Nhóm xoắn và nhóm chia được

Nguy n Thanh D ng – K19 Nhóm xo n nhóm chia c Lý thuy t nhóm Abel m t phân nhánh c a lý thuy t nhóm, b n thân có nhi u tính ch t hay c thù Nh László Fuchs ã nh n xét, có m t s tính ch t mà s nh h ng c a t i c u trúc c a nhóm nhi u h n tính ch t giao hoán Trong chuyên hi u theo l i c ng (+) ch xét nhóm Abel phép tốn s c ký nh ngh a Cho G m t nhóm aben ∈ + ∈ c g i ph n t xo n n u t n t i = cho mx = t ∈ = ta c T nhóm c a G g i nhóm xo n c a G N u g i nhóm xo n N u = G g i nhóm khơng xo n + V i m i s nguyên t p, = t ∈ G c m t nhóm c a G g i thành ph n p – nguyên s c a G Chú ý T = nh ngh a, ta có ∈ nh lý (S phân tích nguyên s ) Trong m t nhóm aben G, nhóm xo n T t ng tr c ti p c a thành ph n nguyên s c a G Ch ng minh V i m i ∈ = = = suy ∃ ∈ ta có: = , phân tích Ta ký hi u: = = = cho = Khi = ó, = = = ∈ , ó = = Mà c p c a b ng nên = M t khác, v i ∈ ∩ suy ra: ≠ = ∈ = ∈ ∏ ≠ mà = nên α = suy α α β ∏ β , ≠ ≠ = α = ,t c ∩ = ≠ V y =⊕ nh ngh a Cho G m t nhóm aben ∈ + Ph n t x c a G cho = c g i chia c b i s nguyên d ng m n u t n t i +G s nguyên d c g i nhóm chia ng ( ⇔ ∀ ∈ , ∀ ∈ c n u m i ph n t c a G u chia t n t i ∈ cho x = my) cb im i l y th a l n nh t c a s nguyên t p chia c x h c g i +N u p– cao c a x G N u x chia c b i m i l y th a c a p ta nói x có p – cao vơ h n G Chú ý 1: G chia c n u ch n u v i m i s nguyên t p, m i ph n t c a G có p – cao vô h n G u Ch ng minh N u G chia c rõ ràng m i ph n t c a G u có p – cao vô h n, ∀ _ nguyên t Ng c l i, n u m i ph n t c a G u có p – cao vơ h n v i m i p nguyên t , ta s ch ng minh G chia h n cao vơ h n nên ∃ ∈ - Do x có ∃ ∈ nên ∃ ∈ = = ∏ = suy ∈ c V i m i ∈ = cho V y G chia =∏ , gi i s = L i = + có Theo - l p cao vơ lu n ó, c = Chú ý 2: Cho G m t nhóm aben Các kh ng i G nhóm chia = ∀ ∈ iii = , v i m i s nguyên t p c bi t, n u G p – nhóm G chia ⇔ ng ng: c ii Ch ng minh nh sau t = c ch Suy tr c ti p t nh ngh a Hi n nhhiên V i m i s nguyên d t có th trùng nhau) Khi ó, ta có: = = ng m, gi s ∏ = ( = s nguyên = = c theo ii), = c b ng cách ch Trong tr ng h p G p – nhóm N u G chia l i, n u = ta s ch ng minh G chia = ∀ ∈ = Th t v y, gi = = ta = = − c: Ng c r ng ∈ L y ó, = = = + = Do = + = = ∈ = = nh ngh a Nhóm aben G → , t nt i ng c u β giao hoán nên ∃ = ∈ + = Khi = c g i n i x n u v i m i n c u α → ,m i ng c u ϕ → cho ϕα = β , t c tam giác sau α  → β↓ ∃ϕ Tiêu chu n Baer G n i x n u v i m i phép nhúng i t i ean I c a ng c u → , t n t i ng c u → cho gi = f nh lý M t nhóm aben n i x n u ch n u chia vào ,m i c Ch ng minh Gi s G nhóm aben n i x V i m i ∈ , ∀ ∈ + ta có !ng c u → = Do