ôn thi toán - phần 2

Các bạn học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào hai kỳ thi cam go là tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học - Cao đẳng. Môn Toán là một bộ môn gây cho thí sinh nhiều khó khăn nhất ở tất cả các kỳ thi. Và để giúp cho những thí sinh có thể ôn luyện tốt hơn, Nguyễn Đức Tuấn lớp 44C1 Đại học Thủy Lợi Hà Nội đã biên soạn một ebook mang tên Tự luyện thi môn Toán.

NGUYỄN ðỨC TUẤN TỰ ÔN LUYỆN THI MÔN TOÁN MÔN TOÁNMÔN TOÁN MÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 Chương 1: Phương trình và bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b ∈ IR. • Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - a b . • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈ IR. 2) Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép == 21 xx - a2 b . • N ế u ∆ > 0 ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t = 2,1 x a2 b ∆±− . II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 1) ðịnh lí Viét : N ế u ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi ệ m 21 x,x thì S = =+ 21 xx - a b và P = = 21 x.x a c . 2) Hệ quả: Ph ươ ng trình b ậ c hai ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi ệ m: Trái d ấ u ⇔ 0 a c < Cùng d ấ u ⇔      > ≥∆ 0 a c 0 Cùng d ươ ng          >− > ≥∆ ⇔ 0 a b 0 a c 0 Cùng âm          <− > ≥∆ ⇔ 0 a b 0 a c 0 III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam th ứ c b ậ c hai f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ðịnh lí thuận: • N ế u ∆ = b 2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v ớ i ∀ x. • N ế u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v ớ i ∀ x ≠ - a2 b . • N ế u ∆ > 0 khi ñ ó f(x) có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 < x 2 và a.f(x) > 0 v ớ i x ngoài ]x;x[ 21 . a.f(x) < 0 v ớ i 21 xxx << . 2. ðịnh lí ñảo: N ế u t ồ n t ạ i s ố α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th ứ c có hai nghi ệ m phân bi ệ t và s ố α n ằ m trong kho ả ng hai nghi ệ m ñ ó: 21 xx <α< . Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 IV. Ứng dụng 1. ðiều kiện ñể f(x) = ax 2 + bx + c không ñổi dấu với mọi x f(x) > 0 v ớ i ∀ x           <∆ >    > == ⇔ 0 0a 0c 0ba f(x) ≥ 0 v ớ i ∀ x           ≤∆ >    ≥ == ⇔ 0 0a 0c 0ba f(x) < 0 v ớ i ∀ x           <∆ <    < == ⇔ 0 0a 0c 0ba f(x) ≤ 0 v ớ i ∀ x           ≤∆ <    ≤ == ⇔ 0 0a 0c 0ba 2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α • ð i ề u ki ệ n ñể f(x) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và 21 xx <α< là: a.f( α ) < 0. • ð i ề u ki ệ n ñể f(x) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và α n ằ m ngoài kho ả ng hai nghi ệ m:    >α >∆ 0)(f.a 0 - N ế u α n ằ m bên ph ả i hai nghi ệ m: α<< 21 xx ⇒        <−= >α >∆ a a2 b 2 S 0)(f.a 0 - N ế u α n ằ m bên trái hai nghi ệ m: 21 xx <<α        >−= >α >∆ ⇒ a a2 b 2 S 0)(f.a 0 • ð i ề u ki ệ n ñể f(x) có hai nghi ệ m phân bi ệ t và m ộ t nghi ệ m n ằ m trong, m ộ t nghi ệ m n ằ m ngoài ñ o ạ n [ βα; ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α : • Tr ườ ng h ợ p 1: f(x) có nghi ệ m 21 xx <α< ⇔ a.f( α ) < 0. • Tr ườ ng h ợ p 2: f(x) có nghi ệ m 21 xx <<α ⇔        <α >α ≥∆ 2 S 0)(f.a 0 • Tr ườ ng h ợ p 3: f(x) có nghi ệ m 21 xx <=α      <α =α ⇔ 2 S 0)(f ( Làm t ươ ng t ự v ớ i tr ườ ng h ợ p x < α và khi x ả y ra d ấ u b ằ ng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñị nh lí sau: Gi ả s ử hàm s ố y = f(x) liên t ụ c. Khi ñ ó ñ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình f(x) = m có nghi ệ m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai N ế u 0<∆ N ế u 0=∆ N ế u 0>∆ a.f(x) > 0 v ớ i ∀ x a.f(x) > 0 v ớ i ∀ x ≠ - a2 b a.f(x) > 0 v ớ i x ngoài ]x;x[ 21 a.f(x) < 0 v ớ i 21 xxx << Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ð i ề u ki ệ n ñể f (x) = ax 2 + bx + c có hai nghi ệ m phân bi ệ t và α n ằ m gi ữ a kho ả ng hai nghi ệ m 21 xx <α< α n ằ m ngoài kho ả ng hai nghi ệ m    >α >∆ 0)(f.a 0 α<< 21 xx α<< 21 xx a.f( α ) < 0        <−= >α >∆ a a2 b 2 S 0)(f.a 0        >−= >α >∆ a a2 b 2 S 0)(f.a 0 Ví dụ 1 . Tìm m ñể ph ươ ng trình 08mx)4m(2x 22 =+++− có 2 nghi ệ m d ươ ng. Ví dụ 2 . Xác ñị nh a ñể bi ể u th ứ c 3a3x)1a(2x)1a( 2 −+−−+ luôn d ươ ng Ví dụ 3 . Tìm m ñể b ấ t ph ươ ng trình m2xx 2 ≥−+ nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x. Ví dụ 4 . Tìm m ñể ph ươ ng trình m2mxx 2 ++ = 0 có hai nghi ệ m 21 x,x th ỏ a mãn -1< 21 xx < Ví dụ 5 . Tìm m ñể ph ươ ng trình 01m2mx2x 22 =−+− có nghi ệ m th ỏ a mãn 4xx2 21 ≤≤≤− Ví dụ 6 . Cho ph ươ ng trình 2m3x)2m(x 2 −+++ =0 Tìm m ñể ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t nh ỏ h ơ n 2 Ví dụ 7 . Tìm m ñể ph ươ ng trình 02mmx2x 2 =++− có nghi ệ m l ớ n h ơ n 1 Ví dụ 8. Tìm m ñể ph ươ ng trình 02m2m9mx6x 22 =+−+− có nghi ệ m 3xx 21 ≤≤ Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 4 Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI I. Phương trình trùng phương 0a,0cbxax 24 ≠=++ (1) ðặ t t = 2 x ≥ 0 ph ươ ng trình (1) tr ở thành: at 2 + bt + c = 0 (2) • PT (1) có nghi ệ m khi và ch ỉ khi (2) có ít nh ấ t m ộ t nghi ệ m không âm. • PT (1) có ñ úng hai nghi ệ m phân bi ệ t khi và ch ỉ khi (2) có ñ úng m ộ t nghi ệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 3 nghi ệ m phân bi ệ t khi và ch ỉ khi (2) có m ộ t nghi ệ m b ằ ng 0 và m ộ t nghi ệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 4 nghi ệ m phân bi ệ t khi và ch ỉ khi (2) có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t. Ví dụ 1 . Cho ph ươ ng trình: x 4 + (1-2m)x 2 + m 2 – 1 = 0. a)Tìm các giá tr ị c ủ a m ñể ph ươ ng trình vô nghi ệ m. b)Tìm các giá tr ị c ủ a m ñể ph ươ ng trrình có 4 nghi ệ m phân bi ệ t. Ví dụ 2. Tìm m sao cho ñồ th ị hàm s ố y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 c ắ t tr ụ c hoành l ầ n l ượ t t ạ i 4 ñ i ể m phân bi ệ t A, B, C, D v ớ i AB = BC = CD. II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 1) Các dạng cơ bản: | a | = b    ±= ≥ ⇔ ba 0b | a | = | b | ba ±=⇔ | a | ≤ b    ≤ ≥ ⇔ 22 ba 0b | a | ≥ b         ≥ ≥ < ⇔ 22 ba 0b 0b | a | ≥ | b | 22 ba ≥⇔ Ví dụ 1. Giải phương trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví dụ 2. Giải bất phương trình x 2 - | 4x – 5 | < 0. Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 2)Phương pháp ñồ thị: a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3). - ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa vẽ. b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 5 Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các dạng cơ bản Dạng 1: )x()x(f 1n2 ϕ= + , n ∈ N * ⇔ f(x) = [ )x(ϕ ] 2n+1 Dạng 2: )x()x(f n2 ϕ= , n ∈ N * ⇔    ϕ= ≥ϕ n2 )]x([)x(f 0)x( D ạ ng 3:      ϕ< >ϕ ≥ ⇔ϕ< 2 )]x([)x(f 0)x( 0)x(f )x()x(f ,      ϕ≤ ≥ϕ ≥ ⇔ϕ≤ 2 )]x([)x(f 0)x( 0)x(f )x()x(f D ạ ng 4:           ϕ> ≥ϕ    <ϕ ≥ ⇔ϕ> 2 )]x([)x(f 0)x( 0)x( 0)x(f )x()x(f ,           ϕ≥ ≥ϕ    ≥ϕ < ⇔ϕ≥ 2 )]x([)x(f 0)x( 0)x( 0)x(f )x()x(f Ví dụ 1 . Gi ả i ph ươ ng trình 1x23x2x 2 +=+− Ví dụ 2. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình x12xx 2 <−− Ví dụ 3. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình x26x5x2 2 −>−+ Ví dụ 4 . Tìm m ñể ph ươ ng trình có nghi ệ m 3mxx2mx 2 −+=− II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản 1) Phương pháp lũy thừa hai vế: - ðặ t ñ i ề u ki ệ n tr ướ c khi bi ế n ñổ i - Ch ỉ ñượ c bình ph ươ ng hai v ế c ủ a m ộ t ph ươ ng trình ñể ñượ c ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng (hay bình ph ươ ng hai v ế c ủ a m ộ t b ấ t ph ươ ng trình và gi ữ nguyên chi ề u) nếu hai v ế c ủ a chúng không âm. - Chú ý các phép bi ế n ñổ i c ă n th ứ c AA 2 = . Ví dụ 5 . Gi ả i ph ươ ng trình 4x31x +−=+ Ví dụ 6 . Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình x78x23x −+−≥+ Ví dụ 7 . Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình 15x5x3 >+− Ví dụ 8. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình x1x2x ≤+−+ Ví dụ 9 .Gi ả i ph ươ ng trình 2x21x6x8x2 22 +=−+++ Ví dụ 10 .Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình 1x1x3x23x4x 22 −≥+−−+− 2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: - Nh ữ ng bài toán có tham s ố khi ñặ t ẩ n ph ụ ph ả i tìm t ậ p xác ñị nh c ủ a ẩ n m ớ i. - Chú ý các h ằ ng ñẳ ng th ứ c 222 bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba 22 −+=− , … Ví dụ 11 .Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình x2x71x10x5 22 −−≥++ Ví dụ 12. i ả i ph ươ ng trình 47x1x7x28x =+−+++++ Ví dụ 13 .Gi ả i ph ươ ng trình 4x415x42x2x 2 −+−=−++ Ví dụ 14 .Gi ả i ph ươ ng trình x 2x2x3 x 4 x9 2 2 2 −+ =+ Ví dụ 15 .Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình 4 x2 1 x2 x2 5 x5 ++<+ Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 6 Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1 1)Khái niệm : Là h ệ mà m ỗ i ph ươ ng trình không ñổ i khi ta thay x b ở i y và thay y b ở i x. 2)Tính chất : N ế u (x o , y o ) là m ộ t nghi ệ m c ủ a h ệ thì (y o, x o ) c ũ ng là nghi ệ m c ủ a h ệ . 3)Cách giải: Bi ế n ñổ i h ệ ph ươ ng trình v ề d ạ ng: H ệ ñ ã cho ⇔    = =+ Py.x Syx (1) Khi ñ ó x, y là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 0PStt 2 =+− (2) N ế u ∆ = S 2 – 4P > 0 thì ph ươ ng trình (2) có hai nghi ệ m t 1 ≠ t 2 nên h ệ ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t (t 1, t 2 ), (t 2 , t 1 ). N ế u ∆ = 0 thì ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m kép t 1 = t 2 nên h ệ (1) có nghi ệ m duy nh ấ t (t 1, t 2 ). ð i ề u ki ệ n ñể h ệ (1) có ít nh ấ t m ộ t c ặ p nghi ệ m (x, y) th ỏ a mãn x ≥ 0, y ≥ 0      ≥ ≥ ≥−=∆ 0P 0S 0P4S 2 Ví dụ 1 .Gi ả i h ệ ph ươ ng trình    =+ =+ 26yx 2yx 33      =+ =+ 35yyxx 30xyyx    =++ =−− 1xyyx 3xyyx 22 Ví dụ 2. Tìm m ñể h ệ sau có nghi ệ m      +−=+ =−++ 6m4myx m1y1x 2    =+++ −=++ m2)yx(2yx 6m5)2y)(2x(xy 22 II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2 1)Khái niệm: Là h ệ ph ươ ng trình mà trong h ệ ph ươ ng trình ta ñổ i vai trò x, y cho nhau thì ph ươ ng trình n ọ tr ở thành ph ươ ng trình kia. 2)Tính chất: N ế u (x o , y o ) là m ộ t nghi ệ m c ủ a h ệ thì (y o, x o ) c ũ ng là nghi ệ m c ủ a h ệ . 3)Cách giải: Tr ừ v ế v ớ i v ế hai ph ươ ng trình c ủ a h ệ ta ñượ c ph ươ ng trình có d ạ ng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho ặ c f(x,y) = 0. Ví dụ 3 .Gi ả i các h ệ ph ươ ng trình      =+ =+ x40yxy y40xyx 23 23      =− =− 22 22 x4xy y4yx        += += x 1 xy2 y 1 yx2 2 2 Ví dụ 4 .Tìm m ñể h ệ sau có nghi ệ m:      =−+ =−+ m1xy2 m1yx2      +−= +−= mxxy myyx 2 2 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 7 Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC I. Hệ vô tỷ Ví dụ 1. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =+ =++ 4yx 28xy2yx 22 Ví dụ 2. Gi ả i và bi ệ n lu ậ n      =− =++ ayx axyyx Ví dụ 3 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =−−+ =−++ 1xyxy 2yxyx Ví dụ 4. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =+− =−− 2yx2 2y2x Ví dụ 5. Tìm m ñể h ệ có nghi ệ m      =++ =++ 1x1y my1x II. Hệ hữu tỷ Ví dụ 6 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình        =++ =+ −+ 22 y x4 yx 1 x y2 1yx 3 22 22 Ví dụ 7 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình    =− =− 2)yx(xy 7yx 33 Ví dụ 8. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      +=+ +=+ )x1(5y1 x16yy4x 22 33 Ví dụ 9 . Tìm a ñể h ệ có nghi ệ m    =+++ +=− 02yxxy )xy1(ayx Ví dụ 10 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =+ =− y10)yx(x x3)yx(y2 22 22 Ví dụ 11 .Tìm m ñể h ệ có hai nghi ệ m phân bi ệ t:    =+− =+ 2x2yx myx 22 Ví dụ 12. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      =− −=−− 180xy)yx( 11yxyx 22 22 Ví dụ 13 . Gi ả i h ệ ph ươ ng trình      +=+ −=− )yx(7yx )yx(19yx 33 33 ========================================================== Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản Khi gi ả i các ph ươ ng trình l ượ ng giác cu ố i cùng d ẫ n ñế n phép gi ả i các ph ươ ng trình l ượ ng giác c ơ b ả n. Ta c ầ n ghi nh ớ b ả ng sau ñ ây: Ph ươ ng trình ð i ề u ki ệ n có nghi ệ m ðư a v ề d ạ ng Nghi ệ m sinx = m 1m1 ≤≤− sinx = sin α    π+α−π= π+α= 2kx 2kx cosx = m 1m1 ≤≤− cosx = cos α α± + k2 π tgx = m m ọ i m tgx = tg α α + k π cotgx = m m ọ i m cotgx = cotg α α + k π Ở b ả ng trên k nh ậ n m ọ i giá tr ị nguyên ( Zk ∈ ) . ðơ n v ị góc th ườ ng dùng là radian. ðể thu ậ n l ợ i cho vi ệ c ch ọ n α ta c ầ n nh ớ giá tr ị c ủ a hàm l ượ ng giác t ạ i các góc ñặ c bi ệ t. ðườ ng tròn l ượ ng giác s ẽ giúp ta nh ớ m ộ t cách rõ ràng h ơ n. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 Ví dụ 1. Gi ả i ph ươ ng trình: a) sin3x = 2 2 ; b) sin(2x - 5 π ) = 1; c) sin( π x ) = 0. Ví dụ 2 . Gi ả i ph ươ ng trình: a) cos2x = cos 5 π ; b) cos(3x - 3 π ) = cos(x + 2 π ); c) cosx = sin(2x + 4 π ). Ví dụ 3 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0) 3 8 xcos 3 (cos 2 = π − π . Ví dụ 4. Gi ả i ph ươ ng trình: )xsin3cos()xsincos( π=π Ví dụ 5 . Gi ả i ph ươ ng trình: 1)x2(sinxcos 22 =− II . Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22 ≠+ Chia hai v ế c ủ a ph ươ ng trình (1) cho 22 ba + , ta ñượ c: (1) ⇔ 222222 ba c xcos ba b xsin ba a + = + + + (2) ðặ t 22 ba a + = sin ϕ ; 22 ba b + = cos ϕ . Khi ñ ó ph ươ ng trình l ượ ng giác có d ạ ng: cos(x - ϕ ) = 22 ba c + (3) Ph ươ ng trình có nghi ệ m khi và ch ỉ khi: 222 22 cba1 ba c ≥+⇔≤ + Khi ñ ó t ồ n t ạ i [ ] π∈α ;0 sao cho 22 ba c cos + =α nên ta có: (1) ⇔ α=ϕ− cos)xcos( ⇔ π+α±ϕ= 2kx ; Zk ∈ Ví dụ 6 . Gi ả i ph ươ ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví dụ 7 . Cho ph ươ ng trình: sinx + mcosx = 1 a) Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = - 3 . b) Tìm m ñể ph ươ ng trình vô nghi ệ m. Ví dụ 8 . Gi ả i ph ươ ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22 =++ Ví dụ 9 . Tìm α ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m x ∈ IR: 2)xsin(xcos3 =α++ Ví dụ 10 . Gi ả i ph ươ ng trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=− Ví dụ 11 . Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m       π ∈ 2 ;0x : cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví dụ 12 . Gi ả i ph ươ ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). Ví dụ 13 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0 4 1 xsinx4cos.xcosx4cos 22 =+−− . Ví dụ 5 . T m m ñể ph ươ ng trình 0 1m2 mx2x 22 =−+− có nghi ệ m th ỏ a m n 4xx2 21 ≤≤≤− Ví dụ 6 . Cho ph ươ ng trình 2m3 x) 2m( x 2 −+++ =0 T m m ñể ph ươ ng. ệ m phân bi ệ t nh ỏ h ơ n 2 Ví dụ 7 . T m m ñể ph ươ ng trình 02mmx2x 2 =++− có nghi ệ m l ớ n h ơ n 1 Ví dụ 8. T m m ñể ph ươ ng trình 0 2m2 m9mx6x 22