Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng khóa ngày 21/06/2008 (chuyên Toán - hệ số 2) và đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008 ……………… ……………………… MÔN THI:TOÁN (hệ số 2) Thời gian: 150 phút( không tính thời gian giao đề) ĐÈ CHÍNH THỨC Bài 1.(2 điểm). a) Chứng minh đẳng thức (2a 2 +a + 102 – 4a(2a + 1) = ( 2a 2 + a- 1)2 b) Tìm điều kiện đối với tham số a để phương trình (2a+1)x 2 – (2a 2 +a +1)x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. Bài 2.(2 điểm). a) Giải hệ phương trình      =+−− =−+− 4y5x5xy3x3 4yxxyx 2 2 b) Giải phương trình x 2 – 5x + 4 = 1x2 − Bài 3.(2 điểm). a) Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x 2 - x - 10 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức P = 577)x2x3(9)x7x2( 2 21 2 21 −−++ b) Cho biểu thức P = 21x - 6 xy +2008y - 9 x +10. Tìm điều kiện đối với các biến số x và y để biểu thức P có nghĩa.Biểu thứ P có giá trị nhỏ nhất không? Tại sao? Bài 4.(1,5 điểm).Ước chung lớn nhất của các số nguyên x và y (x và y không đồng thời bằng 0) được ký hiệu là (x, y). a) Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa: b > 0, d > 0, (a, b) = (c, d) = 1. Chứng minh rằng nếu d c b a + là một số nguyên thì b = d. b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho c 1 b 1 a 1 ++ là một số nguyên và (a, b) = (b, c) = 1 Bài 5.(1,0 điểm). Cho H là hình vuông tâm O và có độ dài cạnh bằng 1. Tìm số thực dương r để đường tròn (O; r) cắt tất cả các cạnh của H và các giao điểm tạo thành các đỉnh của một hình bát giác đều. Bài 6.(1,5 điểm).Cho đường tròn (O; R) và hai điểm B, C cố định trên (O; R) thỏa BOC = 120 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MC 1 MA 1 + khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) với M ≠ B và M ≠ C ……HẾT… Họ và tên thí sinh Phòng thi số Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008 ……………… ……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Chuyên Toán - Hệ số 2) Bản hướng dẫn gồm có 02 trang I. HƯỚNG DẪN CHUNG Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Điểm toàn bài là tổng số điểm các bài toán và không làm tròn số. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài 1 (2,00 điểm) a. (0,75 điểm)  (2a 2 + a + 1) 2 - (2a 2 + a - 1) 2 = 2(4a 2 + 2a) 0,25 = 4a((2a + 1) 0,25  Kết luận 0,25 b. (1,25 điểm)  Khi 2a + 1 = 0: Phương trình chỉ có một nghiệm 0,25  Khi 2a + 1 ≠ 0: ∆ = (2a 2 + a + 1) 2 - 4a(2a + 1) = (2a 2 + a - 1) 2 0,25  Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi:      ≠+++−+ >∆ 0a)1aa2(1a2 0 2 0,25 ⇔      ≠− ≠−+ 0a2a2 01aa2 2 2 0,25  Kết luận: a ≠ 0; a ≠ 2 1 ± ; a ≠ ±1 0,25 Bài 2 (2,00 điểm) a. (1,00 điểm)     =−− =+− ⇔    =−−− =−+− 4)5x3)(yx( 4)1x)(yx( 4)yx(5)yx(x3 4)yx()yx(x 0,25  Khi x = y thì hệ vô nghiệm 0,25  Khi x ≠ y thì ta có: x + 1 = 3a - 5 ⇔ x = 3 0,25  Kết luận: Nghiệm (3; 2) 0,25 b. (1,00 điểm)  (x - 1)(x - 4) = 2 1x − 0,25  Đặt t = 1x − ≥ 0 ta có pt: t[t(t 2 - 3) - 2] = 0 0,25  t 3 - 3t - 2 = 0 hoặc t = 0 ⇔ t = -1 (loại) hoặc t = 2 hoặc t = 0 0,25  Kết luận: x 1 = 1 và x 2 = 5 0,25 Bài 3 a. (1,00 điểm)  P = 85( 2 2 2 1 xx + ) - 80x 1 x 2 - 577 0,25  P = 85(x 1 + x 2 ) - 250x 1 x 2 - 577 0,25  x 1 + x 2 = 1 và x 1 x 2 = -10 0,25  Kết luận: P = 2008 0,25 b. (1,00 điểm)  xy ≥ 0 và x ≥ 0 0,25  (x > 0 và y ≥ 0) hoặc (x = 0 và y tùy ý) 0,25  Khi x = 0 thì P = 2008y + 10 có thể nhỏ tùy ý 0,25  Kết luận: P không có giá trị nhỏ nhất 0,25 Bài 4 (1,50 điểm) a. (0,75 điểm)  d c b a + = k ∈ Z ⇒ ad = b(ka - c)  b 0,25  ⇒ d  b (vì (a; b) = 1) 0,25  Tương tự b  d ⇒ đpcm 0,25 b. (0,75điểm) 0,25  b 1 n m b 1 c.a ca c 1 b 1 a 1 +=+ + =++ với m, n ∈ N*, n ac và (m, n) = 1  Theo câu a ta có: b = n ⇒ b ac ⇒ b = 1 vì (b, a.c) = 1 0,25  c 1 a 1 + nguyên ⇔ a = c = 1 hoặc a = c = 2 0,25 Bài 5 (1,00 điểm) Gọi ABCD là hình vuông đã cho và I là trung điểm của AB (O; r) cắt 4 cạnh của H tại 8 điểm phân biệt (M, N, P, Q, R, S, T, U như hình vẽ) khi và chỉ khi OI < r < OA ⇔ 2 2 r 2 1 < 0,25  Khi đó MN = PQ = RS = TU = 2 1r4OIOM 222 −=−  và NP = QR = ST = UM = AM 2 = 2 MN1 − 0,25 MNPQRSTU là bát giác đều ⇔ 2 MN1 − =MN ⇔ MN = 2 - 1 0,25  ⇔ 1r4 2 − = 2 - 1 ⇔ r = 2 2 1 − 0,25 Bài 6 (1,50 điểm) Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC. Trên đoạn MA lấy điểm I sao cho MI = MB. tam giác MBI cân tại M và có ∧ BMI = 60 o nên là tam giác đều ∧∧∧ =−= 23 o 1 BB60B ⇒ ∆CBM = ∆ABI (c.g.c)  ⇒ MC = IA ⇒ MB + MC = MA 0,25  ; R 2 R2 4 MA 4 2 MCMB MCMB MC.MB MCMB MC 1 MB 1 2 =≥=       + + ≥ + =+ 0,50  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC 0,25 D S R C Q P B N I M A U T O A B C M O . I 2 3 1  Kết luận: min R 2 MC 1 MB 1 =       + 0,25 . DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008 ……………… ……………………… MÔN THI:TOÁN (hệ số 2). B và M ≠ C ……HẾT… Họ và tên thí sinh Phòng thi số Số báo danh SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG