Tổng trực tiếp của nhóm xyclic và tựa xyclic

Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic M c ích c a chuyên mơ t c u trúc c a nhóm aben h u h n, nhóm aben v i i u ki n c c i nh ng nhóm aben v i i u ki n c c ti u T t c nhóm có s phân tích tr c ti p qua nhóm cyclic nhóm t a cyclic S C L P TUY N TÍNH VÀ H NG nh ngh a Cho G m t nhóm aben, S t p khác r ng c a G T p S ∉ l p n tính n u t = i u ki n ∈∈ c g i ∈ c ta suy = = ∀ = N u S khơng c l p n tính ta nói ph thu c n tính Nh n xét M t nhóm G t ng tr c ti p c a nhóm cyclic n u ch n u sinh b i m t t p c l p n tính Ch ng minh Gi s > Ký hi u =⊕< ∈ =< > V i m i ∈ =⊕< ∈ , ta s ch ng minh S nên = c l p n tính =< > Ta ch ch ng minh ∈ c l p n tính Gi s S > ∈ = = ∈∈ ,c ∈ nh ∈ < > , ta c = = ⇔ =− = ∈ = ≠ ∈< >∩ < ∈ ≠ >= = ∈ ≠ mà ch n tùy ý vi t Ng = = nên ∀ = V yS c l p n tính c l i, gi s S t p c l p n tính c a nhóm G =< > Ta có th ó ta s ch ng minh = ⊕ < > Do =< > nên ∀ ∈ ta có ∈ ∈ = ∈ = ,t c ∈ < > L y ∈< >∩ ∈ < > , ta có: ∈ ≠ = = = = ≠ Nh ng S c l p n tính nên = = ≠ = ∀ = = , t c x = hay < >∩ < >= V y ∈ ≠ =⊕< ∈ > nh ngh a T p c l p n tính S c a nhóm G n u ∪ ph thu c n tính, ∀ ∈ c g i c l p n tính t i i Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Nói cách khác, S thu c n tính c l p n tính t i nh ngh a h ng, ta c n m nh M nh i n u m i t p c a G ch a S u ph sau Cho G m t nhóm aben i) Cho p m t s nguyên t T n t i nh t m t t p G ch g m ph n t có c p l y th a c a p ii) T n t i nh t m t t p c p vô h n c l p n tính t i ∈ Nh c l i: Cho (X, ≤ ) m t t p x p th t , i) a c g i c n (c n d ii) a c g i ph n t t i iii) X c l p n tính t i ic a i c a G ch ch a ph n t có i) c a X n u ∀ ∈ i c a X n u quan h c g i x p th t toàn ph n n u ∀ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ = kéo theo ho c ≤ ho c ≤ ( Zorn) Gi s X t p không r ng c x p th t b i quan h th t ≤ N u m i t p A c a X, c x p th t toàn ph n b i ≤ , u có c n X có ph n t t i i Ch ng minh i,ii) Ký hi u X t p t t c t p c l p n tính c a G ch ch a ph n t có c p l y th a c a p (ho c có c p vơ h n) Rõ ràng ≠ ∅ Trên X ta xét quan h th t bao hàm ( ⊆ ) Gi s A m t t p x p th t toàn ph n c a X Ta s ch ng minh A có c n Ta t: = ∈ = Gi s ∈ ∈ Vì nên ∀ = = = th t toàn ph n nên ∃ ∈ = ∈ ⊂ , mà A t p x p ∈ suy = ∈ , hay ∀ = Nh ng ∀ = ⊂ c l p n tính ó t Rõ ràng c n c a A V y theo b! = Zorn A có ph n t t i M nh i, ó t p i mà ta c n Cho G m t nhóm aben Khi ó, i) Hai t p c l p n tính t i ngun t p có l c l ng ii) Hai t p l c l ng − ∈ không gian véct# = i c a G g m ph n t l y th a c a m t s c l p n tính t i Ch ng minh i) Gi s S t p th a c a s nguyên t p V i ∈ = c l p n tính t i ⊂ tr %ng i c a G g m ph n t có c p vơ h n có c l p n tính t i i c a G g"m cáo ph n t l y − = ≥ = suy − có c p p t = Ta s ch ng minh Th t v y, gi = s = c# s$ c a = , v i = Nguy n Thanh D ng – K19 − = ∈ T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic − , suy ∈ = , nh ng S c l p n tính nên = − − hay = ; t c c l p n tính M t khác, c l p n tính t i i nên ∪ ph thu c n tính, ó ta có &ng = , S ∀ ∈ th c + v i = ∈ ≠ ( ∈ = = mâu thu n v i S ∈= c l p n tính), t c Ta có = = = ∈ = =− > ∈< = nên Vì = + = + Do ó, = = > Nh v y, =< tr %ng nên ii) G i S t p con xo n c a G Ký hi u: = + > Do = + = c# s$ c a V y c l p n tính t i Ta s ch ng minh Gi s ∈< = + t p = ∈ ∪ i Do ó, Vì = = ∈ c l p n tính t i ∈ + i ∈ , ó, = = = = t p c l p n tính c l p n tính n tính t i vào = = = , t c = c l p = n tính M t khác, g i > ∈< = = ∈ i g"m ph n t c p vô h n T nhóm = ∃ ∈ = nên ∃ c l p n tính h sinh c a khơng gian véct# = = = ∪ hay ⊆ Ch n , nh ng i u không th x y S c l p n tính t i ⊗ khơng xo n nên ánh x ⊗ ch a Xét t #ng ng i nhóm th #ng m t #n c u t ∈ cl p Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic × ⊗ → ⊗ ′ ⊗ ′ ⊗ Ta ch ng minh o phép nhân Th t v y, gi s r'ng ′ ∈ ′ = ⊗ = ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ⊗ ′ = ′ ′ gian véct# v i ⊗ ∈ = ⊗ Vì ∈ = ⊗ ′ ⊗ ′ = = ta s ch ng minh ⊗ ′ ′ ′ ′ v i phép nhân c# s$ c a nên khơng c l p n tính M t khác, = ∈ ≠ ∈ =− = ∈< > = ⊗ ∈< c# s$ c a ′ ′ ph thu c n tính nên có &ng th c: ∪ + T c ′ ′ ⊗ c l p n tính nhóm = c G* không gian véct# Suy o ánh x Ki m tra tr c ti p ta s o t ′ ′ ⊗ = ′ ′ = ′ ′ ′ ⊗ ∈ ′ ′ = , suy > ⊗ , mà = = = ⊗ ∈< = nên nh ngh a Cho G m t nhóm aben, p m t s nguyên t Ta i) p – h ng c a G, ký hi u l c l > = nh ngh a: ng c a t p c l p n tính t i i ng c a t p c l p n tính t i i c a G g m ph n t có c p l y th a c a p ii) – h ng c a G, ký hi u c a G g m ph n t có c p vơ h n iii) H ng c a G = l c l + M nh ch s t"n t i c a p – h ng – h ng, m nh kh&ng nh h ng c a nhóm ch ph thu c vào nhóm ó mà không ph thu c vào cách ch n t p c l p n tính t i i Tóm l i, nh ngh a hồn tồn h p lý hi u Chú ý r'ng n u G khơng có ph n t c p l y th a c a s nguyên t p ta = ; n u khơng có ph n t c p vơ h n ta hi u = Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Ti p theo s s d ng khái ni n h ng ch r'ng n u m t nhóm aben có th phân tích thành t!ng tr c ti p c a nhóm cyclic ho c t a nhóm xyclic h ng t s phân tích "ng h ng c t y u nh t nh lý Gi s r!ng m t nhóm aben có th" phân tích theo hai cách thành t ng tr c ti p c a nhóm t a cyclic,nhóm cyclic có c p l y th a c a s ngun t nhóm ycclic vơ h n Khi ó, t p h ng t tr c ti p c a m i ki"u #ng c u hai s phân tích có l c l ng b!ng Ch ng minh Gi s = ⊕ ⊕ ⊕ ∈ ⊕ ⊕ ∈ ′ nhóm t a cyclic, ′ ⊕ ⊕ = ⊕ ∈ ′ ∈ ∈ ′ ′ , ó ′ nhóm cyclic có c p l y th a c a s nguyên t ′ nhóm cyclic c p vô h n Ta c n ch ng minh ′ ⊕ ⊕ ∈ ′ Mu n v y ta ch c n ch ng minh = ′ nh ng h'ng s c = ′ ′ = nh, khơng ph thu c vào cách phân tích c a G Gi s =⊕ ∈ , ó có th nhóm t a cyclic, nhóm cyclic c p la l u