Chuyªn ®Ị: tø gi¸c néi tiÕp I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) Kh¸i niƯm: Mét tø gi¸c cã ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn ®ỵc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (Gäi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp) B A O C D 2) §Þnh lÝ - Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 180 -NÕu mét tø gi¸c cã tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp ®êng trßn 3) DÊu hiƯu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tỉng sè hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm(mµ ta cã thĨ x¸c ®Þnh ®ỵc) §iĨm ®ã lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α II) Bµi tËp Bµi tËp Cho ∆ ABC vu«ng ë A Trªn AC lÊy diĨm M vµ vÏ ®êng trßn ®êng kÝnh MC KỴ BM c¾t ®êng trßn t¹i D §êng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S Chøng minh r»ng: · · · a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp b) ABD c) CA lµ ph©n gi¸c cđa SCB = ACD Bµi tËp Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E VÏ EF vu«ng gãc víi AD Chøng minh: · a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA lµ ph©n gi¸c cđa BCF c) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa DE Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi tËp Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E trªn AD lµ F §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ M Giao ®iĨm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy µ = 900 ; AB > AC) vµ mét ®iĨm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng Bµi tËp Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A trïng víi A vµ C) Gäi N vµ D lÇn lỵt lµ giao ®iĨm thø hai cđa BC vµ MB víi ®¬ng trßn ®êng kÝnh MC; gäi S lµ giao ®iĨm thø hai gi÷a AD víi ®êng trßn ®êng kÝnh MC; T lµ giao ®iĨm cđa MN vµ AB Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, N vµ B cïng thc mét ®êng trßn · b CM lµ ph©n gi¸c cđa gãc BCS c TA TC = TD TB Bµi tËp Cho ®êng trßn (O) vµ ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn Qua A dùng hai tiÕp tun AM vµ AN víi ®êng trßn (M, N lµ c¸c tiÕp ®iĨm) vµ mét c¸t tun bÊt k× c¾t ®êng trßn t¹i P, Q Gäi L lµ trung ®iĨm cđa PQ a/ Chøng minh ®iĨm: O; L; M; A; N cïng thc mét ®êng trßn · b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cđa MLN c/ Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MN vµ LA Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iĨm cđa ML víi (O) Chøng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh ∆KLN c©n Bµi tËp Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H khơng trùng với điểm A AH CD; AB//CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ D c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cđa h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S Chøng minh: * I lµ trung ®iĨm cđa RS 1 + = * AB CD RS Bµi tËp 24 Cho ®êng trßn (O; R) cã hai ®êng kÝnh AOB vµ COD vu«ng gãc víi LÊy ®iĨm E bÊt k× trªn OA, nèi CE c¾t ®êng trßn t¹i F Qua F dùng tiÕp tun Fx víi ®]êng trßn, qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA Gäi I lµ giao ®iĨm cđa Fx vµ Ey a/ Chøng minh I; E; O; F cïng n»m trªn mét ®êng trßn b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chun ®éng trªn AB th× I chun ®éng trªn ®êng nµo? Bµi tËp 25 Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BC b¸n kÝnh R vµ ®iĨm A trªn nưa ®êng trßn (A kh¸c B vµ C) Tõ A h¹ AH vu«ng gãc víi BC Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp c H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm A cho tø gi¸c AFHE cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R Bµi tËp 26 Cho ®iĨm M, N, P th¼ng hµng theo thø tù ®ã Mét ®êng trßn (O) thay ®ỉi ®i qua hai ®iĨm M, N Tõ P kỴ c¸c tiÕp tun PT, PT’ víi ®êng trßn (O) a) Chøng minh: PT2 = PM.PN Tõ ®ã suy (O) thay ®ỉi vÉn qua M, N th× T, T’ thc mét ®êng trßn cè ®Þnh b) Gäi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K lµ trung ®iĨm cđa MN Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chøng minh: Khi ®êng trßn (O) thay ®ỉi vÉn ®i qua M, N th× TT’ lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh d) Cho MN = NP = a T×m vÞ trÝ cđa t©m O ®Ĩ gãc T· P T ' = 600 Bµi tËp 27 Cho ∆ABC vu«ng ë A Trªn AC lÊy ®iĨm M (M≠A vµ C) VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh MC Gäi T lµ giao ®iĨm thø hai cđa c¹nh BC víi ®êng trßn Nèi BM kÐo dµi c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ D §êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iĨm thø hai S Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp · b) Khi M chun ®éng trªn AC th× ADM cã sè ®o kh«ng ®ỉi c) AB//ST Bµi tËp 28 Cho hai ®êng trßn b»ng (O) vµ (O') c¾t t¹i A, B §êng vu«ng gãc víi AB kỴ qua B c¾t (O) vµ (O') lÇn lỵt t¹i c¸c ®iĨm C, D LÊy M trªn cung nhá BC cđa ®êng trßn (O) Gäi giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng MB víi ®êng trßn (O') lµ N vµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng CM, DN lµ P a Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? b Chøng minh ACPD néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn c Gäi giao ®iĨm thø hai cđa AP víi ®êng trßn (O') lµ Q, chøng minh r»ng BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ∆ ABC vng A (AB < AC) H nằm A C Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng · c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bµi tËp 30 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = 2/3 AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 31 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH ⊥ AB c) Cho BC = R Tính PK Bµi tËp 32 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iĨm cđa IK Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho ®iĨm A bªn ngoµi ®êng trßn (O ; R) Tõ A vÏ tiÕp tun AB, AC vµ c¸t tun ADE ®Õn ®êng trßn (O) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa DE a) Chøng minh n¨m ®iĨm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn · b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cđa BHC c) DE c¾t BC t¹i I Chøng minh : AB2 = AI.AH d) Cho AB=R vµ OH= R TÝnh HI theo R Bµi tËp 34 Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn ( M kh¸c A,B) Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB chøa nưa ®êng trßn kĨ tiÕp tun Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cđa gãc IAM c¾t nưa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E ∈ (O1); F ∈ (O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C∈ (O1); D ∈ (O2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường nào? · Bµi tËp 36 Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC, CD lÇn lỵt lÊy ®iĨm E, F cho EAF = 450 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) ∆CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diƯn tÝch b»ng Bµi tËp 37 Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, hai ®iĨm C vµ D thc ®êng trßn, B lµ trung ®iĨm cđa cung nhá CD KỴ ®êng kÝnh BA; trªn tia ®ãi cđa tia AB lÊy ®iĨm S, nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H a Chøng minh: ∠BMD = ∠BAC , tõ ®ã suy tø gi¸c AMHK néi tiÕp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bµi tËp 38 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, mét ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN, cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b Chøng minh V AME ®ång d¹ng víi V ACM vµ AM2 = AE.AC c Chøng minh AE.AC − AI.IB = AI2 d H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 39 Cho ba ®iĨm A, B, C trªn mét ®êng th¼ng theo thø tù Êy vµ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy ®iĨm M bÊt k× Tia CM c¾t ®êng th¼ng d t¹i D; Tia AM c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai N; Tia DB c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai P a) Chøng minh: Tø gi¸c ABMD néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh träng t©m G cđa tam gi¸c MAB ch¹y trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh Bµi tËp 40 Cho ®êng trßn (O) vµ ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn ë B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn (M kh¸c B vµ C) Gäi H; K; I lÇn lỵt lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M xng BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · H b/ Chøng minh: MHI = MK c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tËp 41 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A M vµ Q lµ hai ®iĨm trªn (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A C¸c ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lỵt c¾t ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ N vµ P Chøng minh: TÝch BN.BM kh«ng ®ỉi Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp BÊt ®¼ng thøc: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O vµ P lµ trung ®iĨm cđa cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC vµ PD lÇn lỵt c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a Gãc CID b»ng gãc CKD b Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc mét dêng trßn c IK // AB Bµi tËp 43 Trªn ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB, lÊy hai ®iĨm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iĨm M, E kh¸c hai ®iĨm A, B) AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D a Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB b Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chøng minh c¸c TT t¹i M vµ E cđa ®êng trßn(O) c¾t t¹i mét ®iĨm n»m trªn ®êng th¼ng CD d Cho biÕt ∠BAM = 450 vµ ∠BAE = 300 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo R Bµi tËp 44 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Mét c¸t tun MN quay xung quanh trung ®iĨm H cđa OB Giäi I lµ trung ®iĨm cđa MN Tõ A kỴ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K Gäi C lµ giao ®iĨm cđa Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ TiÕp tun Bt víi ®êng trßn (O) c¾t tia AM ë E, c¾t tia Ax ë F Gäi D lµ giao ®iĨm thø hai cđa tia Ax víi (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho ∆ ABC c©n (AB = AC) vµ gãc A nhá h¬n 60 0; trªn tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) KÐo dµi ®êng cao CH cđa ∆ ABC c¾t BD t¹i E VÏ ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi CD t¹i F Qua C vÏ tiÕp tun CG cđa ®êng trßn nµy Chøng minh: Bèn ®iĨm B, E, C, G thc mét ®êng trßn c) C¸c ®êng th¼ng AB vµ CG c¾t t¹i M, tø gi¸c AFGM lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh: ∆ MBG c©n Bµi tËp 46 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R, ®êng th¼ng d kh«ng qua O vµ c¾t ®êng trßn t¹i hai ®iĨm A, B Tõ mét ®iĨm C trªn d (C n»m ngoµi ®êng trßn), kỴ hai tiÕp tun CM, CN víi ®êng trßn (M, N thc (O)) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa AB, ®êng th¼ng OH c¾t tia CN t¹i K a Chøng minh ®iĨm C, O, H, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn b Chøng minh KN.KC = KH.KO c §o¹n th¼ng CO c¾t ®êng trßn (O) t¹i I, chøng minh I c¸ch ®Ịu CM, CN vµ MN d Mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ song song víi MN c¾t c¸c tia CM, CN lÇn lỵt t¹i E vµ F X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C trªn d cho diƯn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt Bµi tËp 47 Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cđa ®êng trßn (O; R) (0 < BC < 2R) A lµ mét ®iĨm di ®éng trªn cung lín BC cho ∆ ABC nhän C¸c ®êng cao AD; BE; CF c¾t t¹i H (D ∈ BC; E ∈ CA; F ∈ AB) Chøng minh: Tø gi¸c BCEF néi tiÕp Tõ ®ã suy AE.AC = AF.AB Gäi A' lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng: AH = 2OA' KỴ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A §Ỉt S lµ diƯn tÝch ∆ ABC, 2p lµ chu vi ∆ DEF Chøng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48 Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD vµ ®¸y nhá BC néi tiÕp ®êng trßn t©m O; AB vµ CD kÐo dµi c¾t t¹i I C¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn t©m O t¹i B vµ D c¾t t¹i ®iĨm K a Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c H×nh thang ABCD ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ tø gi¸c AIKD lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 49 Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét ®iĨm A n»m trªn ®êng trßn Mét gãc xAy = 900 quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax, Ay c¾t ®êng trßn (O) Gäi c¸c giao ®iĨm thø hai cđa Ax, Ay víi (O) t¬ng øng lµ B, C §êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iĨm thø hai t¬ng øng lµ M, N Tia OM c¾t ®êng trßn t¹i P Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP Chøng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa gãc xAy cho tam gi¸c AMN cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi tËp 50 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ hai ®iĨm C, D thc nưa ®êng trßn cho cung AC nhá h¬n 900 vµ gãc COD = 900 Gäi M lµ mét ®iĨm trªn nưa ®êng trßn cho C lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AM C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lỵt t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung MB c) Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nưa ®êngtrßn t¹i M vµ c¾t c¸c tia OC, OD lÇn lỵt t¹i I, K Chøng minh c¸c tø gi¸c OBKM vµ OAIM néi tiÕp ®ỵc d) Gi¶ sư tia AM c¾t tia BD t¹i S H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C vµ D cho ®iĨm M, O, B, K, S cïng thc mét ®êng trßn Bµi tËp 52 Cho ®êng trßn (O) vµ hai ®iĨm A, B ph©n biƯt thc (O) cho ®êng th¼ng AB kh«ng ®i qua t©m O Trªn tia ®èi cđa tia AB lÊy ®iĨm lÊy ®iĨm M kh¸c A, tõ M kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt ME, MF víi ®êng trßn (O) (E, F lµ c¸c tiÕp ®iĨm) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa d©y cung AB