I M O/ O K C N D B a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  (O)  ABC  ABD  900 Suy C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có: CFD  CFA  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) CED  AED  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/)  CFD  CED  900 suy CDEF tứ giác nội tiếp Câu 21: I E D A O' O B C H F Q P Ta có: ABC  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ABF  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng AB , CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy Do IEF  IBF  900 suy BEIF nội tiếp đường tròn Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 19 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 22: y x D N C K I A M O B a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC  900 (gt) MAC  900 ( tínhchất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD b) ANB CMD có: ABN  CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN  DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB c) ANB CMD (g.g) CMD  CMD  ANB  90o (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  ) Suy IMK  INK  900  IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK C Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” Nhận biết: Câu 23: Ta có A DA DC DA.DP  DB.DC   DB DP mà ADB  CDP nên hai tam giác ADB,CDP đồng dạng Suy ra, DAB nội tiếp DCP Tứ giác ABPC F B 1 K E D H C P Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 20 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 24: A K I M H B C P O Ta có: AIM  AKM  900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM Câu 25: y x D N C K I A M O B Tứ giác ACNM có: MNC  90o (gt) MAC  90o ( tínhchất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD Thơng hiểu: A Câu 26: a) Ta có: AIM  AKM  900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM K I b) Tứ giác CPMK có MPC  MKC  900 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp  MPK  MCK (1) B Vì KC tiếp tuyến  O  nên ta có: MCK  MBC M H C P O (cùng chắn MC ) (2) Từ (1) (2) suy MPK  MBC (3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 21 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 27: Vì AB  CD nên AC  AD Suy MHB  MKB (vì (sdAD  sdMB)  tứ giác BMHK nội tiếp đường tròn Câu 28: a) Tứ giác ACNM có: MNC  90 (gt) y x o MAC  90o ( tínhchất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có: D N C K I M A O B ABN  CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN  DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)  ANB c) ANB tròn (O)) CMD (g.g) CMD  CMD  ANB  90o (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường Suy IMK  INK  90o  IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK Vận dụng thấp: K Câu 29: a)Tứ giác BIEM : IBM  IEM  900 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng) N M B C I E c) EBI ECM có BE  CE , BEI  CEM ( IEM  BEC  900 )  EBI =ECM (g-c-g)  MC  IB  MB  IA A Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh D 22 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: Ủng hộ word: 0986 915 960 MA MB IA  = Suy IM / / BN (định MN MC IB lí Thalet đảo)  BKE  IME  450 (2) Lại có BCE  450 (do ABCD hình vng) Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Câu 30: a 1 1) CDE  Sđ DC  Sđ BD = BCD  DE / / BC 2 2) APC  o sđ (AC - DC) = AQC b c  PACQ nội tiếp đường tròn (vì APC = AQC ) e d p q Câu 31: Ta có: BAH  BCA (cùng phụ với ABC ) MCA  MAC (Tam giác MAC cân M theo tính chất trung tuyến tam giác vuông) Suy BAH  MAC b) Giả sử tam giác ABC tam giác vuông Kẻ đường cao CN tam giác ABC B H Ta có MAC  BAH (giả thiết) M BAH  BCN (cùng phụ với ABC ) N MCN  MNC (Tam giác MNC cân N ) C A Suy MAC  MNC Do ACMN tứ giác nội tiếp mà ANC  900  AMC  900  H  M Suy tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết) Vậy BAH  MAC tam giác ABC tam giác vng Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 23 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Vận dụng cao: Câu 32: 1) Tứ giác ABEH có: B = 90o (góc nội tiếp C nửa đường tròn); H = 90o (giả thiết) B nên tứ giác ABEH nội tiếp E I Tương tự, tứ giác DCEH có C = H = 90 , nên nội tiếp o A H D O 2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH , ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH ) Trong  O  ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD ) Suy ra: EBH = EBC , nên BE tia phân giác góc HBC Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE tia phân giác góc BCH Vậy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 3) Ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng ECD , nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC ) Mà EDC = EHC , suy BIC = BHC + Trong  O  , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC ) Hay năm điểm B, C, I , O, H thuộc đường tròn Câu 33: K a) Tứ giác BIEM có: IBM  IEM  900 (gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng) N M B C I c) EBI ECM có: IBE  MCE  450 , BE  CE E , BEI  CEM ( IEM  BEC  900 ) A Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh D 24 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960  EBI  ECM  g.c.g   MC  IB  MB  IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA  = Suy MI / / BN (định lí Thalet đảo) MN MC IB  BKE  IME  450 (2) Lại có BCE  450 (do ABCD hình vng) Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Suy ra: BKC  BEC  1800 mà BEC  900 ; suy BKC  900 ; hay CK  BN Câu 34: A K D P E H O C B Do E, D, P nhìn BC góc vng nên B, E, D, P, C nằm đường tròn đường kính BC Nên BECD , EDPC tứ giác nội tiếp Phương pháp ta chứng minh cách đưa phương pháp Phương pháp ta tam giác đồng dạng đưa chứng minh phương pháp Tài liệu tập trung vào phương pháp hay gặp đề tuyển sinh THPT Chúc em học tốt! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 25 ... Nhận biết: Câu 13: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB  CD) có C  D  600 , CD  AD Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Câu 14: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo... đường tròn B A Câu 2: Xét hai tam giác MAB , MCD Có AMB  CMD MA.MD  MB.MC  MA MC  hay MB MD C MAB MCD hay MCD  MAB  DAB  BCD  180o hay tứ giác ABCD nội tiếp D Câu 3: Ta có E trung điểm AC... ABF  90o ( BF tiếp tuyến ) C F D  AFB  BAF  90o (vì tổng ba góc tam giác 180o ) (2) Từ (1) (2)  ABD  DFB O A B 2) Tứ giác ACDB nội tiếp  O   ABD  ACD  180o  ECD  ACD  180o  ( Vì