th a c a m t s ngun t ho c nhóm cyclic c p vơ h n Tr = ⊕ ⊕ ⊕ ∈ ó, ∀ ∈ ∈ nhóm cyclic c p vơ h n, Th t v y, gi s = c h t ta phân tích G thành: =< c p vơ h n Ta s ch ng minh > = ∈ ⇔ =− ∈< >∩ ∈ ≠ t c < >= = ∀ ∈ ∈ ≠ c l p n tính t p ph n t có c p vô h n M t khác, g i g ph n t ∈ có c p vơ h n G Ta có = Do + ∈ nhóm t a cyclic ∈ ∈ nhóm cyclic c p l y th a c a s nguyên t nên ∃ ∈ = t ó suy ∈ − = ∈ Ngh a ∈ ∪ ph thu c n tính V y ph n t có c p vơ h n c a G, o, t nguyên t ) = = ⊕ ∈ ( = c l p n tính t i ∈ ∈ i t p = nhóm t a cyclic nhóm cyclic có c p l y th a c a s nhóm xo n Do ó, =⊕ M t khác, v i s nguyên t p =⊕ !"# $ !"# ≠ $ %& %& #' #' #( #( ) % *# !+ % Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Do ó ta có th gi i h n l y th a c a p, hay Ta có = ⊕ ∈ ch g"m = ⊕ ∈ p – nhóm ∪ ∪ ∈ ∪ c l n nh t G Ta có =⊕ (1) (⊕ = ∈ )= ∈ T (1), (2) suy nhóm G T c l c l tích c a G (vì ≅⊕ ∈ c) nhóm cyclic mà nhóm cyclic khơng = Ngồi ta có nhóm t a cyclic ki u p c (vì t a nhóm cyclic chia ∈ c) suy D nhóm chia chia ,v i =⊕ , ó D chia ⊕ nhóm thu gon (vì m i ⊕ t cyclic ki u p ho c cyclic có c p nhóm t a cyclic ki"u p) suy (2) khơng !i D nhóm chia = ng c a h ng t c l n nh t c a _ t a nhóm cyclic b'ng m i s phân _ nhóm cyclic c p Cu i ta ph i ch ng minh l c l ng c a h ng t l y th a c a p m i s phân tích nh ch ng minh i u ta có nh n xét: 1) > nhóm cyclic c p =< ≥ = 2) H nhóm cyclic c p Ta t , = ∈ , ⊕ ∪ , , ( − , ∩ ) , ∩ ∩ < > < >= < _ nhóm cyclic c p l y th a c a p V i s nguyên d #ng n, ta có: , , − H[p] nhóm cyclic c p p − − , ta có: = = ∈ = , = , ∈ ∈ ∈ − ⊕ = ∪ ⊕ = ∪ ∈ ∈ ⊕ ⊕ ≥ ∪ ⊕ = ∪ ⊕ = ∪ ≥ ∪ + ≅ ⊕ ≅ ⊕ ≥ + ≥ ≅ ⊕+ ≅ ⊕+ ≥ ≥ ⊕ ( ∩ , ) , ⊕ ≥ ≅ ≅ = ⊕+ ⊕+ ≥ ( − , ∩ , ) ( , ∩ ) , ≅ ≥ ∈ ∪ = Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Mà v i m(i s nguyên d #ng n, ∈ ∪ ( − , ∩ ( ∩ , c ng không !i V y l c l = h ng t có c p l y th a c a p không !i NHĨM ABEL T ) , nh lý , ) khơng !i nên suy ng c a t p h ng t mà m(i c ch ng minh xong ) DO nh ngh a Cho G m t nhóm (có th" khơng giao hốn), X m t t p h p khác r ng → m t ánh x C p (G, σ ), hay gon h$n G c g i t X n u v i m i → cho βσ = α , t c ánh x α t t p X n m t nhóm F, t n t i m t ng c u β tam giác sau giao hoán σ σ  → α↓ Nh n xét 2: 1) Ánh x σ 2) % ng c u β 3) M i nhóm → → β $n ánh nh t u t m t nhóm c a 4) G nhóm aben t p X G - mô un t v i c$ s X 5) G nhóm aben t t p X =⊕< > ∈ = ∞ (suy t 4) M nh N u G m t nhóm aben t X H m t nhóm c a G, H c ng m t nhóm aben t t p Y v i ! ≤ Ch ng minh m i mô un c a mô un t vành mơ un t Tính ch t x α nh c a mô un t nh ngh a Nhóm aben G c g i n i x n u v i m i toàn c u ε → t n t i ng c u β → cho α = εβ → ,m i ng c u M t nhóm aben có th xem m t - mơ un nên sau ây ta phát bi u không ch ng minh m t s tính ch t c a nhóm aben t liên quan n tính ch t x nh Vi c ch ng minh tính ch t ã có chi ti t sách v