C¸c ®iĨm K vµ I theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng EF víi c¸c ®êng th¼ng OM vµ OH a) Chøng minh ®iĨm M, O, H, E, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chøng minh: IA, IB lµ c¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) Bµi tËp 53 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB CD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh BC Bµi tËp 54 Cho ®êng trßn (0) vµ mét ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn Tõ A kỴ hai tiÕp tun AB, AC vµ c¸t tun AMN víi ®êng trßn (B, C, M, N thc ®êng trßn vµ AM < AN) Gäi E lµ trung ®iĨm cđa d©y MN, I lµ giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng CE víi ®êng trßn a) Chøng minh: Bèn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸t tun AMN ®Ĩ diƯn tÝch tam gi¸c AIN lín nhÊt Bµi tËp 55 Cho ®êng trßn (O) cã t©m O, ®êng kÝnh AB Trªn tiÕp tun cđa ®êng trßn O t¹i A lÊy ®iĨm M (M kh«ng trïng víi A) Tõ M kỴ c¸t tun MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tun thø hai MI (I lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) §êng th¼ng BC vµ BD c¾t ®êng th¼ng OM lÇn lỵt tai E vµ F Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, I vµ O n»m trªn mét ®êng trßn b ∠IAB = ∠AMO c O lµ trung ®iĨm cđa FE Bµi tËp 56 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M thc cung AB, C thc OA Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB cã chøa M kỴ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm C ®Ĩ tø gi¸c AEFC lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 57 Cho ®êng trßn (O) vµ ®êng th¼ng xy ngoµi ®êng trßn §êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®êng trßn (O) t¹i A vµ B M lµ ®iĨm trªn (O), ®êng th¼ng AM c¾t xy t¹i E, ®êng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tun t¹i M c¾t xy t¹i I, ®êng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F cïng thc mét ®êng trßn c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tun cđa (O) d) T×m tËp hỵp t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AMH M di ®éng trªn (O) Bµi tËp 58 Cho ®êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB; ®iĨm I n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ O KỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I, ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i M vµ N Gäi S lµ giao ®iĨm BM vµ AN Qua S kỴ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lỵt ë K vµ H H·y chøng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM 2) KM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O; R) 3) Ba ®iĨm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59 Cho ®êng trßn (0; R), mét d©y CD cã trung ®iĨm M Trªn tia ®èi cđa tia DC lÊy ®iĨm S, qua S kỴ c¸c tiÕp tun SA, SB víi ®êng trßn §êng th¼ng AB c¾t c¸c ®êng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) X¸c ®Þnh vÞ ®iĨm S trªn tia ®èi cđa tia DC ®Ĩ C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA Bµi tËp 60 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB K thc cung BM ( K kh¸c M vµ B ) AK c¾t MO t¹i I a) Chøng minh : Tø gi¸c OIKB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa M lªn AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cđa gãc MOK e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ chu vi tam gi¸c OPK lín nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cđa K lªn AB) Bµi tËp 61 Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (0) Tia ph©n gi¸c cđa gãc B, gãc C c¾t ®êng trßn nµy thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t t¹i F Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i ? d) T×m ®iỊu kiƯn cđa tam gi¸c ABC ®Ĩ tø gi¸c AEFD lµ h×nh thoi ®ång thêi cã diƯn tÝch gÊp lÇn diƯn tÝch tø gi¸c AIFK Bµi tËp 62 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, trªn ®o¹n OA lÊy ®iĨm I cho AI = OA KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) Chøng minh : C¸c tam gi¸c AME, ACM ®ång d¹ng vµ AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC – AI IB = AI2 d) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 63 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O;R)(AB < CD) Gäi P lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I a) Chøng minh: Tø gi¸c CKID néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: IK // AB c) Chøng minh: Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chøng minh : AP lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AED f) Gäi R1 , R2 lµ c¸c b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AED vµ BED.Chøng