G n i x nên t!n t i !ng c u → cho gi = f, = ⇔ = = ∈ , " t = ó i phép nhúng Khi ó, ta c = T c G nhóm chia c Ng c l i, n u G chia c, ta s ch ng minh G n i x b ng tiêu chu#n → m t !ng c u Ta s Baer Gi s = m t i êan b t k$ c a , ch ng minh t!n t i !ng c u → tam giác sau giao hốn  → ↓ ó, i phép nhúng Ta có = Khi ó, ta có !ng c u ∃ ∈ , mà G chia c nên t!n t i → = th%a = ∈ V y G n i x nh lý N u D nhóm chia c aG c c a nhóm aben G D h ng t tr c ti p Ch ng minh Vì D chia c nên theo α → tam giác sau giao hoán nh lý 2, D n i x Do ó, t!n t i !ng c u  → ∃α ↓ t c α = , ó i phép nhúng, !ng c u ! ∈ α ! = α ! = ! Do ó, v i m i ∈ α =α =α + " #α = + " #α , α toàn c u M t khác, ∀ ∈ V y = α α ∩ " #α = = !ng nh t V i m i −α ∩ " #α = = ⊕ " #α nh ngh a M t nhóm aben khơng t m th ng c g i thu g n n u khơng có nhóm chia nh lý N u G m t nhóm aben t n t i m t nhóm chia G H n n a, = ⊕ $ , ó E nhóm thu g n Ch ng minh Ký hi u =< ∈ " #α suy h ∈ c l n nh t D c a t t c nhóm chia > Khi ó, D nhóm chia c c c a G " t c l n nh t c a G Theo nh lý 3, t!n t i nhóm E c a G cho = ⊕ $ Gi s F nhóm chia % ⊂ ∩ $ nên F = 0, t c E nhóm thu g n c c a E, ∈ nh ngh a (Nhóm t a cyclic) Nhóm P = & =< > th a i u ki!n Nh n xét Do tính ch t + = + c g i nhóm t a cyclic ki u p n u = + '= '+ = nên ∀ ∈ & ∃ ∈ ∃ ∈ = Vì nhóm t a Cyclic ki"u p F m t p – nhóm th a tính ch t ý 2, chúng nh#ng nhóm chia c V i m i s nguyên t p, ph n p - nguyên s c a t & =< ( ( = th a ( = nhóm cyclic ki"u p H n n#a, & ≅ & theo B + (+ = ( ng c u ϕ = = % = % nên theo > & thành Do ó, & m t t a = ( ∀ ∈ Cho G m t nhóm aben i N u G không xo n, chia c G c a nhóm c ng s h#u t% ii N u G p – nhóm ó G ng c u v i t ng tr c ti p c a b$n ng c u v i t ng tr c ti p c a t a nhóm cyclic Ch ng minh i V i m i ∈ , v i m i s nguyên d ng m, G chia c nên t!n t i ∈ cho = Gi s = ′ − ′ = , nh ng G không xo&n nên = ′ T c ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ = Ngoài ta có: = = = +) = = = + = +) Khi ó, t + + = + + = + = ⇔ ng ng: × → = m t ánh x Th t v y, ∀ = ⇔ = = 2) ∀# = = ⇔ = − Ta có: = H n n'a, ta có: ∀ ∈ #′ = ∈ ∈ ∀ # 4) ∀# = , gi i s = nên ∀ ∈ = + = + =# + #′ # + #′ 3) ∀# = ∀ ∈ ⇔ ≠ Nh ng G không xo&n 1) ∈ #′ = ∈ = + = + =# +# + = + = ∈ , ta có + = = = ∀ ∈ , ta có + + + = = + + + suy #′ # = = = = = ## ′ T c G m t khơng gian véct tr ng , ó, G có c s T ó suy - mơ un t V y G (ng c u v i t)ng tr c ti p c a b n c a vành G m t h t ii Tr c ch ng minh (ii), ta nh n xét r ng: N u P m t t a nhóm cyclic Th t v y, m i t a nhóm cyclic ki u p u (ng c u v i ki u p & ≅ & =< ( = ∞ = ( ∈& >( = + ∀ = ta có: − ( = = Chia n cho p ta ⊂ & + − + = +# #∈ + , ó, & ≅ ó suy & c p p T kh(ng c ≅ nên ta ch c n ch ng minh & V y & V i m i − = + − = ≅ Khi + = ó, − + + # + suy ,t c & có D a vào nh n xét ta ch ng minh nh (ii) nh sau: " t ti p ta ct = ∈ ng ng: = th × m t nhóm c a G Ki m tra tr c → = m t m t phép nhân t m t tr Gi s ≅ ng nên & = ∈ ≅⊕ ∈ = nh t ó suy Xét s ≅ t G i !: ∈ c s c a ∈ s không gian véct tr = nên , Nh ng !" - mô un Nh ng = ⊕ & Ta s ch ng minh ng t nh phép nhân ϕ T m t m t không gian véct v i phép nhân ngồi xác ∈ , ó, h nhóm t a cyclic ki u p, ∈ Ký hi u = ⊕& vào ng H n n'a, có s chi u '  → ϕ↓ ∃β ↓ ó, j, i hai phép nhúng Vì G chia c nên G n i x suy có !ng c u β → th%a β ' = ϕ Khi ó, β (ng c u Th t v y, n u " # β ≠ t!n t i ≠ ∈ " #β ⊂ = ≥ Do t)ng tr c ti p p – nhóm p – nhóm nên gi " t = = T − − ≠ − = nên β =β =β =β' ϕ = (mâu thu*n ϕ s ∈ & Khi ó, = ϕ n c u) ó suy " # β = ; t c β n c u M t khác, β n c u, chia c nên c, ó, t!n t i nhóm K c a G cho β chia = β ⊕ " suy = β ⊕" N u β ≠ " ≠ , nh ng K p – nhóm nên " ≠ , nh ng ϕ (ng c u nên ∃ ∈ & = = ϕ =β ' ∈ β nên ∈ β β= ( mâu thu*n) V y suy ∃ ∈ " =ϕ = mà ≠ ∈ β ∩" = ϕ Ta có T ó suy có nh lý 5(C u trúc c a nhóm aben chia c) M t nhóm aben chia c n u ch n u ng c u v i t ng tr c ti p c a b$n c a nhóm t a cyclic Ch ng minh Gi s nhóm aben G t)ng tr c ti p c a b n c a nhóm t a cyclic chia c nên G chia nhóm t a cyclic, th c Ng c l i, gi s G chia c G i T nhóm xo&n c a G Do G chia c nên T chia c Th t v y, ∀ ∈ ∀ ∈ , G chia c nên ∃ ∈ cho = Suy c Khi ó, theo + = + = , mà không xo&n nên ∈ , t c T chia nh lý 3, t!n t i nhóm E c a G cho: = M t khác, theo nh lý 1, =⊕ ⊕ $ (1) mà m i t)ng tr c ti p c a t a nhóm cyclic T m t p – nhóm nên theo b) ó suy T t)ng tr c ti p c a t a nhóm cyclic Ngồi ra, (1) nên dãy → → → , → ≅ dãy kh p ch+ suy ⊕ Mà không xo&n, chia c nên l i theo b) (ng c u v i t)ng tr c ti p c a b n c a nhóm c ng , " nh lý c ch ng minh nh lý M i nhóm aben u ng c u v i nhóm c a nhóm aben chia c Ch ng minh Ta ã bi t m i R – mơ un u có th nhúng vào m t R – mô un n i x , mà m i nhóm aben m t mơ un nên m i nhóm aben u có th nhúng vào m t mô un n i x Nh ng m t - mô un n i x m t - mô un chia c BÀI T P Bài Ch ng minh r&ng m i nhóm t a cyclic ki"u p u có nh t m t nhóm c p nhóm nhóm cyclic Ch ng t r&ng m i nhóm th c s c a nhóm t a cyclic ki"u p u h#u h n Gi i Gi s & =< − = $ =< > m t m t nhóm t a cyclic ki u p " ý r ng: − = ∀ ≥ G i E nhóm th c s c a P Ta s ch ng minh > , v i m t s nguyên d − suy ∀ ≥ ∉$ ! Khi ó, $ =< > Th t v y, nên = ó, ∃ * ∈ +* G i n s nguyên d ∈ $ nên < = = … c nh th ta s' tìm ng n ó Vì $ ≠ & nên ∃ ∈ = M t khác, ∀ ∈ $ = − c − = ≤ $ =< > Nh v y ta ã ch ng minh Khi ó, nhóm cyclic h'u h n sinh b i m t ∧ = ∈$ c l i, c l i = − ) suy = > suy ta $ ⊂< > V y = = = = − = ∈$ ∈< c m i nhóm th c s E c a P ó có c p Theo ch ng minh trên, ∃ % =< > t a nhóm cyclic ki"u p ta có: P (P) = &< >< u Cu i cùng, gi s F nhóm t c m = n hay E = F Nh n xét N u & =< (vì n u ng n u ng cho +* Suy c a P có c p ng l n nh t cho = ta l i gi$ s = ∉) >⊂ $ , ta có th gi s ∈ cho = Ta có = = có c p > > t ó suy Bài Cho G m t nhóm aben vơ h n mà m i nhóm th c s c a Ch ng minh r&ng G nhóm t a cyclic ki"u p u h#u h n Gi i " u tiên ta ch ng minh G m t p – nhóm G nhóm xo&n (vì n u G có ph n t a khơng xo n 2a c ng khơng xo n lúc ó < > nhóm th c s c a G có vơ h n ph n t < > < >⊆ , mà i u không th" x$y ra)nên =⊕ ≠ (vì n u có vơ h n Trong t)ng ch có h'u h n ≠ $ = ≠ , xét nhóm th c s c a G có vơ h n ph n t Mâu thu(n), t c ≠ =⊕ Nh ng G vơ h n nên có ⊂ vơ h n, mà = suy Nói cách khác, G m t p – nhóm Ti p theo ta ch ng minh G chia ≠ ≠ nhân vơ h ng minh =< α ∀ ∈ ∈ ∈ c, t c ch ng minh pG = G Gi s r ng nên m t không gian véct vô h n chi u = ∀ ∈ ∪ > ∃ G i α ∀ ∈ D ∈ th y = r ng α = ∈ ⇔ α + = $ =< α α = ∈ α + α ∈ ∪ ∪ ∈ = ≠ ∪ >⊂ ∈< α = ⊂< α =< α ∈ Ng c l i, = = Nh v y < α , ta s ch ng α ∈ − = − c s c a th%a: α = ∈ v i phép > suy < α ∈ ∈ ∪ ∪ ∈ ∪ > > > vô h n C nh ∈ , xét nhóm > c a G ta th y α ∉ $ (vì n u α ∈ $ ta suy hay α = α mâu thu(n v i tính c l)p n tính c a = ≠ ) t c E nhóm th c s c a G mà E vô h n nên mâu thu*n V y ta ph i có pG = G ∈ Vì G p – nhóm nên có ph n t cho = c p p M t khác, pG = G nên có ph n t L i pG = G nên có = − ∀ ≥ " t % =< = G V y G nhóm t a cyclic ki u p cho = c nh th s có > F nhóm c a G, mà F vơ h n nên F Nh n xét T k t qu$ c a ta có k t lu)n: G nhóm t a cyclic ki"u p ch G aben vô h n m i nhóm th c s c a G u h#u h n Bài Cho G m t nhóm aben vơ h n mà m i nhóm th ng th c s c a u h#u h n Ch ng minh r&ng G nhóm cyclic vơ h n i u ng c l i có úng khơng? Gi i Tr c h t ta nh n xét r ng G nhóm khơng xo&n (vì n u a ph n t xo n c a G < > nhóm h#u h n ó nhóm th ng th)t s c a G có vơ h n < > i u ki n ta s ch ng minh c < ( > nhóm ph n t Trái gi$ thi t) T cyclic ∀ ( ∈ Th t v y, ta có ( ∈ , mà h'u h n nên c p c a ( h'u < > < > h n t c ∃ ∈ + (= ( ∈< >⇔ ( = , ta có th gi s = (vì n u t ng ng v i ! ( − = , =!> = !