mơ un nh lý 5(Maclane) Nhóm aben G x nh n u ch n u t nh lý N u G nhóm aben H nhóm c a cho H h ng t tr c ti p c a G C U TRÚC C A NHÓM ABEL H U H N nhóm aben t Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Nh ng k t qu sau ây nh ng nh lý có ý ngh a quan tr ng âu tiên lý thuy t nhóm, chúng phân lo i nhóm aben h u h n B Cho G m t p – nhóm aben mà t p t t c c p c a ph n t c a b ch n g ph n t có c p l n nh t G Khi ó, < g > h ng t tr c ti p c a G Ch ng minh Ký hi u Γ = ≤ ∩ < >= , S ta trang b quan h th t bao hàm G i Ω t p x p th t toàn ph n c a Γ , = c n c a Ω (vì ∀ ∈ , ∈Ω ∃ ∈Ω ∈ Nh ng Ω x p th t n tính nên có th" gi s ∈ ⊂ ⇔ ≤ , rõ ràng ∩ < >= nên Khi ó, − ∈ Zorn, Γ có ph n t t i i M, t ó ta có c a Ω ) Theo b! ph i ch ng minh = + < > ⊂ ∈ Ω Do ó, A c n ≤ ∩ < >= Ta Gi s ≠ + < > , t p t t c c p c a ph n t c a G bi ch n nên ta ch n + < > (1) cho x có c p bé nh t Khi ó, ∈ + < > (vì G p - nhóm nên ∈ ≤ = +" ) suy ∈ Gi s − = − Do ó, t = +" = $ + # ∈ + < > < < $= −# ∈ −# ∈ = −# + ∈ - : = = Nh v y m i tr %ng h p ta = ∃$ ∈< ∈ =− + : Vì = c *= ⇔"= # " ∃ + u i −# ∈ suy − # >∩< > = + ≠ ⇔ V y ta " − ∩ < >= − # > ∩ < >≠ $= + Tr &ng h p ∈ − # = ∈ , ó − # ∉ (vì n u − # = $ ∈ ) Vì M ph n t t i i Γ − # ∉ nên − # >∉ Γ Tr &ng h p − *= , g có c p l n nh t G nên = −# +< > −# ∈ ∩ < >= , mâu thu*n v i (2) ∈ ∈ + = + < > , mâu thu*n v i (1) n mâu thu*n nên = +< > ⊕ < > ) Nh n xét 3: Theo b! 6, m i p – nhóm h u h n cyclic có c p l y th a c a p u t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm nh lý (Frobenius – Stickelbergert) M t nhóm aben G h'u h n n u ch n u t ng tr c ti p c a h'u h n nhóm cyclic có c p l y th a c a m t s nguyên t Ch ng minh Gi s G nhóm h u h n khác 0(vì n u G = G = < >) Khi ó, G nhóm xo n, suy = ⊕ V i m(i p, G h u h n nên p – nhóm c ng h u h n, Nguy n Thanh D ng – K19 theo nh n xét 3, T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm cyclic c p l y th a c a p L i G h u h n nên t!ng ch có h u h n =⊕ ≠ V y G t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm cyclic có c p l y th a c a m t s nguyên t Ng c l i, =⊕< = > Th ∀ = = > h u h n nên G h u h n ) < C u trúc c a nhóm aben h u h n sinh nh ngh a Cho G m t nhóm % t hàm G c g i th(a i u ki n t i ph n t t i i B = ≤ , F(G) x p th t theo qua h bao i (max) n u m i t p khác r ng c a F(G) u có Cho N nhóm chu)n t c c a nhóm G N u N i (t i ti"u) G c ng th(a i u ki n t i Ch ng minh Gi s d ng, t c ∃ ∈ ⊆ = u d ng, t c ∃ ∈ ⊆ i (t i ti"u) (1) dãy nhóm c a G Ta s ch ng minh dãy (1) ∀ ≥ Vì N + ∩ ⊆ ∩ = ∩ + ⊆ th+a i u ki n t i ⊆ ∩ / = ∃ ∈ = + i nên dãy ⊆ ∀ ≥ T + ó ta có: ∀ ≥ ) M i nhóm aben ho c không aben th+a i u ki n t i nhiên i u ng c l i ch úng cho nhóm aben M nh th(a i u ki n t i i u h u h n sinh Tuy N u G nhóm aben h'u h n sinh th(a i u ki n t i i Ch ng minh Ta ch ng minh b'ng quy n p V i