minh: R + R2 = 4R − PA Bµi tËp 54 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a E lµ ®iĨm ®i chun trªn ®o¹n CD (E kh¸c D), ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K 1) Chøng minh ∆ABF = ∆ADK tõ ®ã suy ∆AFK vu«ng c©n 2) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa FK, Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iĨm A, B, F, I cïng n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lỵt lÊy hai ®iĨm A vµ B cho OA = OB M lµ mét ®iĨm bÊt kú trªn AB Dùng ®êng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A, ®êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iĨm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cđa gãc ANB 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh M thay ®ỉi 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O §êng ph©n gi¸c cđa gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iĨm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ®êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lỵt t¹i M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK/BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69 Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C Gäi K lµ ®iĨm t ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iĨm cđa AK vµ MM a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh AH.AK theo R X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã Bµi tËp 70 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lỵt t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iĨm cđa AC vµ AD 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO1 vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn mét ®êng trßn 3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A T×m tËp hỵp ®iĨm E 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 71 Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t t¹i D Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lỵt t¹i E vµ F 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng qua A ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 72 Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tun CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) Tõ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung lín AB kỴ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tun víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tun nµy c¾t t¹i M Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa O trªn MC CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cđa gãc AHB c/ Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t MA, MB lÇn lỵt t¹i E, F Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy Bµi tËp 75 Cho ®êng trßn t©m O Tõ mét ®iĨm P ë ngoµi ®êng trßn kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt PA, PC (A, C lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) a Chøng minh PAOC lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn b Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i B; ®êng th¼ng qua P song song víi AB c¾t BC t¹i D Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? 11 c Gäi I lµ giao ®iĨm cđa OC vµ PD; J lµ giao ®iĨm cđa PC vµ DO; K lµ trung ®iĨm cđa AD Chøng tá r»ng c¸c ®iĨm I, J, K th¼ng hµng Bµi tËp 76 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O M lµ mét ®iĨm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kỴ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp · · 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh ∆ AMB ~ víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ∆ABE vng cân b, Chứng minh ∆ ABF ∼ ∆ BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD, t©m O Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E xng AD vµ I lµ trung ®iĨm cđa DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH néi tiÕp ®ỵc; b) E lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH; c) N¨m ®iĨm B, C, I, O, H n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 79 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E trªn AD lµ F §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ M Giao ®iĨm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC; ∠B > 450 ), mét ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB vµ AC lÇn lỵt t¹i B vµ C Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M (M kh«ng trïng víi B vµ C) råi h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, CA, AB a ChØ c¸ch dùng ®êng trßn (O) b Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c Gäi P lµ giao ®iĨm cđa MB vµ IK; Q lµ giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 