∧ = ! = ( = nh ng G không xo n nên ( = , mà = ), ó, ∃ * ∈ + * = Khi ó, (= (= = = + * (= + * = ( + *( = + * = + *( + *( " t + = + *( rõ ràng < ( >=< + > "i u có ngh a m i nhóm c a G sinh b i h'u h n ph n t u nhóm cyclic Ch n ∈ , theo gi thi t < V im i ∈ < > > h'u h n, gi s r ng: = , ta có ∈ < ∃ = > = ⇔ V y =< cyclic nên t!n t i ! ∈ = − + ∈< > ∈< − = > > , mà m i nhóm h'u h n sinh c a G cho =< ! > u nhóm "i u ng c l i úng; t c n u G nhóm cyclic vơ h n m i nhóm th ng th t s c a u có h'u h n ph n t Th t v y, gi s =< > , v i a ph n t không xo&n G i E nhóm khơng t m th ng c a G, ta s ch ng minh $ = v i m m t s nguyên d ng ó Vì E nhóm khơng t m th ng c a G nên ∃ ∈ = ∈ $ − ∈ $ , ó, g i m s nguyên d ng bé nh t mà ∈$ Th ⊂ $ Ng c l i, ∀ = ∈ $ , gi s = + # ≤ # < , ta có = Hay $ = = Khi ó, +# $ = Bài Ch ng minh r&ng G chia = +# = ∈< + # = − > + c ⇔( ∈$ #= $⊂ − + ≅ ) ≤ " H h ng t tr c ti p c a K) 10 Gi i Gi s G chia c Do m i nhóm aben u (ng c u v i nhóm c a m t nhóm chia c nên t!n t i nhóm H c a nhóm chia c K mà ≅ ) Vì G chia c nên H chia c, ó, H h ng t tr c ti p c a K Ng c l i, gi s t ≅ ) ≤ " ta suy H h ng t tr c ti p c a K, t c " = ) ⊕ $ Ta ch ng minh G chia c Vì m i nhóm aben u (ng c u v i nhóm c a nhóm eben chia c nên ta có th gi s K chia c V i m i s nguyên d ng m, ta có: ) = " ∩) = " ∩) = T ó suy H chia c, mà ) + $ ∩) = ≅ ) nên G chia Bài Cho G m t p - nhóm aben mà tr c ti p c a m t nhóm aben chia chia ) ∩) + $∩) = ) c c Ch ng minh r&ng G t ng c m t nhóm aben s c p ki"u p – nhóm ∀ _nguyên t T c Nh c l i: Nhóm aben s c p nhóm aben xo&n = v i m t khác " c bi t, G p – nhóm s ngun t G nhóm aben s c p ch pG = 0; t c m i ph n t c a G u có c p p Gi i Xét ánh x → = Ki m tra tr c ti p ta c f toàn c u Theo ≅ Mà " # = ∈ = = nh lý Noether: " # ≅ , nên M t khác pG chia c, ó, pG h ng t tr c ti p c a G, = minh E p - nhóm aben s c p Th t v y, ∀ ∈ $ ta có ∈ ∩$ = = Bài Cho H, K nh#ng p – nhóm chia ) = $= ≅" ) → " Ta có: ∈) = ⊂" ) Bao hàm th c cho ta !ng c u 11 ∈) c nên ⊕ $ Cu i ta ch ng c Ch ng minh r ng: )≅"⇔) Gi i Gi s ) ≅ " theo (ng c u chia = = →" ) = n c u Ngoài ra, ∀ ∈ " ⊂ " , f toàn c u nên có ∈" = ⇔ = ⇔ = = (vì f Do f n c u nên ∈) = Mà ∈) n c u) = ;t c ≅" toàn c u V y ) hay Ng c l i, gi s ) theo (ng c u ≅" minh ) ≅ " V i i, j phép nhúng, xét s ! →" ) Ta s ch ng  →) ) ↓ " ∃g '↓ " Do K chia c nên K n i x suy t!n t i )ng c u ) → " cho tam giác = ' Ta ch ng minh g (ng c u Th t v y, n u " # ≠ giao hoán, ngh a ∃ ∈" # ≠ ⊂ ) , H p – nhóm nên gi s ∈) # = ≥ " t − − = = "i u mâu thu#n jf n c u Do v y " chia c nên Img chia c K, " = ⊕$ N u ≠ " ∈$ Do f (ng c u, ∃ ∈ ) =' =' = ∈ suy ∈ mâu thu*n cho ta = " V y g (ng c Bài Ch ng minh r&ng G chia = =' # = hay g n c u M t khác, H ⊕ $ $ ≤ " Suy ó, " = $≠ $ ≠ Chon ph n t = Ta có = = mà Nh v y ≠ ∈ ∩ $ "i u u "ó i u c n ch ng minh c ch G khơng có nhóm t i Nh)n xét: M i nhóm cyclic khơng t m th ng u không chia =< > ≠ chia c Ta xét hai tr ng h p: = =∞ ∀ ∈ c nên ∃ ′ = , x chia ′= − ii = T!n t i ′ ∈< V y Ta có = i − = = =< > không chia i c Th t v y, gi s ∈< > ∈ cho = (vô lý) > = ′ = (mâu thu*n ≠ ) c Gi i Gi s G chia c Gi s ph n ch ng G có nhóm t i i M Vì , ≠ nên chon ∈ , , th v M nhóm t i i nên ta suy < > + , = Không 12 =< + , > nhóm chia , mâu thu*n v i nh n xét V y G khơng có nhóm t i i m y khó kh,n ta ki m tra c, khác "i u c Ng c l i, gi s G khơng có nhóm t i i Ta s ch ng minh G chia c b ng cách ch ng mimh pG = G v i m i s nguyên t p Th t v y, n u có p ≠ m t không gian vect không t m th = ∀ ∈ c =< ∀ ∈ G i ∪ >.C ∈ minh , =< ∪ ∈ ∃ ∈ = , c s c a v i phép nhân vô h b ng ki m tra tr c ti p ta i c a G Do Gi Alà nhóm c a G th%a , + ∈ ng ∈ , ta s ch ng nh > nhóm t i ∉ , suy , ≠ nên ∈ ng ≠ mà t c s c a ∈ ⊆ Vì , ≠ ≠ ó suy nên = ∈ Khi ó, = " + = = − ∈ * +* ∈ ∈ ⊂ = ∈ T c A nhóm t i i G Mâu thu*n kh(ng Bài Ch ng minh r&ng G chia khác không Gi i Gi s G chia ≅ " # " # c nên " # chia nh G chia c ch G khơng có $nh → $ Khi ó, theo c Xét !ng c u Ta s ch ng minh vô h n Gi s ng " # c l i, c ng c u h#u h n nh lý Noether, " # h'u h n t!ng tr c ti p c a nhóm cyclic < > c p nguyên t Nh ng G chia " # c, ó, < > chia chia c "i u không th x y V y vô h n, hay Imf vô h n Ng c l i, G khơng có nh !ng c u h'u h n khác không Ta ch ng minh G c b ng cách ch ng t% r ng G nhóm t i i Gi s ph n ch ng G có nhóm t i i M, th nhóm th)t s c a , , , ≠ Ta kh(ng π− $ nhóm cyclic c p nguyên t Suy nhóm t i i nên chia nh , nhóm , mâu thu(n tính t i , c 13 n (vì n u E i c a M), o, h'u h n, trái gi thi t V y G khơng có Nh n xét Nhóm G nhóm cyclic c p nguyên t n u ch có hai nhóm nh#ng nhóm t m th ng Bài L y ví d* v hai nhóm chia Gi i Xét " t c nh ng có giao khơng chia nhóm aben ph c v i phép tốn nhân thơng th # = #∈ ≤ Ký hi u = ng c, vì: ∀ = A chia c # ∈ ∀ ∈ , ta có # = ∈ c, vì: # ∃ = = mà ∀ = π# π # + !% π # ∈ # + !% π# ∈ mà ∩ mà không chia π # $ !% π # # ∈ # c nên ∩ = = ∀ ∈ ta Tuy nhiên, # #∈ không chia 14 ≅ c chon ≤ c B chia ph n t ... tr c ti p c a K) 10 Gi i Gi s G chia c Do m i nhóm aben u (ng c u v i nhóm c a m t nhóm chia c nên t!n t i nhóm H c a nhóm chia c K mà ≅ ) Vì G chia c nên H chia c, ó, H h ng t tr c ti p c a... b$n c a nhóm t a cyclic Ch ng minh Gi s nhóm aben G t)ng tr c ti p c a b n c a nhóm t a cyclic chia c nên G chia nhóm t a cyclic, th c Ng c l i, gi s G chia c G i T nhóm xo&n c a G Do G chia c... t c nhóm chia > Khi ó, D nhóm chia c c c a G " t c l n nh t c a G Theo nh lý 3, t!n t i nhóm E c a G cho = ⊕ $ Gi s F nhóm chia % ⊂ ∩ $ nên F = 0, t c E nhóm thu g n c c a E, ∈ nh ngh a (Nhóm