n = 1, ta có c a < > = < > ∈ Gi s S t p x p th t tồn ph n > ph n t c a S có d ng: < < >⊆< >⊆< >⊆ - − ∀ ∈ (1) Suy - ∀ ∈ nên (1) ph i d ng; t c S có ph n t t i i V y < > th+a i u ki n t i i, hay m i nhóm aben sinh b$i m t ph n t th+a i u ki n t i i Gi s nhóm aben aben =< =< + + + =< > th+a i u ki n t i > c ng th+a i u ki n t i i, ta s ch ng minh nhóm i Vì G nhóm aben nên > nhóm aben sinh b%i m t ph n t nên =< > c ng th+a i u ki n t i th+a i u ki n t i i i nên theo b! Ta có th+a i u ki n t i 8, =< + i, mà > c ng Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic V y m i nhóm aben h u h n sinh Nh n xet 10 T m nh t i i M nh u th+a i u ki n t i i ) trên, nhóm aben G h'u h n sinh ch G th(a i u ki n 11 M t nhóm aben h'u h n sinh h'u h n n u nhóm xo n Ch ng minh Gi s > nhóm aben Khi ó, =< xo n suy Mà G nhóm xo n nên Ti p theo ta ch ng minh m t h n sinh =⊕ =< = > = h u h n V y G h u h n.) nh lý mà nh% s phân lo i hồn tồn nhóm h u M nh 12 M t nhóm aben h'u h n sinh n u ch n u t ng tr c ti p h'u h n c a nhóm cyclic có c p vơ h n c p l y th a c a m t s nguyên t ch ng minh m nh B 11, ta c n b! sau: 13 M i nhóm aben không xo n, h'u h n sinh Ch ng minh Gi s b'ng quy n p theo n u nhóm t > nhóm aben, khơng xo n Ta ch ng minh G t =< V i n = 1, =< > G khơng xo n nên nhóm aben t nên G nhóm abben t không xo n suy Mà ≅ Gi s m i nhóm aben khơng xo n sinh b$i n ( ∈ ) ph n t u t Ta s ch ng minh nhóm =< > c ng t Ký hi u = ∈ ∃ ∈ ∈< + > + Ki m + tra tr c ∈τ ti p ta c ≤ Xét + = ∈ ∃ ∈ ∈ ≠ V i m i + > = = không xo n Ta có nhóm aben t Theo ∈< + τ quy n p th #ng cho ∃ ∈ T c nhóm th #ng nhóm =< nh lý 6, + ≅ + + ⊕ > theo gi thi t ch ng minh G t ta ph i ch ng minh H t Mu n v y ta ch ng minh H nhóm cyclic c p vô h n Do G h u h n sinh nên theo m nh 9, G th+a i u ki n t i i, mà ≤ nên H th+a i u ki n t i i, ó, H h u h n sinh T nh H, có ⊂< < + + > ó suy < nhóm xo n, theo m nh + 11, > Bao hàm th c cho ta "ng c u 10 > h u h n sinh, thêm n a theo cách xác < + > h u h n, < + > = Ta Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic →< > + = Ki m tra tr c ti p ta nên < c f #n c u, ó, ≅ ≤< + > Nh ng + không xo n > nhóm cyclic c p vơ h n suy Imf nhóm cyclic c p vơ h n, th , H c ng + nhóm cyclic c p vơ h n T ó suy ≅ nhóm t ⊕ V y m i nhóm aben khơng xo n, h u h n sinh nhóm t V n d ng b! 13, ta ch ng minh m nh 12 nh sau: Ch ng minh Gi s =< > , ta ch ng minh G t!ng tr c ti p h u h n c a nhóm cyclic c p vơ h n c p l y th a c a m t s nguyên t G i T nhóm xo n c a nhóm G Khi ó, h u h n sinh nên theo b! 13, nhóm aben t suy = ⊕ ó suy m nh ≅ t!ng tr c ti p cùa aben t do, áp d ng m nh nhóm cyclic c p vơ h n C ng T nhóm khơng xo n rõ ràng 6, ta c: ≅ , t c T h u h n sinh k t h p v i tính xo n c a T suy T h u h n(theo 11) Áp d ng nh lý 7, ta c =⊕< > v i có c p l y th a c a s nguyên t Chi u ng c l i hi n nhiên Nh ng nh lý có th phân lo i hồn tồn nh lý thuy t nhóm nh lý 12 rát h u d ng hi m có C u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c ti u nh lý 12 ã mô t c u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c mơ t c u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c ti u i Bây gi% s nh ngh a Cho G m t nhóm % t = ≤ , F(G) x p th t theo qua h bao hàm G c g i th(a i u ki n t i ti"u (min) n u m i t p khác r ng c a F(G) u có ph n t t i ti"u nh lý 14 ( ) M t nhóm aben th(a i u ki n t i ti"u n u ch n u ta t ng tr c ti p h'u h n t a nhóm cyclic nhóm cyclic c p l y th a c a s nguyên t Ch ng minh Gi s G tho i u ki n Khi ó, G nhóm xo n Th t v y, n u G khơng xo n s t"n t i g G có c p vơ h n Khi ó dãy nhóm < >⊂< >⊂< c a G không d ng (mâu thu*n) 11 >⊂ Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Theo 4.1.1 ta có Trong ó ch có h u h n =⊕ không t m th %ng Do ó ta có th gi s G p_nhóm Theo 4.1.4 t"n t i nhóm D chia nhóm thu g n cho G = D E Theo 4.1.5, D chia c p_nhóm nên c l n nh t G E = ⊕ % , % t a cyclic (1) Cu i ta ph i ch ng minh E h u h n Gi s E vô h n Do E G/H nên E tho i u ki n Vì th , t"n t i nhóm H vơ h n c c ti u E Khi ó, pH nhóm th t s c a H Vì n u pH = H H chia c E nhóm thu g n nên H = (vơ lí) Do H nhóm vơ h n c c ti u E nên pH h u h n Xét toàn c u ϕ Ta có &ϕ= 4.2.6, ' = ⊕ < ≅ >, → suy vô h n(mâu thu*n) Suy E h u h n Theo có c p l y th a c a s nguyên t (2) T (1) (2) suy i u ph i ch ng minh Ng ! =⊕ < c l i, gi >, s = % ⊕ ! , ó % = ⊕ % , % nhóm t a cyclic có c p l y th a c a s nguyên t Ta ch ng minh G th+a i u ki n Do Y h u h n nên Y tho i u ki n M t khác, m i nhóm th t s c a nhóm t a cyclic u h u h n o ó Pi tho i u ki n Suy P tho i u ki n V y G tho i u ki n 12 Nguy n Thanh D ng – K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic BÀI T P Bài N u G m t nhóm Abel t m t t p n – ph n t Ch ng minh r'ng G khơng th sinh b$i h#n n – ph n t Gi i Gi s α α α m t h sinh c a G Ta s ch ng minh Do G m t nhóm Abel nên m t h sinh c a G nên ⊗ α ⊗α ≥ ⊗ ≥ m t không gian véct# ⊗ α m t h sinh c a ⊗ = ⊗ Vì α α α Khi ó, = Bài Cho G m t nhóm Abel h u h n sinh, d(G) s bé nh t ph n t sinh c a G Ch ng minh r'ng: ( = ( = ⇔ G không xo n Gi i 13 ... K19 T ng tr c ti p c a nhóm xyclic t a xyclic Ti p theo s s d ng khái ni n h ng ch r'ng n u m t nhóm aben có th phân tích thành t!ng tr c ti p c a nhóm cyclic ho c t a nhóm xyclic h ng t s phân... i nhóm → → β $n ánh nh t u t m t nhóm c a 4) G nhóm aben t p X G - mơ un t v i c$ s X 5) G nhóm aben t t p X =⊕< > ∈ = ∞ (suy t 4) M nh N u G m t nhóm aben t X H m t nhóm c a G, H c ng m t nhóm. .. nhóm xyclic t a xyclic Theo 4.1.1 ta có Trong ó ch có h u h n =⊕ không t m th %ng Do ó ta có th gi s G p _nhóm Theo 4.1.4 t"n t i nhóm D chia nhóm thu g n cho G = D E Theo 4.1.5, D chia c p_nhóm