Cho ∆ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R H¹ c¸c ®êng cao AD, BE cđa tam gi¸c C¸c tia AD, BE lÇn lỵt c¾t (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ M, N Chøng minh r»ng: Bèn ®iĨm A,E,D,B n»m trªn mét ®êng trßn T×m t©m I cđa ®êng trßn ®ã MN// DE Cho (O) vµ d©y AB cè ®Þnh, ®iĨm C di chun trªn cung lín AB Chøng minh r»ng ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆CDE kh«ng ®ỉi Bµi tËp 82 Cho ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O KỴ hai tiÕp tun AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iĨm ) M lµ ®iĨm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa M trªn c¸c ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iĨm cđa MB vµ DF ; K lµ giao ®iĨm cđa MC vµ EF 1) Chøng minh : 12 a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) T×m vÞ trÝ cđa M trªn cung nhá BC ®Ĩ tÝch MD ME lín nhÊt Bµi tËp 83 Cho ∆ ABC vng cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai ®êng cao AD vµ BF gỈp t¹i H a/ Chøng minh tø gi¸c DHFC néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c b/ Gäi CK lµ ®êng cao cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC; KD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c DHCF t¹i E Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh sè ®o cđa gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun t¹i A vµ tiÕp tun t¹i D cđa ®êng trßn (O) c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Chøng minh: a ∠CAB = ∠AOD b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iĨm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®êng trßn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi BC Chøng minh r»ng AB, DK, EC ®ång quy t¹i mét ®iĨm vµ ∠DKE = ∠ABE Bµi tËp 88 Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn(O), ta kỴ c¸c tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn (O) (B, C lµ c¸c tiÕp ®iĨm) M lµ mét ®iĨm trªn cung nhá BC, ( M ≠ B; M ≠ C ) Tõ M h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK t¬ng øng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn b Chøng minh r»ng tia ®èi cđa tia MI lµ ph©n gi¸c cđa gãc KMH c Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 13 Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R vµ hai ®êng kÝnh vu«ng gãc AB vµ CD Trªn AO lÊy ®iĨm E mµ OE = AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD néi tiÕp ®ù¬c X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c c Chøng minh hai tam gi¸c CEO vµ CDM ®ång d¹ng TÝnh ®é dµi ®êng cao MH cđa tam gi¸c CDM Bµi tËp 90 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B, tiÕp tun chung víi hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) vỊ phÝa nưa mỈt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iĨm B, cã tiÕp ®iĨm thø tù lµ E vµ F Qua A kỴ c¸t tun song song víi EF c¾t ®êng trßn (O1), (O2) thø tù t¹i C, D §êng th¼ng CE vµ ®êng th¼ng DF c¾t t¹i I a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp c Chøng minh ®êng th¼ng AB ®i qua trung ®iĨm cđa EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường tròn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F A)Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp B)Chứng minh góc CAE góc MEB C) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 93 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC §iĨm A thc ®o¹n OB (A kh«ng trïng víi O vµ B), vÏ ®êng trßn (O') ®êng kÝnh AC §êng trßn ®i qua trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng AB vµ vu«ng gãc víi AB c¾t ®êng trßn (O) t¹i D vµ E Gäi F lµ giao ®iĨm thø hai cđa CD víi ®êng trßn (O'), K lµ giao ®iĨm thø hai cđa CE víi ®êng trßn (O') Chøng minh: a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b AF // BD c Ba ®iĨm E, A, F th¼ng hµng d Bèn ®iĨm M, F, C vµ E cïng thc mét ®êng trßn e Ba ®êng th¼ng CM, DK, EF ®ång quy Bµi tËp 94 Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t t¹i A vµ B §êng tiÕp tun víi (O') vÏ tõ A c¾t (O) t¹i ®iĨm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') t¹i N §êng trßn t©m I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P a Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh b Chøng minh r»ng ®iĨm O, B, I, O' n»m trªn mét ®êng trßn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn (O), kỴ hai tiÕp tun PM vµ PN víi ®êng trßn (O) (M, N lµ tiÕp ®iĨm) §êng th¼ng ®i qua ®iĨm P c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iĨm E vµ F §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q Gäi H lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c PMON néi tiÕp ®êng trßn b C¸c ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®êng trßn 14 c Tam gi¸c PQO c©n d PM2 = PE.PF 15 e ∠PHM = ∠PHN [...]... ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc trong mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy Bµi tËp 75 Cho ®êng trßn t©m O Tõ mét ®iĨm P ë ngoµi ®êng trßn kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt PA, PC (A, C lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) a Chøng minh PAOC lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn b Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i B; ®êng th¼ng qua P song song víi AB c¾t BC t¹i D Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? 11... l¹i cđa tam gi¸c ABC; KD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c DHCF t¹i E Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh sè ®o cđa gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp trong ®êng trßn (O) TiÕp tun t¹i A vµ tiÕp tun t¹i D cđa ®êng trßn (O) c¾t nhau t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Chøng minh: 1 2 a ∠CAB = ∠AOD b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm... O1O2 chøa ®iĨm B, cã tiÕp ®iĨm thø tù lµ E vµ F Qua A kỴ c¸t tun song song víi EF c¾t ®êng trßn (O1), (O2) thø tù t¹i C, D §êng th¼ng CE vµ ®êng th¼ng DF c¾t nhau t¹i I a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp c Chøng minh ®êng th¼ng AB ®i qua trung ®iĨm cđa EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường tròn) Từ điểm chính giữa của cung lớn... kÝnh R vµ hai ®êng kÝnh vu«ng gãc AB vµ CD Trªn AO lÊy ®iĨm E mµ OE = 1 AO, CE c¾t (O) ë M 3 a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD néi tiÕp ®ù¬c X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c c Chøng minh hai tam gi¸c CEO vµ CDM ®ång d¹ng TÝnh ®é dµi ®êng cao MH cđa tam gi¸c CDM Bµi tËp 90 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B, tiÕp tun chung víi hai ®êng trßn (O1) vµ (O2)... ®êng th¼ng song song víi AB c¾t MA, MB lÇn lỵt t¹i E, F Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc trong mét ®êng... trßn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn (O), kỴ hai tiÕp tun PM vµ PN víi ®êng trßn (O) (M, N lµ tiÕp ®iĨm) §êng th¼ng ®i qua ®iĨm P c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iĨm E vµ F §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q Gäi H lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c PMON néi tiÕp ®êng trßn b C¸c ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®êng trßn 14 c Tam gi¸c PQO... minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO1 vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn mét ®êng trßn 3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A T×m tËp hỵp ®iĨm E 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 71 Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh... giao ®iĨm thø hai cđa CD víi ®êng trßn (O'), K lµ giao ®iĨm thø hai cđa CE víi ®êng trßn (O') Chøng minh: a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b AF // BD c Ba ®iĨm E, A, F th¼ng hµng d Bèn ®iĨm M, F, C vµ E cïng thc mét ®êng trßn e Ba ®êng th¼ng CM, DK, EF ®ång quy Bµi tËp 94 Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A vµ B §êng tiÕp tun víi (O') vÏ tõ A c¾t (O) t¹i ®iĨm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t... t©m O vµ c¸t tun CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) Tõ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung lín AB kỴ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ∆ ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tun víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tun nµy c¾t... 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C và B Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F a, Chứng minh ∆ABE vng cân b, Chứng minh ∆ ABF ∼ ∆ BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nưa ®êng trßn ®êng ... hai tiÕp tun SA, SB vµ c¸t tun SCD cđa ®êng trßn ®ã a) Gäi E lµ trung ®iĨm cđa d©y CD Chøng minh ®iĨm S, A, E, O, B cïng thc mét ®êng trßn b) NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao? AB .CD c) Chømg... ⊥ MB Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF c) IK ⊥ CD Bµi tËp 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) M lµ ®iĨm di ®éng... ®êng trßn c AC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc EAF Bµi tËp 23 Cho h×nh thang c©n ABCD (AB >CD; AB/ /CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ D c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng